高等数学等价无穷小替换极限的计算.docx
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高等数学等价无穷小替换极限的计算
讲义
无穷小极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法
（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了nr数列xn的极限、X—；（Xr•:
:
、X-:
-'）函数fx的极限、X—x0（X-x0、X—乞一）函数f（x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用
x>*表示上述七种的某一种趋近方式，即
*x_x—x、-：
x-x0x-Xqx-x0_;
定义：
当在给定的x>*下，f（x）以零为极限，则称f（x）是x>*下的无
穷小，即xmf（x）=o。
例如,VIXmosinx=o,二函数sinx是当xt0时的无穷小.
lim-=0^函数-是当x—•时的无穷小.
x—xx
■■■lim。
^=0,数列｛-^―^｝是当n—；二时的无穷小.
—nn
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：
当在给定的X—.*下，fx无限增大，则称fx是X—.*下的无
穷大，即lim*f（x）=°°。
显然，nT血时，n、n2、n3、…都是无穷大量，
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
limex=0，limex：
Xx:
.
所以ex当x>时为无穷小，当x、时为无穷大。
2•无穷小与无穷大的关系：
在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷
大，
则丄为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx=0，则丄为无穷大。
fXfX
小结：
无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系：
定理1limf（x）=A?
f（x）A+>（x）,其中〉（x）是自变量在同一变化过
X?
X）
x
程x_x0（或x—）中的无穷小.
证：
（必要性）设limf（x）=A令:
（x）=f（x）-A,则有lim（x）=0,
X?
冷x?
^0
f（x）=A：
（x）.
（充分性）设f（x）=A+：
（x）,其中：
（x）是当X?
Xo时的无穷小，则
limf（x）=lim（A+：
（x））二Alim：
（x）=A
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）；
（2）给出了函数f（x）在xo附近的近似表达式f（x）?
A,误差为〉（x）.
3.无穷小的运算性质
定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如，n》二时丄是无穷小，但n个1之和为1不是无穷小.
nn
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
111
如：
lim（-1）n0，limxsin0，limsinx=0
n7xx护x
推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
1
例如，当x?
0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小，观察各极限：
x2
lim—=0,x2比3x要快得多；
x爭3x
limsinx=1,sinx与x大致相同;x_Qx
x^in1
极限不同，反映了趋向于零的快慢”程度不同.
1.定义：
设〉「是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且-10.
B
（1）如果lim—=0,就说：
是比〉高阶的无穷小，记作：
=0（〉）；
（2）如果lim「二C（C=0）,就说［与〉是同阶的无穷小；
特殊地如果lim=1,则称：
与:
•是等价的无穷小，记作〉~
Ct
（3）如果li^T=C（C?
0,k0）,就说［是〉的k阶的无穷小.
（4）
（2）原极限=迎
2
x
~2
x
例1证明:
当x—；0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.
2.
常用等价无穷小
:
当x>0时,
（1）
sinx〜
x；
（2）arcsinx〜x；
（3）tanx〜
x；
（4）
arctanx
〜x；
（5）ln（1x）〜x；
（6）ex-1〜
x
⑺
1_cosx〜x2
2
（8）（1X）、j〜Jx
（9）ax-1〜
Ina*x
例4求卿坦詩
1
正解：
当X—0时，sin2x~2x,tanx-sinx二tanx（1-cosx）x3,
1x3
故原极限=规話冷
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
tan5x-cosx1
例5求lim.
Tsin3x
1解:
tanx=5xo（x）,sin3x=3xo（x）,1-cosx=尹2o（x2）.
2
5.型1x叱
x2x
3o（x）
x
三、极限的简单计算
1.
2x5—3x4+2x+1
即为其极限，例如㈣2X3x33：
2x；1
2
2；若fXo不存在，我们也能知道属
9
代入法：
直接将XTXo的Xo代入所求极限的函数中去，若f（xo）存在,
于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
0
2.分解因式，消去零因子法
x2_g
例如，lim=limx3=6。
xyx_3t
3.分子（分母）有理化法
X25一3X25一3X2532x15
，火急+1-J5黒（J2x+1-Q‘2x十1+V5対X2+5十3）
=加4
x22x-4
X辽2x_2
又如,
limx21-x=lim0
x—x—x21x
4.
化无穷大为无穷小法
解：
x=0是函数的分段点，两个单侧极限为
2
左右极限存在且相等,故四彳厲/.
y（x））=2k二2,当k充分大时,y（xo）M.无界，
1
⑵取x（k=0,1,2,3,）
2k兀
当k充分大时,Xk”：
：
，但y（Xk）=2k二sin2k二=0”：
M.不是无穷大.
结论：
无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：
若f（x）>0，且帔林刈=人，问：
能否保证有A>0的结论？
试举例说明.
1i
解：
不能保证.例f（x）二一_x0,f（x）二一•0一f（x）二
1
limA=0.
x》:
x
思考题3：
任何两个无穷小量都可以比较吗？
解：
不能•例如当x》=时f（x）=丄，g（x）二沁都是无穷小量
xx
但lim岀二limsinx不存在且不为无穷大，故当―:
:
时f（x）和g（x）不能比
X》：
：
f（x）J：
：
较•
【课堂练习】求下列函数的极限
解:
原极限=limex5二lim亡1lim匕妙二1
（5）
1
x-2
xTx7x7
【分析】“0”型，拆项。
⑶lim5x554x43x2
2x5—4x+1
【分析】“抓大头法”，用于二型
Q0
【分析】：
：
」：
型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算
【分析】“0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。
x2x293
2=6x
12n
（7）求lim（冷刍」）•nYnnn
马）“im12n
n2n厂
n2
1
1n（n1）=lim-——2——n忙：
n2
lim-（V-^-.
n「2n2
解：
n-•时,是无穷小之先变形再求极限.
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容：
两个定义；四个定理；三个推论.
2、几点注意：
（1）无穷小（大）是变量，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3）无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较：
1.反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢，但并不是所有的无穷小都可进行比较。
高（低）阶无穷小；等价无穷小；无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换：
求极限的又一种方法，注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）；
a.多项式与分式函数代入法求极限；
b.消去零因子法求极限；
c.无穷小因子分出法求极限；
d.利用无穷小运算性质求极限；
e.利用左右极限求分段函数极限.
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