微分几何试题库.docx
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微分几何试题库
微分几何
—、判断题
1、两个向量函数之和的极限等于极限的和(V)
2、二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudv-B(u,v)dv2=0总表示曲面上两族曲线•()
3、若r(t)和s(t)均在[a,b]连续,贝U他们的和也在该区间连续(V)
4、向量函数寓具有固定长的充要条件是对于t的每一个值,
s(t)的微商与s(t)平行(X)
5、等距变换一定是保角变换.()
6、连接曲面上两点的所有曲线段中,测地线一」定是最短的.()
7、常向量的微商不等于零(X)
8螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点(1,0,0)的切线为X=Y=Z(X)
9、对于曲线s=s(t)上一点(t=t。
),若其微商是零,则这一点为曲线的正常点
(X)
10、曲线上的正常点的切向量是存在的(V)
11、曲线的法面垂直于过切点的切线(V)
12、单位切向量的模是1(V)
13、每一个保角变换一定是等距变换(X)
14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.()
15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0,这里F是第一基本量.()
、填空题
16、曲面上的一个坐标网,其中一族是测地线
17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t在点(1,0,0)的法平面是y+z=0,
彳b
18设给出c类曲线:
r=r(t),a乞t乞b.则其弧长可表示为.r⑴dt
a
19、已知r={cosx,sin3x,cos2x},0=^{SolS,4xx-,:
25
{sinx,cosx,0},
{4cosx,-4sinx,-3}
5
68
25sin2x,-25sin2x
20、曲面的在曲线,如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向,则称为渐进曲线。
21、旋转面r={®(t)cos日严(t)sin日,即(t)},他的坐标网是否为正交的?
是
傾“是”或“不是”).
22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的法线线.
23、任何两个向量p,q的数量积pq=p|qcos(pq)
24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距(保长)变换__.
25、圆柱螺线的曲率和挠率都是常数数(填“常数”或“非常数”).
26若曲线(c)用自然参数表示r二r(t),则曲线(c)在P(s。
)点的密切平面的方程是
(R-r(s°),r(s0),r(s0))0
K=2,平均曲率H=0,点(1,0,0)处沿方向du:
dv=2的法曲
(u2+36)2
率J:
后,点(1,。
0)处的两个主曲率分别为
66
3737
30、(Cohn-Voeeen定理)两个卵形面之间如果存在一个保长映射,则这个映射一定是R3中的合同或对称。
31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。
32、—个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络
三、综合题
33.求曲线x=tsint,y=tcost,z=tet在原点的密切平面,法平面,切线方程。
解:
r={tsint,tcost,tet},
r(t)={sinttcost,cost-tsint,ettet},
r(t)二{2cost-tsint,—2sint-tcost,2ette\
在原点处t=0
r(0)二{0,0,0},r(0)={0,1,1},r(0)={2,0,2}.
在原点处切平面的方程为:
(R-r(0),r(0),r(0))=0
011
34、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。
解设r={u,v,u3-v3}
22
则ru={1,0,3u},J二{0,1,-3v},
414{_3u2,3v2,1}
|rurv|-,.9u49v41
ruu={0,0,6u},⑰,rvv={0,0,-6v}
M=nTuv=0,N=nVw=
因渐近曲线的微分方程为
22
Ldu2MdudvNdv二0
即udu2二vdv2或,udu士』vdv=0
3
渐近曲线为u2
333
=v^C1或(-u),=v,C2
35求双曲抛物面r二{a(u•v),b(u-v),2uv}的第一基本形式
解:
r二{a(uv),b(u-v),2uv},5={a,b,2v},={a,-b,2u}.
E二ruru二a2b24v2,F二rurv二a2「b24uv,
G二rvrv二a2b24u2.
2222222222
I=(ab4v)du2(a-b4uv)dudv(ab4u)dv
36.计算球面r=(Rcos^cos「,Rcos^sin:
Rsin^)的第二基本形式
解:
r二{Rcos^cos1Rcosin,Rsinr),rF:
={-Rcosrsin;:
Rcos^cos,C},
\-{-Rsin^cos,-Rsin^sin,Rcosv},
由此得到
E=r:
r=R2co^,F=r:
r^=0,
_r_M
EG-F2
e1
-Rcossin
「Rsincos
e3
0
={coscos〔costsin,sin*,
又由于
一Rcosvcos「,一Rcosvsin,0},
r丁={Rsinvsin「,—Rsincos,0},
r口-{-Rcos^cos[-Rcos^sin\-Rsin斗所以
2
L=r竹n=-Rcos(J,M=rn=0,N=r口n_-R,
因而得到
n=-(Rcos2m2Rd^2)
37.如果曲面的第一基本形式d£二d『2dv22,计算第二类克力斯托费尔符
(u+v+C)
号.
解:
因为
G=(22)2
(uvc)
所以
所以
38、已知曲面的第一基本形式为I=v(du2dv2),v0,求坐标曲线的测地曲率。
解E二G=v,
F=0,
Gu=0,Ev=1
u-线的测地曲率
it
_Ev_1
gu
E,G2v.v
v-线的测地曲率
-Gu_0
gv
2G-E
39、问曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线】是测地线吗?
为什么?
答:
曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线]是测地线•
事实上,设一:
u"=d(s)
则丨的切向量为
记『唱,,D,da1j:
丽’Da"j屈
则曲线-的切向量'沿】平行移动=D?
=0=Da:
二0,Da2二0
(k二1,2)
二-为测地线
40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线.
解:
因为r二{ucosv,usinv,bv},
22—b
E=1,F=0,G二u2b2,L=0,M,N=0.
V'u^b2
由于L=N=0,所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是
r={u0cosv,u0sinv,bv},
这是螺旋线,另一族渐近线是
r二{ucosvo,usinVo,bv。
},
这是直线.
41、设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零,若曲线-和C可以建立——对应,且在对应点的主法线互相平行,求证曲线丨和C在对应点的切线夹固定角•
证设-:
r=r(s),-:
?
"=r"(s),则由一:
/-“知一:
"=-,
从而弓九=0,匸:
=0,(一竺「匚0
dsds
■-constant,即cos:
,,,..‘=C
这表明曲线】和C在对应点的切线夹固定角.
42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是
r(t)r(t)=0
证明必要性设r(t)二'(t)e(e为常单位向量),则
r(t)=■(t)e,
所以r(t)r(t)=0
充分性:
r(t)二'(t)e(t)(e(t)为单位向量函数),则r(t)=‘(t)e(t)(t)e(t),r(t)r(t)「2(t)[e(t)e(t)].
因为r(t)=0,于是'(t)=0,当r(t)r(t)三0,从而有
e(t)e(t)=0,
即e(t)//e(t),因为e(t)_e(t)(根根据e(t)=1),因此e(t)=0即e(t)为常向量,所以r(t)「(t)e(t)
有固定方向
43、给出曲面上一条曲率线丨,设丨上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角•求证丨是一条平面曲线•
.4.0
-
证设1:
r=r(u,v),】:
u=u(s),v=v(s),其中s是】的自然参数,记
v-r,n,则rn二cost,两边求导,得rdn
ds
由]为曲率线知dn//dr,即竺//匕》,因此:
黑/■nrd^-0
dsdsdsds
若.=0,则】为平面曲线;
若n匸=o,则因丨为曲面二上的一条曲率线,故d^.nd?
.而
4o
-
Tn
44、求圆柱螺线R(t)二{acost,asint,bt}在t处的切线方程。
3
r(t)二{acost,asint,bt},r(t)={-asint,acost,b},
3a
时,有r(3"{—l"aGb}.
所以切线的方程为
py)
如果用坐标表示,则得切线方程为
Y3a
2
ji
Zb
3
2x—a_2Y一3a_Z巧
-3aab
45、求双曲螺线r二{acosht,asinht,at}从t=0起计算的弧长。
r={acosht,asinht,at},
解:
.
r={asinht,acosht,a}
从t=0起计算的弧长为
=/|r(t)|dt=fJx"+y"+z'2dt
sinh21a2cosh21adt
a2
222
(sinht1)acoshtdt
jdcosftfcosftdt
=2asinht.
46、求球面r={RcosJcos,Rcos)sin,Rsin^}的第一基本形式。
r={Rcostcos:
Rcostsin,Rsin二},可得出
解:
由r二{-Rcosvsin,Rcosvcos,0},
二{「Rsin^cos:
-Rsinsin:
Rcos},
由此得到曲面的第一类基本量
E=rr=R2co,
F二r:
r.厂0,
2
G=Gr厂R
因而
I=R2co◎d「2R2dv2
47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。
证明设k1:
:
:
k2(如果K1K2,可以交换坐标u和v),由欧拉公式知
kn=«cos2寸k2(1_cos2寸)=k2(k^k2)cos^,
于是
k2_kn二(k2_kjco-0
因此
k2-kn
同样又可以得到
kn-匕=(k2「kjsin:
」亠0,
由此
即
ki—kn一k2
这就是说,主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。
48、曲面的第一基本形式为I=E(u)du2,G(u)dv2。
求证:
(1)u-曲线是测地线;
(2)V-曲线是测地线,当且仅当Gu(u)=O
证明:
u-曲线的方程为dv=0.由
",
得到
所以
J-0
代入刘维尔公式得
sinv-0,
因此得到u-曲线是测地线。
、‘兀d。
亠
(2)若u-曲线为测地线,由得—=0,则有
2ds
1:
TnG.
0=00sin,
1Je血
49、R3中全体合同变换构成一个群,称为空间合同变换群。
证明:
因为
(1)空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换;
(2)空间三个合同变换的组合满足合里律;
(3)恒同变换I:
Xi=Xi(^1,2,3)与空间任何合同变换T的组合
IT=TI=T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素;
(4)空间任何合同变换一定有逆变换,而且这个逆变换还是空间合同变换。
50、沿曲线面上一条曲线平行移动时,保持向量的内积不变。
证明:
沿曲线(C)给出两个平行的向量场,在曲面上取正交坐标网
(u1,u2,则)
1212
u=ueue2,v=ve]ve2,
du1W2dvW2门
u0,v20,dsdsdsds
.2222
du1W1dv1W1门
u0,v0
ds
dsdsds
2
z21121221\Wic
=(uvuv—uv—uv)0ds
51、设曲线(C):
r=rt是具有周期」的闭的正规平面曲线,如果把参数换成自然参数,则它的周期是L=『f(t)dt,L的闭曲线的周长.
t也、/.
证明s(t+⑷)=[r(t)dt
=【0r(t)dtr(t)dt,
因为
rt,二rt,
所以
『t••,t.
我们得到
s(t+㈢)=L+f|r/(t)|dt=L+s(t),
所以有
rsL=rstL=rst「=rst=rs.
52、对于空间简单的、正规闭曲线,至少存在一条切线与给定的方向I正交.
证明取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是
C:
rs=&s,ys,zs;s0,L!
因而单位切向量为
a(s)J:
(s);(s)Zs“
根据微积分中值定理,存在0.0丄1使得
zL—z0二L-0z§0,
但是
zL1=z0,
所以
zSo"0,
即
as。
二xS0,yS0,0,
这表示ai
Sl垂直于z轴,即与方向1正交。
53、单位球面上的曲线C,若kg=0,则
kk
kkgkik—i
其中;=1
证明
设单位球面上的曲线C:
r=rs由于
r2-1,
从而有
r*a=0,
所以
a・ar*k:
=0,
即
由上式得
kr八krkr・:
=O,
利用伏雷内公式,化简后得
-
丄kr・=0.
k
若令n--r,由于
kg=k・n=-kr*,
则有
kk
但是单位球面上曲线的法曲率kn=1,并且由于
knk:
二k2,
所以
kg=;k2-1,二1.
因此当kg7时,有
••
kk
T==-Z——,.
kkgkJk2—1
2
为dU(if36)d2v,第二基本形式为=12dudv,高斯曲率