中考数学 全等中的动点.docx

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中考数学全等中的动点

全等三角形之动点问题

典型例题：

如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外）n加油，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它n加油们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

（1）求证n加油：

△ABQ≌△CAP；

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时n加油，∠QMC变化吗？

若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．n加油

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后n加油继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为Mn加油，则∠QMC变化吗？

若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

n加油

练习题：

1n加油.（2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，

AD⊥Bn加油C，CE⊥AB，垂足分别为D、E，

AD、CE交于点H，请你添加一个n加油适当

的条件：

　　，使△AEH≌△Cn加油EB．

2.如图，已知△ABC中，ABn加油=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点．

（n加油1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段Cn加油A上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，n加油1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速n加油度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△n加油BPD≌△CQP？

（2）若点Q以

（1）②中的运动速n加油度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都n加油逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇n加油？

3.如图，边长为6的等边三角形ABC中，D是AB边上的一n加油动点，由A向B运动（A、B不重合），F是BC延长线n加油上的一动点，与D同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动（与C不重合）n加油，过点D作DE⊥AC，连接DF交AC于G．

（1）当点D运动到An加油B的中点时，直接写出AE的长；

（2）当DF⊥AB时，求AD的长；

（3）在运n加油动过程中线段GE的长是否发生变化？

如果不变，求出线段GE的长；如果n加油发生改变请说明理由．

课后作业：

1.如图，在Rn加油t△ABC中，∠BAC＝900，AB=4，AC=10，PQ=BC，P、Q分别在n加油AC和AB的反向延长线上移动，当PC等于多少时，n加油△ABC≌△APQ。

2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，n加油AB=6，BC=8，过点C作CF⊥BCn加油，点D、E分别在BC、CF上移动，且始终保持DE=AC，当CD等于多少时，△n加油ABC与△DCE全等。

3.如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于点B，Qn加油C⊥BC于点C,点P从点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥PA，交直n加油线L于点Q。

⑴求证：

∠A=∠QPC⑵当点P运动到何处时，PA=n加油PQ，并说明理由。

4.（2015秋•龙n加油海市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=4n加油0°，点D在线段BC上运动（不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=n加油40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠ADB=115°时n加油，∠BAD=　　°，∠DEC=　n加油　°；

（2）线段DC的值为多少时，△ABD与△DCE全等？

n加油请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三n加油角形吗？

若可以，请直接写出∠ADB的度数；若不可以，n加油请说明理由．

参考答案：

例题：

【考点】n加油等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】

（1）根据等边n加油三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；

n加油

（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的n加油性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；

n加油（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQn加油=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．

【解答n加油】

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABQ=∠Cn加油AP，AB=CA，

又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在n加油△ABQ与△CAP中，

∵

，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）解n加油：

点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．

理由n加油：

∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠n加油ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MACn加油=∠BAC=60°…（6分）

（3）解：

点P、Qn加油在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMCn加油不变．（7分）

理由：

∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠An加油CP，

∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMCn加油=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=1n加油20°．

【点评】主要考查等边三角形的性质、全等三角形的n加油判定与性质等知识．

当堂巩固：

1.AH=CB或EH=En加油B或AE=CE．（只要符合要求即可）

2.【考点】全等三n加油角形的判定．

【专题】动点型．

【分析】

（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BDn加油=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明n加油；②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与n加油△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQn加油=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQn加油的长即可求得Q的运动速度；

（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点n加油P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．n加油

【解答】解：

（1）①∵t=1（秒），∴BP=CQ=n加油3（厘米）

∵AB=12，D为AB中点，∴n加油BD=6（厘米）

又∵PC=BC﹣BP=9﹣3=6（厘米）∴Pn加油C=BD。

∵AB=AC，∴∠B=∠C，

在△BPD与△CQP中，

，n加油∴△BPD≌△CQP（SAS），

②∵VP≠VQ，∴BP≠Cn加油Q，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4n加油.5，

∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=n加油6．∴点P的运动时间t=

=

=1.5（秒），

此时VQ=

=

=4（厘米/秒）n加油．

（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点Pn加油多走AB+AC的路程

设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+n加油2×12，解得x=24（秒）

此时P运动了24×3=72（厘米n加油）又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，

∴点P、Q在BC边n加油上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．

n加油【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，n加油以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的n加油判定和性质．

3.【考点】全等三角形的判定与n加油性质；等边三角形的性质．

【分析】

（1）由点D运动n加油到AB的中点时，于是得到AD=

AB=3，根据等边三角形的性质得到∠A=n加油60°，求得∠ADE=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论n加油；

（2）由点D、F同时运动且速度相同，得到AD=CF，求出∠AGn加油D=∠CGF=30°，∠F=30°，于是得到CF=CG=ADn加油，设AD=CG=CF=x，则AG=2x，列方程即可得到n加油结论；

（3）当点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变n加油．理由如下：

作FQ⊥AC，交直线AC的延长线于点Q，连接FE，Dn加油Q，由点D、F速度相同，得到AD=CF，根据等边三角形的性质得到∠A=n加油∠ABC=∠QCF=60°，推出△ADE≌△CFQ（AASn加油），根据全等三角形的性质得到AE=CQ，DE=n加油QF且DE∥QF，证得四边形DEFQ是平行四边n加油形，根据平行四边形的性质得到GE=

EQ，推n加油出GE=

AC，即可得到结论．

【解答】解：

（1）点D运动到AB的中点时，

∵An加油D=

AB=3，∠A=60°，∵DE⊥AC，∴∠ADE=3n加油0°，∴AE=

AD=

；

（2）∵点D、F同时运动且速度相同，∴n加油AD=CF，

∵DF⊥AB，∠A=60°，∴∠AGD=∠n加油CGF=30°，

∵∠B=60°，∴∠F=30°，∴∠CGF=∠Fn加油，∴CF=CG=AD，

设AD=CG=CF=x，则AG=2x，∴AG+CGn加油=2x+x=3x=6，∴x=2，∴AD=2；

（3）当点D、F同时运动且n加油速度相同时，线段GE的长度不会改变．理由如下：

作FQ⊥An加油C，交直线AC的延长线于点Q，连接FE，DQ，

又∵DE⊥AB于E，∴∠GQn加油F=∠AED=90°，

∵点D、F速度相同，∴AD=Cn加油F，

∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠QCF=60°，

n加油在△ADE和△CFQ中，∵∠AED=∠CQF=90°，∴∠AED=n加油∠CQF，

在△ADE和△CQF中，

，n加油∴△ADE≌△CFQ（AAS），

∴AE=CQ，DE=QF且DE∥QFn加油，∴四边形DEFQ是平行四边形，∴GE=

EQ，

∵EC+An加油E=CE+CQ=AC，∴GE=

AC，又∵等边△ABC的边长为6，n加油∴GE=3，

∴点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变．

n加油

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全n加油等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形n加油的性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键．

课后作业参考答案：

1.∵三n加油角形ABC与三角形APQ全等，∴

（1）△ABC≌△n加油APQ时,AP=AB=4,则CP=AC+AP=14。

（2）△ABC≌△An加油QP时,AP=AC=10,则CP=AC+AP=20。

2.解n加油：

∵△ABC与△DCF全等，DE=AC，∴分两种情况：

①AB与CD是对应n加油边时，CD=AB=6；

②AM与AC是对应边时，n加油CD=BC=8；

综上所述：

当CD=6或8n加油时，△ABC与△DCF全等；故答案为：

6或8．

【点n加油评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，主要利用了n加油全等三角形对应边相等的性质，难点在于要分情况讨论．

3.n加油解：

（1）证明：

∵PQ⊥AP，∴∠ABP=90°，∴∠APB+∠QPC=90n加油°，

∵AB⊥BC于点B，∴∠A+∠APB=90°，n加油∴∠A=∠QPC；

n加油

（2）当P运动到离C处距离为2时，PA=PQ，

n加油证明：

当PC=2时，PC=AB，在△ABP与△PCQ中，∵

，

∴△ABPn加油≌△PCQ（ASA），∴PA=PQ；

同理，BP=n加油7时，PC=2也符合，所以，点P运动到与点C距离为2时，PA=n加油PQ．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以n加油及余角的性质：

同角的余角相等，正确证明∠A=∠QPC是关键．

4.【考点】n加油全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．

【分析】

（1）利用邻补角的性质和三n加油角形内角和定理解题；

（2）当DC=2时，利n加油用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠n加油EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利n加油用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．

（3）当∠BDA的度数n加油为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角n加油形．

【解答】解：

（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，

∴∠BAD=18n加油0°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣115°﹣40°=25°，

∵AB=AC，∴∠n加油C=∠B=40°，∵∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=25°，

∴∠Dn加油EC=180°﹣∠EDC﹣∠C=115°，故答案为：

25°，11n加油5°；

（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，

理由：

∵∠C=4n加油0°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴n加油∠ADB+∠EDC=140°，

∴∠ADB=∠DEC，又n加油∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCEn加油（AAS）；

（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADn加油E的形状是等腰三角形，

∵∠BDA=110°时，∴∠n加油ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形n加油状是等腰三角形；

∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=n加油100°，

∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形状是等腰n加油三角形．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三n加油角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌n加油握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．