人教版数学B必修5 第2章221 第2课时 等差数列的性质.docx

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人教版数学B必修5第2章221第2课时等差数列的性质

第2课时　等差数列的性质

1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.（重点、易错点）

2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.（难点）

[基础·初探]

教材整理　等差数列的性质

阅读教材P37第二自然段～P37例3及P38练习B第1,2题，完成下列问题.

1.等差数列的图象

等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点（n，an）分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.

2.等差数列的性质

（1）{an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.

①特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N＋）时，am＋an＝2ak.

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….

（2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列.

（3）若{an}是公差为d的等差数列，则

①{c＋an}（c为任一常数）是公差为d的等差数列；

②{can}（c为任一常数）是公差为cd的等差数列；

③{an＋an＋k}（k为常数，k∈N＋）是公差为2d的等差数列.

（4）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}（p，q是常数）是公差为pd1＋qd2的等差数列.

（5）{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；

d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列.

1.下列说法中正确的有________.（填序号）

①若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列.

②若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列.

③若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2.

④数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等.

【解析】　①错误.如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.

②错误.如数列－1,2，－3,4，－5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.

③正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2成立.

④正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.

【答案】　③④

2.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.

【解析】　∵数列{an}是等差数列，

∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，

∴a14＝6＋9×3＝33.

【答案】　33

3.在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.

【解析】　因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.

所以a5＝90，

a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.

【答案】　180

4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.

【解析】　在等差数列{an}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝（a7＋a9）－a4＝16－1＝15.

【答案】　15

[小组合作型]

灵活设元解等差数列

　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.

【精彩点拨】　

（1）能否直接设出首项和公差，用方程组求解？

（2）等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性吗？

能否用对称设法求解？

【自主解答】　法一：

设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得

解得

或

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

法二：

设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得

化简，得

解得

或

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

法三：

设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得

化简，得

解得

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列.

2.当已知数列有2n项时，可设为a－（2n－1）d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋（2n－1）d，此时公差为2d.

3.当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－（n－1）d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋（n－1）d，a＋nd，此时公差为d.

[再练一题]

1.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.

【导学号：

18082023】

【解】　

（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，

则

解得

∴这三个数为4,3,2.

等差数列的实际应用

甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图221.甲调查表明：

从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：

由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.

甲　　　　　　　　　　　乙

图221

请你根据提供的信息回答问题.

（1）第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；

（2）到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？

请说明理由.

【精彩点拨】　解决本题关键是构造两个数列：

一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列.

【自主解答】　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.

（1）由a1＝1，a6＝2，得

∴

得a2＝1.2；

由b1＝30，b6＝10，得

∴

得b2＝26.

∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，

即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只.

（2）∵c6＝a6b6＝2×10＝20

∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.

1.在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.

2.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量.

[再练一题]

2.某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？

【导学号：

18082024】

【解】　由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，（n≥2，n∈N＋），每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.

所以an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）

＝－20n＋220.

若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，

由an＝－20n＋220<0，解得n>11，

即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.

[探究共研型]

等差数列的性质

探究1　数列1,2,3,4,5,6,7,8，…是等差数列吗？

1,3,5,7，…是等差数列吗？

2,4,6,8，…是等差数列吗，它们有什么关系？

这说明了什么？

【提示】　这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列.

探究2　在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.

那么a1＋a5＝a2＋a4吗？

a2＋a5＝a3＋a4成立吗？

由此你能得到什么结论？

该结论对任意等差数列都适用吗？

为什么？

【提示】　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.

对于任意等差数列{an}，设其公差为d.

则am＋an＝a1＋（m－1）d＋a1＋（n－1）d

＝2a1＋（m＋n－2）d，

ap＋aq＝a1＋（p－1）d＋a1＋（q－1）d

＝2a1＋（p＋q－2）d，

因m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq对任意等差数列都适用.

探究3　在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1（n>1）成立吗？

2an＝an＋k＋an－k（n>k>0）是否成立？

【提示】　在探究2的结论中

令m＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令性质

（2）中的m＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立.

　在公差为d的等差数列{an}中，

（1）已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；

（2）已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.

【精彩点拨】　解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决.

【自主解答】　法一：

（1）化成a1和d的方程如下：

（a1＋d）＋（a1＋2d）＋（a1＋22d）＋（a1＋23d）＝48，

即4（a1＋12d）＝48.

∴4a13＝48.

∴a13＝12.

（2）化成a1和d的方程如下：

解得

或

∴d＝3或－3.

法二：

（1）根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.

得4a13＝48，∴a13＝12.

（2）由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得

2（a2＋a5）＝34，

即a2＋a5＝17.

解

得

或

∴d＝

＝

＝3或d＝

＝

＝－3.

1.利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法.

2.巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程.

3.通项公式的变形形式an＝am＋（n－m）d，（m，n∈N＋），它又可变形为d＝

，应注意把握，并学会应用.

[再练一题]

3.设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.

【解析】　法一：

设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝（a1＋2d1）＋（b1＋2d2）＝（a1＋b1）＋2（d1＋d2）＝7＋2（d1＋d2）＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝（a3＋b3）＋2（d1＋d2）＝21＋2×7＝35.

法二：

∵数列{an}，{bn}都是等差数列，

∴数列{an＋bn}也构成等差数列，

∴2（a3＋b3）＝（a1＋b1）＋（a5＋b5），

∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.

【答案】　35

1.已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是（　　）

A.bn＝－an　　　B.bn＝a

C.bn＝

D.bn＝

【解析】　∵数列{an}是等差数列，

∴an＋1－an＝d（常数）.

对于A：

bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如数列{an}＝{n}，则bn＝a

＝n2，显然不是等差数列；对于C，D：

及

不一定有意义，故选A.

【答案】　A

2.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于（　　）

A.40B.42C.43D.45

【解析】　由

即

得d＝3.

所以a5＝2＋4×3＝14.

所以a4＋a5＋a6＝3a5＝42，故选B.

【答案】　B

3.在等差数列{an}中，a2＋a5＝9，a8＝6，则a2＝______.

【导学号：

18082025】

【解析】　法一：

由

∴a2＋a5＋a8＝3a5＝15，∴a5＝5，a2＝4.

法二：

由

得

解之得a2＝4.

【答案】　4

4.若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.

【解析】　由题意得该等差数列的公差d＝

＝

，

所以c－a＝2d＝

.

【答案】　

5.在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求该数列的通项公式.

【解】　因为a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，

a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，

所以a5＝3

法一：

a3＋a7＝2a5＝6.①

所以a3·a7＝－7.②

由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.

当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.

由an＝a3＋（n－3）d，

得an＝2n－7或an＝－2n＋13.

法二：

a3·a7＝－7

∴（a5－2d）（a5＋2d）＝－7

∴（3－2d）（3＋2d）＝－7

解得d＝±2.

若d＝2，an＝a5＋（n－5）d＝3＋2（n－5）＝2n－7

若d＝－2，an＝a5＋（n－5）d＝3－2（n－5）＝13－2n

∴an＝2n－7或an＝－2n＋13.