专题电磁感应导体棒问题分解.docx
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专题电磁感应导体棒问题分解
专题：
电磁感应导体棒问题
电磁感应导体棒问题涉及力学、功能关系、电磁学等一系列基本概念、基本规律和科学思维方法。
分清不同性质的导轨，熟悉各种导轨中导体的运动性质、能量转化特点和极值规律，对于吃透基本概念，掌握基本规律,提高科学思维和综合分析能力，具有重要的意义。
主干知识
一、发电式导轨的基本特点和规律
如图1所示，间距为I的平行导轨与电阻R相
连，整个装置处在大小为B、垂直导轨平面向上
的匀强磁场中，质量为m电阻为r的导体从静止开始沿导轨滑下，已知导体与导轨的动摩擦因数为求：
棒下滑的最大速度.
1、电路特点
导体为发电边，与电源等效，当导体的速度为V时，其中的电动势为
E=BIv
2、安培力的特点
安培力为运动阻力，并随速度按正比规律增大。
22
Fb=BII二b_^i二B1v二V
RrRr
3、加速度特点
加速度随速度增大而减小，导体做加速度减小的加速运动
mgsin-mgcosB2l2v/（Rr）
4、两个极值的规律
当v=0时，Fb=O,加速度最大为am=g（sin0-卩cos0）
当a=0时，艺F=0,速度最大，根据平衡条件有
22
mgsin0=卩mgcos0+B1Vm
（R+r）
所以，最大速度为：
Vm二mg（s心-"C（2^）（Rr）
B2l2
5、匀速运动时能量转化规律
当导体以最大速度匀速运动时，重力的机械功率等于安培力功率（即电
功率）和摩擦力功率之和，并均达到最大值。
'巳=mgVmSin日
E2
Pg=R+RR=FmVm=lmEm=T=im（R+r）
R+r
Pf=4mgvmcos0
当□=0时，重力的机械功率就等于安培力功率，也等于电功率，这是
发电导轨在匀速运动过程中，最基本的能量转化和守恒规律。
msin0=FnVm=InEm-
=im（Rr）
例1、如图所示，两根平行金属导轨abed,固定在同一水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨所在的平面垂直，导轨的电阻可忽略不计。
一阻值为R的电阻接在导轨的be端。
在导轨上放一根质量为m,长为L,电阻为r的导体棒ef,它可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中与导轨接触良好并保持垂直。
（1）若导体棒从静止开始受一恒定的水平外力F的作用求：
导体棒获得的最大速度时，ef的位移为s,ee
整个过程中回路产生的焦耳热。
（2）若金属
X
___
X
X
-X
棒ef在受到平行于导轨，功率恒为P的R
X
Xr
X
Bx
X
X
X
X
水平外力作用下从静止开始运动。
求:
金属棒
X
X
X
X
b
w
f
a
ef的速度为最大值一半时的加速度a。
二、双动式综合导轨的基本特点和规律
如图所示，宽为I的光滑平行导轨的水平部分处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。
质量为m电阻为r
的导体从高h处由静止开始滑
下，而且与原来静止在水平轨道上h
质量为M电阻为R的导体始终没有碰撞。
1、电路特点
两导体同方向运动，开始电动势较大的为发电边，与电源等效；电动势
较小的为电动边，与电动机等效。
2、电流特点
导体m进入磁场后，开始切割磁感线，产生感应电动势，并在回路中形成感应电流；同时，在安培力的作用下，导体M也同向运动，产生反电动势。
根据欧姆定律，电路中的电流可以表示为：
BlVm-BIvm
Rr
BI（Vm-Vm）
R+r
所以电流随两导体的相对速度Vm-VM的减小而减小。
当VM=0时电流最大
当vm=VM，电流1=0
3、安培力、加速度特点
安培力对发电边为阻力，对电动边为动力，在轨道宽度不变的情况下,
两边的安培力大小相等，方向相反即矢量和为零。
安培力的大小可表示为:
Fb=BII
=B2|2（Vm-Vm）
R+r
所以安培力也随两导体的相对速度Vm-VM的减小而减小。
当Vm=0时安培
力最大。
当VhFVm,安培力Fb=0
据牛顿第二定律知：
加速度a随安培力的变化而变化
4、速度极值
根据机械能守恒定律，发电边进入水平轨道时速度的最大值为
Vmax=V。
=2gh
当两者达到共同速度时，发电边的速度达到最小值，电动边的速度达最大值。
根据系统动量守恒，所以有
mv0=（mM）v
mV）
v=
mM
5、全过程系统产生的热
当相对速度为零，即Vm=VM=V时，电流为零，回路不再消耗电能一一两导体开始以共同速度v匀速运动。
根据全过程中能转化和守恒规律，有
12
mgh（mM）vQ
2
所以全过程中系统产生的热为：
12Mmgh
Q=mgh-（mM）v=
mM
6、全过程两导体产生的热量之比与电阻成正比
根据连导体串联电路中，每时刻通过的电流相等，从而有Q=l2Rt所以全过程中两导体产生的热之比为：
Qr丄
QrR
例2电容冲电式导轨的基本特点和规律
如图所示，宽为I的光滑竖直导轨，处于磁感应强度为B方向垂直导轨平面的匀强磁场中，上端接有电容为C的电容器。
一根质量为m的导体，
从静止开始沿导轨滑下
1、电路特点
导体为发电边，在加速运动的过程中不断对电容器充电，电路中始终存在充电电流
2、三个基本关系
在重力和安培力的作用下，导体的加速度可以表示为：
mg-Fba=
受到的安培力可以表示为：
Fb=BI1②
回路中的电流可以表示为：
II二竺二吐CBLW二CBIa
AtAtAt
3、四个重要结论
结论一：
导体做出速度为零的匀加速直线运动
证明：
将加速度a之值代入③式，所以，电流为:
CBlmg
22
mgCBl
结论三：
导体受到的安培力为恒力
结论四：
电容器储存的电场能等于安培力做的功
证明:
WF=FBh二BIl（1at2）
二B（CBIa）lgat2）
12
C（BIat）2
12
C（BIv）2
式中BIv=E,即导体的电动势，也即电容器连极板间的电压，所以，安培力的功等于电容器储存的电场能Ec,即
12
Wf二CE二Ec
2
例2、如图所示，导体棒ef、bc处于水平放置宽度不同的足够长的平行金属导轨上，Li=2L2，导体棒bc和ef的质量均为m磁感应强度为B
的匀强磁场垂直穿过导轨平面。
现固定bc棒，给ef一水平向右的初速
度V0，不计导轨电阻及摩擦。
问：
当bc棒不固定时，ef以Vo起动后整
个运动过程中产生多少热量？
练习：
例1、如图所示，在间距为l的光滑的水平导
f轨
B
b号歩a
上，放置两根质量均为m电阻均为R的导体a和b,处于方向竖直向上的
大小为B的匀强磁场中。
如果对导体a价水平向右的恒力F，是计算：
（1）导体a的加速度的最小值和导体b
的加速度的最大值是多少？
（2）两导体最终的相对速度
【解析】但两导体开始运动后，导体a为发电边，受到的安培力为阻力，做加速度减小的加速运动；导体b为电动边，受到的安培力为动力，做加速度增大的加速运动。
（1）当两者的加速度相等时，导体a的加速度达到最小值，导体b的加速度达到最大值。
以系统为研究对象，根据牛顿第二定律，两极值为
F
amin二amax
2m
（2）以导体b为研究对象，根据牛顿第二定律，安培力为
1匚
FB=mamax9F
从而有耳网11血廻生
22R
这时，两导体的相对速度（Va-Vb）、电路中的电流I也恒定不变。
所以两导体最终的相对速度为
FR
Vab=（V^VbHB2|2
例2、如果上题中，导体a以初速度Vo向导体b运动，两导体始终没接触，试计算：
【解析】当两导体运动后，导体a为发电边，受到的安培力为阻力做加速
度减小的减速运动；导体b为电动边受到的安培力为动力，作加速度减小的加速运动
（1）当两者达到共同速度v,即E=E反时，电路中无电流机械能不再转化为焦耳热。
根据系统的动量和能量守恒，有
mw=2mv
1212mv0（2m）vQ
22
所以，产生的焦耳热为
12212
Qmv0-mvmv0
24
（2）当导体a的速度减小1/4，即va=3vo/4时，根据动量守恒得,
mvo二mvamvb,贝卩vb-
4
这时导体b受到的安培力为
_（Blva-Blvb）
-Bl
2R
所以这时导体b的加速度为
L2.2
FBBlv0
ab=二
m4mR
例5、如图所示，宽为L=1m倾角0=30°的光滑平行导轨与电动势为E=3.0V、
内阻r=0.5Q的电池相连接，处在磁感应强度B二」t、方向竖直向上的匀强
3
电场中。
质量为m=200g电阻R=1Q的导体ab从静止开始运动。
不计其余
电阻，且导轨足够长，试计算：
（1）若在导体ab运动t=3s是将开关合上，这时导体受到的安培力是多大？
加速度是多少？
（2）导体ab的收尾速度是多大?
（3）
当达到收尾速度时，导体ab的重力功率、安培力功率、电功率，以及回路中焦耳热功率各是多
少？
【解析】在电路接通前，导体ab在3s末的速度
%=at二gtsinv-15m/s
导体ab的电动势为
Eab=BLv0cost-7.5V，E=3V
因此，导体ab于电源等效，而电池为被充电的反电动势负载
（1）所以，开关S和尚时导体ab阿后到的安培力水大小为
F0=Bl0L=B—El=3N
Rr
而导体的加速度为
式中负号表示加速度方向沿斜面向上，即导体沿斜面作减速运动
（2）以沿斜面向上为正方向，导体加速度的一般表达式为
Fcos：
-mgsin）a二
BL（Eab-E）
m（Rr）
cos-
因此导体做加速度减小的加速运动，当a=0时，速度最小，然后以最小速度开始匀速运动。
从而有
mgsinuBUBLfncos-E）c却
R+r
所以收尾速度为
vmin=mg（R于阳2BELCOSjl2m/s
BLcos0
如图所示，两根光滑的水平放置的平行导轨，相距为d,两根质量均为m金属棒ab、cd平行静止在导轨上，金属棒与导轨垂直，其中ab棒用长为
L的绝缘细线悬挂在支架上，细线伸直，ab恰好与导轨接触，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，现把ab棒移至水平位置a/b/，从静止开始释放,
到最低点与轨道接触，又继续向左摆动，摆到最高点位置a〃b〃时与竖直方
向成600，问
电容冲电式导轨的基本特点和规律
如图所示，宽为I的光滑竖直导轨，处于磁感应强度为B方向垂直导轨平面的匀强磁场中，上端接有电容为C的电容器。
一根质量为m的导体，从静止开始沿导轨滑下
1、电路特点
导体为发电边，在加速运动的过程中不断对电容器充电，电路中始终存在充电电流
2、三个基本关系
在重力和安培力的作用下，导体的加速度可以表示为：
受到的安培力可以表示为：
Fb=BII②
回路中的电流可以表示为：
"十乎普5
3、四个重要结论
结论一：
导体做出速度为零的匀加速直线运动
结论二：
电路中的充电电电流恒定不变，为恒定直流
证明：
将加速度a之值代入③式，所以，电流为:
ICBlmg
2~2
mg+CBI
结论三：
导体受到的安培力为恒力
证明：
将电流代入安培力公式得，
CB2I2mg
FB二m+CBI
结论四：
电容器储存的电场能等于安培力做的功
证明:
WF二FBh二BII（1at2）
12
二B（CBIa）iqat2）
12
C（BIat）2
12
C（BIv）2
式中BIv=E，即导体的电动势，也即电容器连极板间的电压，所以，安培力的功等于电容器储存的电场能巳，即
12
WFCE2二Ec
F2c
［例2］如图3-9-4所示，两根竖直放置在绝缘地面上的金属导轨的上
端，接有一个电容为C的电容器，框架上有一质量为m长为I的金属棒，
平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高
度为h,磁感强度为B的匀强磁场与框架平面垂直.开始时，电容器不带电.将金属棒由静止释放，问：
棒落地时的速度为多大？
（整个电路电阻不计）本题要抓几个要点：
①电路中有无电流？
②金属棒受不受安培力作用？
若有电流，受安培力作用，它们怎样计算？
③为了求出金属棒的速度，需要用力学的哪种解题途径：
用牛顿运动定律？
动量观点？
能量观点？
师：
本题与例1的区别是，在分析金属棒受什么力时首先思维受阻：
除了重力外，还受安培力吗？
即电路中有电流吗？
有的学生认为，虽然金属棒由于“切割”而产生感应电动势';但电容器使电路不闭合故而
二屮二它门二备辽八？
上’』「I：
订为了判断有无电流，本
题应先进行电路的组成分析，画出等效电路图.
图3-9-5
（学生画图，见图3-9-5.）
问：
电路中有电流吗？
（这一问题对大多数学生来说，根据画的电路图都能意识到有电容器充电电流，方向为逆时针.）
再问：
这一充电电流强度I应怎样计算？
（运用什么物理概念或规律？
）
计”这一条
件，因而思维又发生障碍.
追问：
这个电路是纯电阻电路吗？
能否应用欧姆定律求电流强度?
让学生认清用欧姆定律根本就是“张冠李戴”的.
引导：
既然是给电容器充电形成电流，那么电流强度与给电容器极板上充上的电量Q有什么关系？
有的学空经引导又会想到用定义式I=°・
t-
师：
让学生判断，分析确定金属棒受的合外力怎样变化时，要考虑安培力的变化情况，所需确定的是瞬时电流，还是平均电流？
（瞬时电
流Q1=-是瞬时电流吗？
t
学生思维被引导到应考虑很短一段时间At内电容极板上增加的电
量ZXQ时，电路中瞬间电流为"孚
At
师：
电容器极板上增加的电量与极板间的电压有何关系？
因为Q=CUc所以△Q=C\Uc
师：
而电容两极板间的电压又根据电路怎样确定？
生：
因电路无电阻，故电源路端电压U='=Blv,而U=Uc所以△Uc二BL
式中岂为秆的加速度乳
At
指出：
本题中电流强度的确定是关键，是本题的难点，突破了这一难点,以后的问题即可迎刃而解.
问题：
下面面临的问题是金属棒在重力、安培力共同作用下运动了位移为h时的速度怎样求.用动量观点、能量观点，还是用牛顿第二定律？
（学生经过分析已知条件，并进行比较，都会选择用牛顿第二定律.）
指点：
用牛顿第二定律求解加速度a,以便能进一步弄清金属棒的运动性质.
板书：
mg-B・I•匸ma②
由①②端“為7③
m+CB1
师：
由同学们推出的结果，可知金属棒做什么性质的运动？
生：
从③式知a二恒量，所以金属棒做匀加速运动.
师：
让学生写出落地瞬时速度表达式.
师：
进一步分析金属棒下落中的能量转化，金属棒下落，重力势能减少,转化为什么能力？
机械能守恒吗?
学生：
克服安培力做功，使金属棒的机械能减少，轻化为电能，储存在电容器里，故金属棒的机械能不守恒.金属棒下落中减少的重力势能一部分转化的电能，还有一部分转化为动能.
师：
对.只要电容器不被击穿，这种充电、储能过程就持续进行，
电路中就有持续的恒定充电电流I=CBb二旦孚y
m+CB1
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