北京市昌平区九年级上册数学期末试题有答案名师版.docx

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北京市昌平区九年级上册数学期末试题有答案名师版

北京市昌平区九年级上学期期末考试试题

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）

1.已知∠A为锐角，且sinA=

，那么∠A等于（）

A．15°B．30°C．45°D．60°

【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．

【解答】解：

由∠A为锐角，且sinA=

，得

∠A=45°，

故选：

C．

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

2.

如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）

A．圆锥B．圆柱C．长方体D．球体

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【解答】解：

由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

3.如图，点B是反比例函数y=（≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则的值为（）

A．3B．6C．﹣3D．﹣6

【分析】可根据反比例函数的比例系数的几何意义得到的值．

【解答】解：

因为矩形AOCB的面积为6，所以的值为6，

故选：

B．

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：

在反比例函数y=

图象中任取一点，过这一个点向轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||．

4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）

A．40°B．50°C．80°D．100°

【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．

【解答】解：

∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，

∴∠BOC=2∠A=100°．

故选：

D．

【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

5.将二次函数y=2﹣6+5用配方法化成y=（﹣h）2+的形式，下列结果中正确的是（）

A．y=（﹣6）2+5B．y=（﹣3）2+5C．y=（﹣3）2﹣4D．y=（+3）2

﹣9

【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．

【解答】解：

y=2﹣6+5=2﹣6+9﹣4=（﹣3）2﹣4，故选：

C．

【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．

6.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是（）

A．60°B．65°C．70°D．75°

【分析】由旋转性质知△ABC∽△DEC，据此得∠ACB=∠DCE=30°、AC=DC，继而可得答案．

【解答】解：

由题意知△ABC∽△DEC，则∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，

∴∠DAC=

=

=75°，

故选：

D．

【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．

7.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）

A．25°B．40°C．50°D．65°

【分析】连接OC．由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠

DOC=50°，接下，由切线的性质可证明∠OCD=90°，最后在△OCD中依据三角形内角和定理可求得∠D的度数．

【解答】解：

连接OC．

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA=25°．

∴∠DOC=∠A+∠ACO=50°．

∵CD是⊙的切线，

∴∠OCD=90°．

∴∠D=180°﹣90°﹣50°=40°．

故选：

B．

【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠DOC和∠OCD的度数是解题的关键．

8.小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：

m）与跑步时间t（单位：

s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）

A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点

B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度

C.小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次

D.小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程

【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=

，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．

【解答】解：

由函数图象可知：

两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；

根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=

，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；

小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误；

根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确；故选：

D．

【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9.请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：

y=﹣．

【分析】根据反比例函数的性质可得＜0，写一个＜0的反比例函数即可．

【解答】解：

∵图象在第二、四象限，

∴y=﹣

，

故答案为：

y=﹣

．

【点评】此题主要考查了反比例函数

（≠0），

（1）＞0，反比例函数图象在一、三象限；

（2）＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．

10.如图，在平面直角坐标系Oy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，

0），将线段AB沿轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为（3，2）．

【分析】根据平移的性质即可得到结论．

【解答】解：

∵将线段AB沿轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为

（2，0），

∵﹣1+3=2，

∴0+3=3

∴A′（3，2），

故答案为：

（3，2）

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．

11.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为16．

【分析】直接运用切线长定理即可解决问题；

【解答】解：

∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，

∴DA=DC，EB=EC；

∴DE=DA+EB，

∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB，

∵PA、PB分别是⊙O的切线，

∴PA=PB=8，

∴△PDE的周长=16．故答案为：

16

【点评】该命题以圆为载体，以考查切线的性质、切线长定理及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理分析、判断、推理或解答．

12.抛物线y=2+b+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为直线=1．

【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．

【解答】解：

∵抛物线y=2+b+c经过点A（0，3）和B（2，3），

∴此两点关于抛物线的对称轴对称，

∴=

=1．

故答案为：

直线=1．

【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上两点坐标的关系是解答此题的关键．

13.如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为π．

【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．

【解答】解：

如图，连接OA、OB，

∵ABCDEF为正六边形，

∴∠AOB=360°×

=60°，

的长为

=π．故答案为：

π

【点评】本题主要考查正多边形的性质和弧长公式，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．

14.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是4．

【分析】由勾股定理可知AB=10，由折叠的性质得BE=BC=6，再由线段的和差

关系即可求解．

【解答】解：

在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB=

=10．由折叠的性质得：

BE=BC=6，

则AE=AB﹣BE=4．

故答案为：

4．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等．

15.

如图，在平面直角坐标系Oy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：

将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿轴向右平移一个单位．

【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．

【解答】解：

将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿轴向右平移一个单位得到△CDE，

故答案为：

将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿轴向右平移一个单位

【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：

平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．

16.阅读以下作图过程：

第一步：

在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；

第二步：

以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；

第三步：

以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．

请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点

M表示的数为+1．

【分析】按照要求作图即可得点M，连接AC、BC，由题意知AB=4、BC=1、∠

ACB=90°，从而可得AM=AC=

=

，继而可得答案．

【解答】解：

如图，点M即为所求，

连接AC、BC，

由题意知，AB=4、BC=1，

∵AB为圆的直径，

∴∠ACB=90°，

则AM=AC=

=

=

，

∴点M表示的数为

+1，

故答案为：

+1．

【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．

三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）

17．（5分）计算：

2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．

【分析】根据解特殊角的三角函数值解答．

【解答】解：

2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°

=

=

．

【点评】考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

18．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标y的对应值如下表：

…

﹣4

﹣3

﹣2

﹣1

0

1

2

…

y

…

5

0

﹣3

﹣4

﹣3

0

5

…

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）在图中画出这个二次函数的图象．

【分析】

（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣

1，﹣4），则可设顶点式y=a（+1）2﹣4，然后把点（0，3）代入求出a即可；

（2）利用描点法画二次函数图象．

【解答】解：

（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：

y=a（+1）2﹣4，

把点（0，3）代入y=a（+1）2﹣4得a=1

∴抛物线解析式为y=（+1）2﹣4；

（2）如图所示：

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．

19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cosA=

，

求BC的长．

【分析】先在Rt△ABD中利用cosA的定义可计算出AD的长，再利用勾股定理解答即可．

【解答】解：

∵AC=AB，AB=10，

∴AC=10．

在Rt△ABD中

∵cosA=

=

，

∴AD=8，

∴DC=2．

∴

．

∴

．

【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．

（1）求证：

∠A=∠BCD；

（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．

【分析】

（1）根据等弧对等角证明即可；

（2）连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=

CD=4，再利用勾股定理计算出

OE，然后计算OB﹣OE即可．

【解答】

（1）证明：

∵直径AB⊥弦CD，

∴弧BC=弧BD．

∴∠A=∠BCD；

（2）连接OC

∵直径AB⊥弦CD，CD=8，

∴CE=ED=4．

∵直径AB=10，

∴CO=OB=5．

在Rt△COE中，∵OC=5，CE=4，

∴OE=

=3，

∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．

【点评】本题考查了垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．

21．（5分）尺规作图：

如图，AC为⊙O的直径．

（1）求作：

⊙O的内接正方形ABCD．（要求：

不写作法，保留作图痕迹）；

（2）

当直径AC=4时，求这个正方形的边长．

【分析】

（1）过点O作出直径AC的垂线，进而得出答案；

（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．

【解答】解：

（1）如图所示：

（2）∵直径AC=4，

∴OA=OB=2．

∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，

∴∠AOB=90°，

∴

．

【点评】此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题关键．

22．（5分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪

DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：

≈1.41，

≈1.73，

≈2.45）

【分析】首先证明AB=BM=40，在Rt△BCM中，利用勾股定理求出CM即可解决问题；

【解答】解：

由题意：

AB=40，CF=1.5，∠MAC=30°，∠MBC=60°，

∵∠MAC=30°，∠MBC=60°，

∴∠AMB=30°

∴∠AMB=∠MAB

∴AB=MB=40，

在Rt△BCM中，

∵∠MCB=90°，∠MBC=60°，

∴∠BMC=30°．

∴BC=

=20，

∴

，

∴MC≈34.64，

∴MF=CF+CM=36.14≈36.1．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB=BM=40，属于中考常考题型．

四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）

23．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当

水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是方案二（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（10，0），求出你所选方案中的抛物线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

【分析】

（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B的坐标即可；

（2）根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据题意可知水面宽度变为6m时=2或=8，据此求得对应y的值即可得．

【解答】解：

（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），故答案为：

方案二，（10，0）；

（2）由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y=a（﹣5）2+5，

把点（0，0）代入得：

0=a（0﹣5）2+5，即a=﹣

，

∴抛物线解析式为y=﹣

（﹣5）2+5，

由题意知，当=5﹣3=2时，﹣（﹣5）2+5=，

所以水面上涨的高度为米．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．

24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）如果半径的长为3，tanD=

，求AE的长．

【分析】

（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=

∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD=4，再利用勾股定理计算出

OD=5，则sinD=

，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．

【解答】

（1）证明：

连接OC，如图，

∵点C为弧BF的中点，

∴弧BC=弧CF．

∴∠BAC=∠FAC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC．

∴∠OCA=∠FAC，

∴OC∥AE，

∵AE⊥DE，

∴OC⊥DE．

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：

在Rt△OCD中，∵tanD=

=

，OC=3，

∴CD=4，

∴OD=

=5，

∴AD=OD+AO=8，

在Rt△ADE中，∵sinD=

=

=

，

∴AE=

．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．

25．（6分）小明根据学习函数的经验，对函数y=4﹣52+4的图象与性质进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）自变量的取值范围是全体实数，与y的几组对应数值如下表：

…

﹣2

﹣

0

1

2

…

y

…

4.3[

3.2

0

﹣2.2

﹣

1

.4

0

2.8

3.7

4

3.7

2.8

0

﹣

1

.4

﹣

2

.2

m

3.2

4.3

…

其中m=；

（2）如图，在平面直角坐标系Oy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数图象关于y轴对称；

（4）进一步探究函数图象发现：

①方程4﹣52+4=0有4个互不相等的实数根；

②有两个点（1，y1）和（2，y2）在此函数图象上，当2＞1＞2时，比较y1和

y2的大小关系为：

y1＜y2（填“＞”、“＜”或“=”）；

③若关于的方程4﹣52+4=a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是

．

【分析】

（1）观察对应数值表即可得出；

（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；

（3）观察函数图象，即可求得．

【解答】解：

（1）观察对应数值表可知：

m=0，

（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：

（3）观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），故答案为：

函数图象关于y轴对称；

（4）①∵函数的图象与轴有4个交点，∴方程4﹣52+4=0有4互不相等的实数根，故答案为4；

②函数图象可知，当2＞1＞2时，y1＜y2；故答案为＜；

③观察函数图象，结合对应数值表可知：

，

故答案为：

．

【点评】本题考查二次函数的图象，性质和最值，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．

26．（6分）在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=m2﹣2m﹣3（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与轴交于点B顶点为C点．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；

（3）在

（2）的条件下，垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（1，y1）和Q（2，

y2），与直线AB交于点N（3，y3），若3＜1＜2，结合函数的图象，直接写出1+2+3的取值范围为．

【分析】

（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；

（2）确定点C坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（3）如图，当直线l在直线l1与直线l2之间时，3＜1＜2，求出直线l经过点A、点C时的1+3+2的值即可解决问题；

【解答】解：

（1）∵抛物线y=m2﹣2m﹣3（m≠0）与y轴交于点A，

∴点A的坐标为（0，﹣3）；

∵抛物线y=m2﹣2m﹣3（m≠0）的对称轴为直线=1，

∴点B的坐标为（1，0）．

（2）∵∠ACB=45°，

∴点C的坐标为（1，﹣4），

把点C代入抛物线y=m2﹣2m﹣3得出m=1，

∴抛物线的解析式为y=2﹣2﹣3．

（3）如图，

当直线l1经过点A时，1=3=0，2=2，此时1+3+2=2，当直线l2经过点C时，直线AB的解析式为y=3﹣3，

∵C（1，﹣4），

∴y=﹣4时，=﹣

此时，1=2=1，3=﹣

，此时1+3+2=

，当直线l在直线l1与直线l2之间时，3＜1＜2

∴

．

【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解答（3）题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了解题的难度．

五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）

27．（7分）已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点．

（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；

（2）延长AD交BE于点F，求证：

AF⊥BE；

（3）若AC=

，BF=1，连接CF，则CF的长度为．

【分析】

（1）直接利用旋转的性质即可得出结论