完整版圆的一般方程教案正式.docx
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完整版圆的一般方程教案正式
4.2.1圆的一般方程
课题
圆的一般方程
课型
新
授课课时
1课时
授课时长
45分钟
授课题目（章，节）
第四章第一节421圆的一般方程
教材及参考书目
人教A版高中数学实验教科书必修2
•教学目的与要求
一、知识目标：
（1）理解记忆圆的一般方程的代数特征。
（2）掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件。
二、能力目标：
（1）能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。
（2）能应用待定系数法求圆的一般方程。
（3）能应用代入法求一般曲线的方程。
（4）培养探索发现及分析解决问题的能力。
三、情感目标：
（1）培养学生勇于探索的精神。
（2）渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。
•教学重点
圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程的步骤
•教学难点
圆的一般方程和代入法的掌握、应用
•教学方法
师生合作式探究诱导启发式教学
•教学辅助
多媒体教学平台CAI课件
（3分钟）（22分钟）（16分钟）（3分钟）（1分钟）
•教学过程与时间分配
一、复习提问，引入课题
二、探索研究，讲授新课
三、例题讲解，对应练习
四、课堂小结，反馈回授
五、分层作业，巩固提高
一、复习提问，引入课题
问题：
求过三点（0,0）,（1.1），（4,2）的圆的方程？
【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识,最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？
带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：
多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课
请同学们写出圆的标准方程：
222、,
（xa）（yb）r、圆心（a，b）、半径r
⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容•
⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.
这个方程就是圆的方程•
反过来给出一个形如xy2DxEyF0的方程，它表
示的曲线一定是圆吗？
把x2y2DxEyF0配方得：
222
Do.E2DE4F
（x—）（y）
4
【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：
这个方程是不是表示圆？
⑴当D2E24F2>0时，方程表示以（-D，-）为圆心，以
⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力•⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦•
⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时
22
教学基本内容
设计意图
⑵当D2E24F2=0时，方程只有实数解xD,y-
22
即只表示个点（—,—）.
22
⑶当D2E24F2<0时，方程没有实数解，因此它不表示任
何图形•
【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师
生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。
【归纳总结】圆的一般方程的特点：
⑴①x2和y2的系数相同，都等于1。
②没有xy这样的二次项。
⑵圆的一般方程中有三个特定的系数D—F,因此只要求
出这三个系数，就能确定圆的一般方程。
⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程，代数特征明
显，圆的标准方程则是几何特征明显。
【师生互动】学生小组讨论交流，老师进行课堂巡视指导，
引导学生归纳。
最后师生共同总结出圆的一般方程的特点。
【辅助手段】板书配方和展开过程，多媒体课件幻灯片展示
三、例题讲解，对应练习
例1判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？
如果是，请
求出圆的圆心及半径。
⑴4x4y4x12y90
22
（2）4x4y4x12y110
分析：
方法1利用配方法将其化为圆的标准形式•
方法2应用圆的一般方程来解，这里D=-1,E=3,F=9.
4
例2求过三点A（0,0），B（1,1），C（4,2）的圆的方程，并求这个
圆的半径长和圆心坐标。
分析：
根据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的
培养思维的严谨性.
⑴归纳知识，有利于学生理清知识脉络•⑵强调的概念的本质，让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征•
⑶深化学生对圆的一般方程的理解.
⑴同步练习，检测学生的掌握情况，及时回授，强化知识点的应用.
⑵加深对所学知识的理解应用，使学生掌握基础知识，有利于学生更咼思维能力的培养.
教学基本内容
一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为x2y2DxEyF0
TA（0,0）,B（1,1）,C（4,2）在圆上，所以它们的坐标是方程
⑴进一步熟悉圆的一般方程•
⑵通过本题的练习,使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤.
的解，代入方程得到：
F0
DEF20即D=-8E=6F=O
4D2EF200
所求的方程为x2y28x6y0
r1~E"~=5、D=4、E=-3
222
•圆心坐标为（4,-3）
或将x2y2DxEyF0化为圆的标准方程：
（x4）2（y3）225
⑴总结题目方法，提炼出解决一般问题的方法，形成类型题的方法•
⑵强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.
【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤
⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
⑵根据条件列出关于a、b、r或DE、F的方程组。
⑶解出a、b、r或DE、F并将其代入其相关方程。
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆上（x1）2y24运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：
如图点A运动引起M运动，而点A在圆上运动点A的坐标满足方程（x1）2y24，建立点M与点A的关系，
M的方程。
教学基本内容
设计意图
【教师讲解】:
设点M的坐标是（x,y），点A的坐标是（x0,y0），
由于点B的坐标是（4,3），且M是线段AB的中点，所以有：
xo4yo4
⑴进一步熟悉圆的
x—，y——
22
一般方程•
于是有x02x4，y02y3
⑵掌握运用代入法
因为点A在圆（x1）2y24上运动，所以点A的坐标满
求解曲线的轨迹方
足方程（x1）2y24
程的步骤.
⑶培养学生运用知
即（X。
1）yo4
识的能力.
把①代入②，得：
22
（2x41）（2y3）4
整理，得：
3232
（x2）（y才1
所以，点M的轨迹是以（3，色）为圆心，半径是1的圆.
22
【归纳总结】运用代入法求轨迹方程的步骤
⑴总结归纳，把方法
⑴建立适当的坐标系，用有序数对（x,y）表示曲线上任意一
系统化，形成能力.
点M的坐标.
⑵写出适合条件的点M的集合.
⑶列出方程f（x,y）0.
⑴让学生熟悉巩固
⑷化方程f（x,y）0为最简形式.
知识，运用方法，另
【课堂练习】
外还可让学生上台
1求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长
演习各自解题过程.
⑴x2y26x0⑵x2y22by0
这样既可及时反馈
（3）x2y22ax^5ay3a20
学生知识的掌握情
2判断下列方程分别表示什么图形
况，又可以纠正学生
在解题过程中出现
⑴xy0⑵xy2x4y60
的各种问题，如方法
⑶x2y22axb20
错误、书写不规范等
教学基本内容
设计意图
3如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3，
问题•
求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求出圆心坐标和半径•
⑵进一步巩固代入
［提示：
待定系数法的应用.nvI
法等数学方法，提高
学生的思维能力和
运用知识解答问题
L（L__.
的能力.
且0/Bx
【师生互动】⑴第一二题练习课让学生通过抢答的形式进行.
⑵第三题练习是待定系数法方法的运用，教师
可叫几个同学上黑板进行板演，教师适当点
评，最后教师讲解解题过程.
⑴有利于学生理清
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示，学生自练或板演，教
本节课的重难点，深
师讲评解题过程.
化对圆的一般方程
四、课堂小结，反馈回授
的理解，帮助学生从
1、对方程x2y2DxEyF0的讨论和圆的一般方程的
感性认识上升为理
代数特征理解•
性认识.
⑵有利于学生把知
2、圆的一般方程和标准方程的互化.
识转化为能力，形成
3、待定系数法求解圆的一般方程.
数学方法和数学思
4、代入法求解曲线的轨迹方程.
维
五、分层作业，巩固提高
⑶启发引导学生进
必做题：
教材134页3、4
行归纳整理，培养学
选做题：
生宏观掌握知识的
1
1.已知点M与两个定点0（0,0）、A（3,0）的距离的比为—，求
2
能力.
点M的轨迹方程。
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示作业
⑴必做题与选做题
相结合，面向全体学
生，激发学生兴趣.
教学基本内容
设计意图
六、板书设计
课题
标准方程的展开
例1
例3
一般方程的配方
例2
课堂小结
一般方程什么时候表
示圆的讨论
课后作业
4.
1-2圆的一般方程
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