信号与系统实验3.docx
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信号与系统实验3
实验三信号抽样与调制解调
一、实验目的
1、进一步理解信号的抽样及抽样定理；
2、进一步掌握抽样信号的频谱分析；
3、掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理；
4、掌握傅里叶变换在信号调制与解调中的应用。
基本要求：
掌握并理解“抽样”的概念，理解抽样信号的频谱特征。
深刻理解抽样定理及其重要意义。
一般理解信号重建的物理过程以及内插公式所描述的信号重建原理。
理解频率混叠的概念。
理解调制与解调的基本概念，理解信号调制过程中的频谱搬移。
掌握利用MATLAB仿真正弦幅度调制与解调的方法。
二、实验原理及方法
1、信号的抽样及抽样定理
抽样（Sampling），就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本，从而，得到一个离散时间序列（Discrete-timesequence），这个离散序列经量化（Quantize）后，就成为所谓的数字信号（DigitalSignal）。
今天，很多信号在传输与处理时，都是采用数字系统（Digitalsystem）进行的，但是，数字系统只能处理数字信号，不能直接处理连续时间信号或模拟信号（Analogsignal）。
为了能够处理模拟信号，必须先将模拟信号进行抽样，使之成为数字信号，然后才能使用数字系统进行传输与处理。
所以，抽样是将连续时间信号转换成离散时间信号必要过程。
模拟信号经抽样、量化、传输和处理之后，其结果仍然是一个数字信号，为了恢复原始连续时间信号，还需要将数字信号经过所谓的重建（Reconstruction）和平滑滤波（Smoothing）。
图4.1展示了信号抽样与信号重建的整个过程。
图4.2给出了信号理想抽样的原理图：
上图中，假设连续时间信号是一个带限信号（BandlimitedSignal），其频率范围为
，抽样脉冲为理想单位冲激串（UnitImpulseTrain），其数学表达式为：
4.1
由图可见，模拟信号x（t）经抽样后，得到已抽样信号（SampledSignal）xs（t），且：
4.2
将p（t）的数学表达式代入上式得到：
4.3
显然，已抽样信号xs（t）也是一个冲激串，只是这个冲激串的冲激强度被x（nTs）加权了。
从频域上来看，p（t）的频谱也是冲激序列，且为：
4.4
根据傅里叶变换的频域卷积定理，时域两个信号相乘，对应的积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换之间的卷积。
所以，已抽样信号xs（t）的傅里叶变换为：
4.5
表达式4.5告诉我们，如果信号x（t）的傅里叶变换为X（j），则已抽样信号xs（t）的傅里叶变换Xs（j）等于无穷多个加权的移位的X（j）之和，或者说，已抽样信号的频谱等于原连续时间信号的频谱以抽样频率s为周期进行周期复制的结果。
如图4.3所示：
由图可见，如果抽样频率不小于信号带宽的2倍时，xs（t）的频谱中，X（j）的各个复制品之间没有混叠（Aliasing），因此，可以用一个理想低通滤波器来恢复原始信号。
由抽样信号恢复原来的原始信号的过程称为信号的重建（Reconstruction）。
反之，如果抽样频率小于信号带宽的2倍时，xs（t）的频谱中，X（j）的各个复制品之间的距离（也就是s）太近，所以必将造成频谱之间的混叠，在这种情况下，是无论如何也无法恢复出原来的连续时间信号的。
由此，我们得出下面的结论：
当抽样频率s>2M时，将原连续时间信号x（t）抽样而得到的离散时间序列x[n]可以唯一地代表原连续时间信号，或者说，原连续时间信号x（t）可以完全由x[n]唯一地恢复。
以上讨论的是理想抽样的情形，由于理想冲激串是无法实现的，因此，这种理想抽样过程，只能用来在理论上进行抽样过程的分析。
在实际抽样中，抽样往往是用一个A/D转换器实现的。
一片A/D转换芯片包含有抽样保持电路和量化器。
模拟信号经过A/D转换器后，A/D转换器的输出信号就是一个真正意义上的离散时间信号，而不再是冲激串了。
A/D转换器的示意图如图4.4所示。
上述的实际抽样过程，很容易用简单的数学公式来描述。
设连续时间信号用x（t）表示，抽样周期（SamplingPeriod）为Ts，抽样频率（SamplingFrequency）为s，则已抽样信号的数学表达式为
4.6
在MATLAB中，对信号抽样的仿真，实际上就是完成式4.6的计算。
下面给出一个例题和相应的范例程序，来实现信号抽样的仿真运算。
例题3.1设连续时间信号为一个正弦信号x（t）=cos（0.5πt），抽样周期为Ts=1/4秒，编程序绘制信号x（t）和已抽样信号x[n]的波形图。
范例程序Sampling如下：
%Sampling
clear,closeall,
t=0:
0.01:
10;
Ts=1/4;%Samplingperiod
n=0:
Ts:
10;%Makethetimevariabletobediscrete
x=cos（0.5*pi*t）;
xn=cos（0.5*pi*n）;%Sampling
subplot（221）
plot（t,x）,title（'Acontinuous-timesignalx（t）'）,xlabel（'Timet'）
subplot（222）
stem（n,xn,'.'）,title（'Thesampledversionx[n]ofx（t）'）,xlabel（'Timeindexn'）
执行该程序后，得到的波形图如图4.5所示。
图4.5连续时间信号及其抽样后的离散时间序列
在这个范例程序中，先将连续时间t进行离散化，使之成为以Ts=1/4秒的离散时间n，然后，将n代入到信号x（t）的数学表达式中计算，就完成了抽样过程，且得到了抽样后的离散时间序列x[n]。
2、信号抽样过程中的频谱混叠
为了能够观察到已抽样信号的频谱是否会存在混叠现象，或者混叠程度有多么严重，有必要计算并绘制出已抽样信号的傅里叶变换。
根据式4.5可计算出已抽样信号的频谱。
下面给出的范例程序Program3_1就是按照式4.5进行计算的。
其中，主要利用了一个for循环程序完成周期延拓运算。
%Program3_1
clear,closeall,
tmax=4;dt=0.01;
t=0:
dt:
tmax;
Ts=1/10;
ws=2*pi/Ts;
w0=20*pi;dw=0.1;
w=-w0:
dw:
w0;
n=0:
1:
tmax/Ts;
x=exp（-4*t）.*u（t）;
xn=exp（-4*n*Ts）;
subplot（221）
plot（t,x）,title（'Acontinuous-timesignalx（t）'）,
xlabel（'Timet'）,axis（[0,tmax,0,1]）,gridon
subplot（223）
stem（n,xn,'.'）,title（'Thesampledversionx[n]ofx（t）'）,
xlabel（'Timeindexn'）,axis（[0,tmax/Ts,0,1]）,gridon
Xa=x*exp（-j*t'*w）*dt;
X=0;
fork=-8:
8;
X=X+x*exp（-j*t'*（w-k*ws））*dt;
end
subplot（222）
plot（w,abs（Xa））
title（'Magnitudespectrumofx（t）'）,gridon
axis（[-60,60,0,1.8*max（abs（Xa））]）
subplot（224）
plot（w,abs（X））
title（'Magnitudespectrumofx[n]'）,xlabel（'Frequencyinradians/s'）,gridon
axis（[-60,60,0,1.8*max（abs（Xa））]）
本程序可以用来观察在不同的抽样频率条件下，已抽样信号的频谱的混叠程度，从而更加牢固地理解抽样定理。
但是，提请注意的是，在for循环程序段中，计算已抽样信号的频谱X时，没有乘以系数1/Ts，是为了便于比较X与Xa之间的区别，从而方便观察频谱的混叠程度。
另外，程序中的时间步长dt的选择应该与抽样周期Ts保持一定的比例关系，建议Ts不应小于10dt，否则，计算得到的已抽样信号的频谱将出现错误。
3、信号重建
如果满足抽样定理，那么，我们就可以唯一地由已抽样信号x[n]恢复出原连续时间信号x（t）。
在理想情况下，可以将离散时间序列通过一个理想低通滤波器，图4.6给出了理想情况下信号重建的原理示意图。
理想低通滤波器也称重建滤波器，它的单位冲激响应
4.7
已抽样信号xp（t）的数学表达式为：
，根据系统输入输出的卷积表达式，我们有
4.8
将xp（t）代入式4.8，有
4.9
这个公式称为内插公式（InterpolationFormula），该公式的推导详见教材，请注意复习有关内容。
须提请注意的是，这里的内插公式是基于重建滤波器为理想低通滤波器的。
若重建滤波器不是理想低通滤波器，则不能用这个内插公式。
理想低通滤波器的频率响应特性曲线和其单位冲激响应曲线如图4.7所示。
范例程序程序Program3_2就是根据这个内插公式来重构原始信号。
本程序已经做了较为详细的注释，请结合教材中的内插公式仔细阅读本程序，然后执行，以掌握和理解信号重建的基本原理。
范例程序Program4_2如下。
%Program3_2
%Signalsamplingandreconstruction
%Theoriginalsignalistheraisedcosinsignal:
x（t）=[1+cos（pi*t）].*[u（t+1）-u（t-1）].
clear;closeall,
wm=2*pi;%Thehighestfrequencyofx（t）
a=input（'Typeinthefrequencyratews/wm=:
'）;%wsisthesamplingfrequency
wc=wm;%Thecutofffrequencyoftheideallowpassfilter
t0=2;t=-t0:
0.01:
t0;
x=（1+cos（pi*t））.*（u（t+1）-u（t-1））;
subplot（221）;%Plottheoriginalsignalx（t）
plot（t,x）;gridon,axis（[-2,2,-0.5,2.5]）;
title（'Originalsignalx（t）'）;xlabel（'Timet'）;
ws=a*wm;%Samplingfrequency
Ts=2*pi/ws;%Samplingperiod
N=fix（t0/Ts）;%Determinethenumberofsamplers
n=-N:
N;
nTs=n*Ts;%Thediscretetimevariable
xs=（1+cos（pi*nTs））.*（u（nTs+1）-u（nTs-1））;%Thesampledversionofx（t）
subplot（2,2,2）%Plotxs
stem（n,xs,'.'）;xlabel（'Timeindexn'）;gridon,title（'Sampledversionx[n]'）;
xr=zeros（1,length（t））;%Specifyamemorytosavethereconstructedsignal
L=length（-N:
N）;
xa=xr;
figure
（2）;%Openanewfigurewindowtoseethedemoofsignalreconstruction
stem（nTs,xs,'.'）;xlabel（'Timeindexn'）;gridon;holdon
fori=1:
L
m=（L-1）/2+1-i;
xa=Ts*（wc）*xs（i）*sinc（（wc）*（t+m*Ts）/pi）/pi;
plot（t,xa,'b:
'）;axis（[-2,2,-0.5,2.5]）;holdon
pause
xr=xr+xa;%Interpolation
end
plot（t,xr,'r'）;axis（[-2,2,-0.5,2.5]）;holdon
figure
（1）;
subplot（223）
plot（t,xr,'r'）;axis（[-2,2,-0.5,2.5]）;
xlabel（'Timet'）;gridon
title（'Reconstructedsignalxr（t）'）;
%Computetheerrorbetweenthereconstructedsignalandtheoriginalsignal
error=abs（xr-x）;
subplot（2,2,4）
plot（t,error）;gridon
title（'Error'）;xlabel（'Timet'）
4、调制与解调
在通信系统（Communicationsystem）中，信号在传输之前，往往需要先对它进行调制（Modulation），然后才能发射出去。
在接收端，还要进行解调（Demodulation），才能恢复原信号。
在实际应用中，有多种调制方法，在信号与系统中，仅介绍了模拟调制中的正弦幅度调制（Sinusoidalamplitudemodulation）。
正弦幅度调制就是利用高频正弦信号的幅度携带调制信号x（t），也就是使高频正弦信号的幅度随调制信号的变化而变化。
正弦调制的解调分为同步解调（Synchronousdemodulation）和异步解调（Asychronousdemodulation），调制与解调的原理框图如图4.8所示。
图中，需要传输的信号称为调制信号（Modulatingsignal），频率为c的正弦信号称为载波（Carrier），c称为载频，调制器的输出信号称为已调信号（Modulatedsignal）。
正弦幅度调制的基本原理，就是将调制信号与一个高频正弦载波相乘，从而将调制信号的频谱搬移到较高的频段上，以利于发射传输。
下面，我们回顾一下调制与解调过程中的时域和频域的有关情况。
从时域上看，已调信号的数学表达式为
4.10
调制信号x（t）、载波c（t）和已调信号y（t）的波形如图4.9所示
图4.9正弦幅度调制中信号的波形
从频域上看，假设调制信号是一个带限信号，其频谱用X（j）表示，而正弦载波cos（ct）的频谱C（j）由两个冲激构成，即
4.11
根据傅里叶变换的频域卷积定理可知，已调信号的频谱为
4.12
即
4.13
式4.13说明，已调信号的频谱由两个移位的X（j）构成，位移量为±c。
图4.10示出了调制过程中各信号的频谱图。
从已调信号的频谱上看，我们发现，调制信号为低通信号（Lowpasssignal），其带宽（Bandwidth）为M，而已调信号则变成了一个带宽为2M的带通信号（Bandpasssignal）。
这表明，通过调制，信号在传输过程中，与不调制而直接传输相比，需要占居更宽的信道（Channel）带宽。
从图4.8可以看出，同步解调的原理类似于调制原理，只是在乘法器（Multiplier）后面接了一个低通滤波器，请同学们参看教材中的相关内容，自行分析同步解调的原理，并绘制出同步解调过程中各信号的频谱图。
5、通信系统中的调制与解调仿真
本实验室利用MATALAB对通信系统中的调制与解调、滤波等进行仿真。
具体方法简述如下：
1、在命令窗口键入simulink然后按回车键，这时屏幕上将出现一个新界面：
SimulinkLibraryBrowser界面。
2、新建仿真系统图：
第一步：
单击左上角的新建按钮，将在屏幕右部出现建模窗口；
第二步：
建立仿真系统的系统函数。
单击continuous模块，选择系统函数功能框，将它拖放到空白图面上，然后双击该功能框，又出现参数选择对话框，在该框中设定好仿真系统（滤波器）的参数。
如果仿真模型中需要多个系统函数功能框图，可重复第二步；
第三步：
选择信号源。
单击Sources模块，选择需要的信号源拖放到模型图中，然后双击已设定适当的参数；
第四步：
选择信号之间的运算单元，如加法器，乘法器（调制器）等。
单击MathOperations模块，选择所需的运算单元，拖放到模型图中并双击加以设定；
第五步：
选择显示器，通常选择示波器。
单击Sinks模块，并拖放到模型图中；双击加以设定；
第六步：
将模型图中的所有元件调整好位置，然后进行连接。
3、选择仿真时间，单击模型图上部的Simulation菜单，选中SimulationParameters子菜单设定方针的起止时间，如不设定，则系统默认的起止时间为0~10s。
4、单击运行按钮开始仿真，双击示波器即可看到仿真结果。
三、实验内容及步骤
实验前，必须首先阅读本实验原理，了解所给的MATLAB相关函数，读懂所给出的全部范例程序。
实验开始时，先在计算机上运行这些范例程序，观察所得到的信号的波形图。
并结合范例程序所完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序的编程算法。
实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。
Q3-1范例程序Program3_1中的连续时间信号x（t）是什么信号？
它的数学表达式为：
Q3-2在1/2—1/10之间选择若干个不同Ts值，反复执行执行范例程序Program3_1，保存执行程序所得到的图形。
Ts=1/2时的信号时域波形和频谱图
Ts=1/4时的信号时域波形和频谱图
Ts=1/8时的信号时域波形和频谱图
根据上面的三幅图形，作一个关于抽样频率是怎样影响已抽样信号频谱的小结。
答：
程序Program3_1中的连续信号是否是带限信号？
如果不是带限信号，是否可以选择一个抽样频率能够完全消除已抽样信号中的频谱的混叠？
如果不是带限信号，那么，这个连续时间信号在抽样前必须滤波，请你选择一个较为合适的频率作为防混叠滤波器的截止频率，你选择的这个截止频率是多少？
说明你的理由。
答：
Q3-3阅读范例程序Program3_2，在这个程序中，选择的信号的最高频率是多少？
这个频率选择得是否恰当？
为什么？
答：
Q3-4在1—8之间选择抽样频率与信号最高频率之比，即程序Program3_2中的a值，反复执行范例程序Program3_2，观察重建信号与原信号之间的误差，通过对误差的分析，说明对于带限信号而言，抽样频率越高，则频谱混叠是否越小？
答：
Q3-5图Q4-7是一个RLC串联电路，在有些场合，可以把它用来作为一个滤波器使用，如果选择不同的位置的信号作为输出信号，该电路具有不同的滤波特性。
该电路的输出信号分别为y1（t）、y2（t）和y3（t）时，电路的输入输出微分方程和频率响应的数学表达式分别形如：
选择y1（t）为输出信号时（可将电路看成系统1）
微分方程为
频率响应为
选择y2（t）为输出信号时（可将电路看成系统2）
微分方程为
频率响应为
选择y3（t）为输出信号时（可将电路看成系统3）
微分方程为
频率响应为
请写出上面的微分方程和频率响应表达式中的参数、n与R、L、C之间的数学关系。
Q3-6编写程序Q3_6，根据、n之值，计算并在同一个图形窗口的三个子图中绘制出这三个频率响应特性曲线，绘制的频率范围为0—40弧度/秒。
抄写程序Q3_6如下：
执行程序Q3_6，输入zeta=0.7，wn=15，在图形中的空白处，标上zeta和wn之值，。
保存所得到的图形如下。
zeta=0.7，wn=15时的频率响应曲线图
根据上面的图形，请说明系统1、系统2和系统3分别具有何种滤波特性？
答：
固定zeta=0.7，在2—30之间选择不同的wn值，反复执行程序Q4_8，保存zeta=0.7，wn=5和zeta=0.7，wn=20所得到的两幅图形。
根据执行程序所得到的系统频率响应的形状，说明wn的不同取值分别对系统1、系统2和系统3的滤波特性（从通频带的带宽、过渡带宽和截止频率等方面作说明）的影响。
zeta=0.7，wn=5时的频率响应曲线图
zeta=0.7，wn=20时的频率响应曲线图
答：
固定wn=15，在0.2—1之间选择不同的zeta值，反复执行程序Q4_8，保存zeta=0.4，wn=15和zeta=0.8，wn=15所得到的两幅图形。
根据执行程序所得到的系统频率响应的形状，说明zeta的不同取值分别对系统1、系统2和系统3的滤波特性的影响。
zeta=0.4，wn=15时的频率响应曲线图
zeta=0.8，wn=15时的频率响应曲线图
答：
Q3-7调制与解调仿真实验。
设调制信号为单频正弦信号x（t）=sin（t），其角频率为1rad/s，载波为c（t）=cos（10t），载频为10rad/s。
请按下面的图Q3-7建立仿真模型图：
图中共有三个信号源，其中：
SinWave为调制信号源即调制信号，可设定其频率为1rad/s；
SinWave1为载波信号，可设定其频率为30rad/s，Band-LimitedWhiteNoise为带限白噪声干扰信号，其频率可认为远大于1rad/s；
Product和Product1分别为调制器和解调器，完成信号的乘法运算。
图Q3-7信号的调制与解调仿真模型图
第一个乘法器之后的TransferFun是一个带通滤波器，数学模型可给定为：
第二个乘法器之后的TransferFun是一个低通滤波器，设定其系统函数为：
四、实验报告要求
1、按要求完整书写你所编写的全部MATLAB程序
2、详细记录实验过程中的有关信号波形图（存于自带的U盘中），图形要有明确的标题。
全部的MATLAB图形应该用打印机打印，然后贴在本实验报告中的相应位置，禁止复印件。
3、实事求是地回答相关问题，严禁抄袭。
本实验完成时间：
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