数学春季全国版教案 四年级12 简单的排列组合.docx
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数学春季全国版教案四年级12简单的排列组合
第12讲握手的学问
——简单的排列组合
[教学内容]
春季全国版,四年级第12讲“握手的学问——简单的排列组合”
[教学目标]
知识技能
1.正确理解分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理),培养学生的归纳概括能力。
2.能根据具体的问题,准确利用两个原理进行分析和解决。
数学思考
培养学生的逻辑思维能力。
问题解决
培养学生用不同的方法解决问题的思维方式,渗透在多种方法中选择最简单的方法解决问题。
情感态度
1.通过让学生解决实际问题,使学生感受数学与实际生活的密切联系。
2.培养学生独立探究的好习惯,并渗透德育。
[教学重点和难点]
教学重点
分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)。
教学难点
分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解与运用。
[教学准备]
动画多媒体语言课件。
第一课时
教学过程:
教学路径
学生活动
方案说明
一、问题导入
一次集会共有50人参加,结束时,大家两两握手,互相道别,请你统计一下,大家握手次数共有多少?
下一步
某商场有东南西北四个大门,当你从一个大门进去又从另一个大门出来,问你共有多少种不同走法?
学生先尝试解答,教师巡视,对学生的答案先不做评价。
师:
在日常生活中,同学们经常涉及安排搭配的问题,这些其实就是排列、组合问题。
大家刚才的解答到底对不对呢?
我们学完这节课再来解答。
揭示课题:
这节可我们就来研究“简单的排列组合”问题。
二、自主探究
(一)课件出示例1
例1:
从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。
一天中,火车有4个班次,汽车有2个班次,轮船有3个班次。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走法?
(1)学生读题,获得信息
师:
从甲地到乙地可以做什么交通工具?
生:
火车,轮船,汽车。
师:
每类方法都能独立完成这件
火车有几种坐法?
坐汽车和轮船又分别有多少种方法?
生:
火车有4种,坐汽车有2种,坐轮船有3种。
(2)复习旧知,学生从枚举法列出所有路线
(3)教师讲解分类加法原理
从甲地到乙地有3类方法:
第一类方法,乘火车,有4种方法;
第二类方法,乘汽车,有2种方法;
第三类方法,乘轮船,有3种方法。
解析:
下一步出示连线动画
答案:
4+2+3=9(种)
答:
一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有9种不同的走法。
(4)小结
强调:
从甲地到乙地,有三类方式:
每一类方法都能独立将事情完成。
第一类(按钮):
乘火车(出图)
第二类(按钮):
乘汽车(出图);
第三类(按钮):
乘轮船(出图)。
那么求共有多少种不同的走法就用分类加法原理。
下一步:
分类加法计数原理:
完成一件事有n类不同的方法,第一类有m1种不同方法,第二类有m2种不同方法,……第n类有mn种方法,那么完成这件事共有m1+m2+…+mn不同的方法。
(5)学生同桌之间互相讲解
(二)探究类型二
例2:
如图,由A村去B村的道路有2条,由B村去C村的道路有3条。
从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?
(1)学生读题后思考,学生用枚举法列出所有路线
方法一:
动画给出每种方式。
路线:
①③①④①⑤②③②④②⑤
答案:
共有6种不同的走法。
(2)教师讲解乘法原理
从A村走绿色线路①到B村有3种方法(①③、①④、①⑤)可以到C村;
从A村走红色线路②到B村有3种方法(②③、②④、②⑤)可以到C村。
师:
一共有2个3所以可以用乘法。
方法二:
由A村去C村需要两步:
第一步从A村到B村有2条路;
第二步从B村到C村有3条路。
下一步:
填空。
答案:
2×3=6(种)
答:
共有6种不同的走法。
(3)小结:
强调:
从A村经B村去C村,可分为两步,每步都完成才能将事情完成。
第一步(按钮):
从A村到B村有2种方法;
第二步(按钮):
从B村到C村有3种方法。
那么求共有多少种不同的走法就用分步乘法原理。
下一步:
分步乘法原理:
完成一件事需要n步,第一步有m1种方法,第二步有m2种方法,……第n步有mn种方法,那么完成这件事共有m1×m2×…×mn不同的方法。
(4)小组讨论:
分类加法原理与分步乘法原理的不同?
(三)探究类型三
(分两页)
例3:
某班级有男学生5人,女学生4人。
(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法?
(1)学生读题,辨析问题特征
师:
完成任选一人去领奖这件事,是分步计数还是分类计数问题?
为什么?
生:
分类计数,因为每一类互相独立,都可以独立完成整个事情。
(2)学生独立完成
(3)学生互相讲解,注重判别分类计数的方法。
答案:
5+4=9(种)
答:
有9种不同的选法。
下一页:
(2)从中任选男、女学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法?
(1)学生读题,辨析问题特征
师:
完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,是分类还分步呢?
为什么?
生:
分步,因为必须分别从男生和女生中各选出一个才能算把事件完成。
师:
说得非常好,所以我们要分几步呢?
生:
分两步。
(2)学生尝试解答第二个问题。
(3)学生互相讲解,注重判别分步计数的方法。
解析:
5个男生图和4个女生图,排两行。
下一步:
出示连线动画
答案:
5×4=20(种)
答:
有20种不同的选法。
(4)引导学生感悟解答排列组合问题的关键:
解题的关键是从总体上看,这件事情是“分类完成”还是“分步完成”,“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。
三、大胆闯关
(一)练习大胆闯关第1题
1.某工厂有三个车间,第一车间有三个小组,第二车间有四个小组,第三车间有五个小组。
有一个人分配到该工厂工作,有几种不同的安排?
(1)学生尝试独立完成
(2)汇报交流,集体核对,指名学生讲解思路
新工人分配到工厂,可以分到三个车间中的任一车间,第一车间有三个小组可安排,第二车间有四个小组可安排,第三车间有五个小组可安排,所以把这名工人分到该工厂有(3+4+5)种不同的安排。
(二)练习大胆闯关第2题
2.一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有小球的颜色各不相同。
(1)从两个口袋内任取一个小球,有种不同的取法;
(2)从两个口袋内各取一个小球,有种不同的取法。
(1)学生独立完成填空,然后指定学生说说自己的解题思路。
(2)学生辨析:
这两道题的两问有什么不同?
学生思考回答,注意总结:
第
(1)题是从两个口袋内任取一个小球,属于分类计数,用加法完成。
第
(2)题是从两个口袋内各取一个小球,需要分步完成,用乘法完成。
(三)练习大胆闯关第3题
3.由0~9这十个数字所组成的所有两位数中,个位数字小于十位数字的有多少个?
(1)学生读题后理解题意
(2)指名回答解题思路,师适当点拨:
解析:
十位数是9的符合要求的只有9个数;
十位数是8的符合要求的只有8个数;
十位数是7的符合要求的只有7个数;
……
十位数是1的符合要求的只有1个数,
(下一步)填空
共有9+8+7+…+2+1=45个位数字小于十位数字的两位数。
(下一步)填空
四、全课小结:
师:
你能用自己的话说一说分类加法计数原理和分步乘法计数原理吗?
培养学生的归纳概括能力
第二课时
教学过程:
教学路径
学生活动
方案说明
一、复习过渡
师:
上节课我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,你能说一说这两种原理的区别吗?
二、自主探究
(一)学习探究类型之四
(分页出示)
例4:
书架上层放有6本不同的数学书,中层放有5本不同的语文书,下层放有4本不同的英语书。
(1)从中任取一本,有多少种不同的取法?
(配插图)
(1)学生尝试独立完成
(2)汇报交流,集体核对,指名学生讲解思路
从中任取一本,可分为3类:
第一类方法取上层的数学书,有6种不同的方法;
第二类方法取中层的语文书,有5种不同的方法;
第三类方法取下层的英语书,有4种不同的方法。
答案:
6+5+4=15(种)
答:
有15种不同的取法。
下一页:
(2)从中任取语文、数学、英语书各一本,有多少种不同的取法?
(配插图)
(1)学生尝试独立完成
(2)汇报交流,集体核对,指名学生讲解思路
解析:
从中任取语文、数学、英语书各一本可分为3步。
第一步从上层取一本数学书有6种方法;
第二步从中层取一本语文书有5种方法;
第三步从下层取一本英语书有4种方法。
答案:
6×5×4=120(种)
答:
有120种不同的取法。
下一页:
(3)从中任取两本书,且科目不同,有多少种不同的取法?
(配插图)
(1)小组讨论:
.从三层书中任取两本书,且要科目不同,可以分为几类?
.每类各有几种方法?
(2)汇报交流
第一类是取语文、数学书各一本;
第二类是取语文、英语书各一本;
第三类是取英语、数学书各一本。
每类取法都要分两步完成,所以本题需要先分类,后分步,分步用乘法原理,分类用加法原理。
(3)学生列式计算。
答案:
取数学、语文各一本:
6×5=30(种)
取数学、英语各一本:
6×4=24(种)
取语文、英语各一本:
5×4=20(种)
共有取法:
30+24+20=74(种)
答:
有74种不同的取法。
(4)小结:
在排列与组合问题中,有的要分类解决,用加法原理;有的要分步解决,用乘法原理;还有的问题既要分类,也要分步,需要两种原理综合运用。
(二)学习探究类型之五
例5:
由1、2、3、4、5可以组成多少个三位数(各位上的数字不允许重复)?
(1)学生读题后交流
组成三位数,分几步完成?
每步各有几种不同的方法?
(2)学生汇报讨论结果,师引导归纳:
组成三位数要分三步完成,第一位上有5种选择,由于各位上的数字不能重复,所以第二位上有4种选择,第三位上有3种选择,因为本题是分步完成问题,所以用乘法原理解决。
(3)学生列式解答本题
(4)集体核对,指名请学生说解题思路。
解析:
给出写有1、2、3、4、5的五张数字卡片。
(卡片可拖动)
百位
十位
个位
答案:
5×4×3=60(个)
答:
可以组成60个三位数。
(三)例5后变式练习
变式练习
一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位的密码?
(1)师生合作分析题意
问:
本题与例5有什么相同点与不同点?
生:
本题中每位上的数字都有10种选法。
(2)学生独立解决,师巡视指导。
(3)指定学生说说解题思路与方法
(4)师生共同小结:
正确使用两个基本原理的前提是要清楚两个基本原理使用的条件;分类用加法原理,分步用乘法原理,问题在于怎样合理地进行分类和分步。
无论是分类、分步,都要做到不重不漏。
三、大胆闯关
(一)大胆闯关4
4.2008年奥运会在中国北京成功举办了,若进行从北京经南京去上海的火炬接力,计划北京到南京有东路8天,中路4天,西路6天三种走法,南京到上海有东路5天,西路3天两种走法,若总时间不超过12天,则共有多少种不同的走法?
(1)学生先尝试独立完成
(2)汇报交流,指定学生说说解题思路与步骤。
注意学生思路的正确性与清晰度:
“北京到南京有东路8天,中路4天,西路6天三种走法,南京到上海有东路5天,西路3天两种走法”,本题是分步计算问题,用乘法解决。
但“总时间不超过12天”,所以还要排除总时间超过12天的走法(可结合画图讲解)。
(3)鼓励学生说出不同的解法,
解析:
下一步:
动画南京东路8天,上海东路闪一闪保留颜色。
答案:
3×2-1=5(种)
答:
共有5种不同的走法。
(二)大胆闯关5
5.如下图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
(1)小组交流以下问题:
给A涂色有几种方法?
给B涂色有几种方法?
C呢?
最后给D涂色应该有几种方法?
(2)汇报交流
解析:
涂色可以分为4个步骤:
先给A涂色,再依次给B、C、D涂色。
步骤1(按钮):
给A涂色有3种选择(3中选择的颜色分别演示一遍)
步骤2(按钮):
给B涂色有2种选择,(在A涂色确定下来之后,把B的2种选择演示一遍)
步骤3(按钮):
给C涂色有1种选择,(在A、B涂色确定下来之后,把C的1种选择演示一遍)
步骤4(按钮):
给D涂色有1种选择。
(在A、B、C涂色确定下来之后,把D的1种选择演示一遍)
答案:
3×2×1×1=6(种)
答:
不同的涂色方案有6种。
(3)小结:
本题中完成各个步骤的方法要根据具体的情况来分析,如在给D区域涂色时,D的颜色只要和B、C区不相同就行,可以和A重复,应该有1种方法。
三、全课总结
师:
同学们愉快的两节课就快结束了,这两节课你觉得学得快乐吗?
有什么收获?
本课小结:
分类加法计数原理
每一类方法都能独立将事情完成。
完成一件事n类不同的方法,第一类有m1种不同方法,第二类有m2种不同方法,……第n类有mn种方法,那么完成这件事共有m1+m2+…+mn不同的方法。
分步乘法计数原理
每步都完成才能将事情完成。
完成一件事需要n步,第一步有m1种方法,第二步有m2种方法,……第n步有mn种方法,那么完成这件事共有m1×m2×…×mn不同的方法。
学生讲解解题思路。
师生共同归纳解题思路。
学生谈收获,共同总结。
鼓舞学生解决问题的信心与勇气。
本讲教材及练习册答案:
教材:
自主探究:
例14+2+3=9(种)
例22×3=6(种)
例3
(1)5+4=9(种)
(2)5×4=20(种)
例4
(1)6+5+4=15(种)
(2)6×5×4=120(种)
(3)6×5+6×4+5×4=74(种)
例55×4×3=60(个)
变式练习:
10×10×10=1000(种)
大胆闯关:
1.3+4+5=12(种)
2.
(1)9
(2)20
3.1+2+3+…+9=45(个)
4.1+2+2=5(种)(或3×2-1=5(种))
5.3×2×1×1=6(种)
练习册
1.30+17+5=52(种)
2.32个
这类题目中不同的图形代表不同的数,所以□、○、◇代表3个不同的一位数.
分情况考虑:
当□=9,○可以有1~8共8种取法;
当□=8,○可以有1、2、3、5、6、7共6种取法;
当□=7,○可以有1~6共6种取法;
当□=6,○可以有1、2、4、5共4种取法;
当□=5,○可以有1~4共4种取法;
当□=4,○可以有1、3共2种取法;
当□=3,○可以有1、2共2种取法;
当□=2,不满足条件;
当□=1,不满足条件.
所以共有:
8+6++6+4+4+2+2=32(个)
3.15种
4.2×3+4×2=14(种)
5.4×4×4-1=63(种)
补充练习
1.书架上有7本不同故事书,6本不同画报,小明任意从书架上取一本故事书和一本画报,有多少种不同取法?
6×7=42
2.小明到图书馆借书,图书馆有150本不同的外语书,200本不同的科技书,100本不同的小说,只借1本,有多少种不同的选法?
150+200+100=450(种)
3.用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)
5×6×6=180(个)
4.用红、黄、蓝3种颜色给出下图中①②③④⑤五个区域涂色,要求相邻两个区域的颜色不同,有多少种不同的涂法?
3×2×1×1×2=12(种)