线性代数习题集带答案教学文稿.docx

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线性代数习题集带答案教学文稿

线性代数习题集（带答案）

第一部分专项同步练习

第一章行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是（）.

（A）24315（B）14325（C）41523（D）24351

2．如果阶排列的逆序数是,则排列的逆序数是（）.

（A）（B）（C）（D）

3.阶行列式的展开式中含的项共有（）项.

（A）0（B）（C）（D）

4．（）.

（A）0（B）（C）（D）2

5.（）.

（A）0（B）（C）（D）2

6．在函数中项的系数是（）.

（A）0（B）（C）（D）2

7.若，则（）.

（A）4（B）（C）2（D）

8．若，则（）.

（A）（B）（C）（D）

9．已知4阶行列式中第1行元依次是,第3行元的余子式依次为,则（）.

（A）0（B）（C）（D）2

10.若，则中第一行元的代数余子式的和为（）.

（A）（B）（C）（D）

11.若，则中第四行元的余子式的和为（）.

（A）（B）（C）（D）

12.等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组有非零解.（）

（A）（B）（C）（D）

二、填空题

1.阶排列的逆序数是.

2．在六阶行列式中项所带的符号是.

3．四阶行列式中包含且带正号的项是.

4．若一个阶行列式中至少有个元素等于,则这个行列式的值等于.

5.行列式.

6．行列式.

7．行列式.

8．如果，则.

9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.

10．行列式.

11．阶行列式.

12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.

13．设行列式，为D中第四行元的代数余子式，则.

14．已知，D中第四列元的代数余子式的和为.

15．设行列式，为的代数余子式，则，.

16．已知行列式，D中第一行元的代数余子式的和为.

17．齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.

18．若齐次线性方程组有非零解，则=.

三、计算题

1.;2．；

3．解方程；4．；

5.（）；

6.

7.；8．;

9.;10.

11．.

四、证明题

1．设，证明：

.

2．.

3．.

4．.

5．设两两不等，证明的充要条件是.

参考答案

一．单项选择题

ADACCDABCDBB

二．填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;15.;16.;17.;18.

三．计算题

1．；2.；

3.;4.

5.;6.;

7.;8.;

9.;10.;

11..

四.证明题（略）

第二章矩阵

一、单项选择题

1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是（）。

（a）（b）（c）（d）

2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足（）时，B=C。

（a）AB=BA（b）（c）方程组AX=0有非零解（d）B、C可逆

3.若为n阶方阵，为非零常数，则（）。

（a）（b）（c）（d）4.设为n阶方阵，且，则（）。

（a）中两行（列）对应元素成比例（b）中任意一行为其它行的线性组合

（c）中至少有一行元素全为零（d）中必有一行为其它行的线性组合

5.设，为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是（）。

（a）（b）

（c）（d）

6.设为n阶方阵,为的伴随矩阵,则（）。

（a）（a）（b）（c）（d）

7.设为3阶方阵,行列式,为的伴随矩阵,则行列式（）。

（a）（b）（c）（d）

8.设，为n阶方矩阵,,则下列各式成立的是（）。

（a）（b）（c）（d）

9.设，均为n阶方矩阵,则必有（）。

（a）（b）（c）（d）

10.设为阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。

（a）（b）

（c）（d）

11.如果，则（）。

（a）（b）（c）（d）

12.已知，则（）。

（a）（b）

（c）（d）

13.设为同阶方阵，为单位矩阵，若，则（）。

（a）（b）（c）（d）

14.设为阶方阵，且，则（）。

（a）经列初等变换可变为单位阵

（b）由，可得

（c）当经有限次初等变换变为时，有

（d）以上（a）、（b）、（c）都不对

15.设为阶矩阵，秩，则（）。

（a）中阶子式不全为零（b）中阶数小于的子式全为零

（c）经行初等变换可化为（d）为满秩矩阵

16.设为矩阵，为阶可逆矩阵，，则（）。

（a）秩（）>秩（）　（b）秩（）=秩（）

（c）秩（）<秩（）　　（d）秩（）与秩（）的关系依而定

17.，为n阶非零矩阵，且，则秩（）和秩（）（）。

（a）有一个等于零（b）都为n（c）都小于n（d）一个小于n，一个等于n

18.n阶方阵可逆的充分必要条件是（）。

（a）（b）的列秩为n

（c）的每一个行向量都是非零向量（d）伴随矩阵存在

19.n阶矩阵可逆的充要条件是（）。

（a）的每个行向量都是非零向量

（b）中任意两个行向量都不成比例

（c）的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

（d）对任何n维非零向量，均有

二、填空题

1.设为n阶方阵,为n阶单位阵,且,则行列式_______

2.行列式_______

3.设2，则行列式的值为_______

4.设，且已知，则行列式_______

5.设为5阶方阵，是其伴随矩阵，且，则_______

6.设4阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为_______

7.非零矩阵的秩为________

8.设为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量，均有，则的秩为_______

9.若为15阶矩阵，则的第4行第8列的元素是_______

10.若方阵与相似，则_______11._______

12._______

三、计算题

1.解下列矩阵方程（X为未知矩阵）.

1）；2）；

3）,其中；；

4）,其中；

5）,其中；

2.设为阶对称阵,且,求.

3.已知,求.

4.设,,,,求.

5.设,求一秩为2的方阵,使.

6.设,求非奇异矩阵,使.

7.求非奇异矩阵,使为对角阵.

1）2）

8.已知三阶方阵的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为,求矩阵.

9.设,求.

四、证明题

1.设、均为阶非奇异阵,求证可逆.

2.设（为整数）,求证可逆.

3.设为实数,且如果,如果方阵满足,求证是非奇异阵.

4.设阶方阵与中有一个是非奇异的,求证矩阵相似于.

5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.

8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.

9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.

10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第二章参考答案

一：

1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.

二．1.1或-1；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.；10.I；12.0；11..

三、1.1）、；2）、；3）、；4）、；

5）、.2.0；3.；4.；5.不唯一；6.；7.1）、.2）、；8.；9..

第三章向量

一、单项选择题

1.，都是四维列向量，且四阶行列式,,则行列式

2.设为阶方阵，且,则（）。

3.设为阶方阵，，则在的个行向量中（）。

4.阶方阵可逆的充分必要条件是（）

5.维向量组线性无关的充分条件是（）

都不是零向量

中任一向量均不能由其它向量线性表示

中任意两个向量都不成比例

中有一个部分组线性无关

6.维向量组线性相关的充要条件是（）

中至少有一个零向量

中至少有两个向量成比例

中任意两个向量不成比例

中至少有一向量可由其它向量线性表示

7.维向量组线性无关的充要条件是（）

使得

中任意两个向量都线性无关

中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示

中任一部分组线性无关

8.设向量组的秩为,则（）

中至少有一个由个向量组成的部分组线性无关

中存在由个向量组成的部分组线性无关

中由个向量组成的部分组都线性无关

中个数小于的任意部分组都线性无关

9.设均为维向量,那么下列结论正确的是（）

若,则线性相关

若对于任意一组不全为零的数,都有,则线性无关

若线性相关,则对任意不全为零的数,都有

若,则线性无关

10.已知向量组线性无关，则向量组（）

线性无关

线性无关

线性无关

线性无关

11.若向量可被向量组线性表示，则（）

存在一组不全为零的数使得

存在一组全为零的数使得

存在一组数使得

对的表达式唯一

12.下列说法正确的是（）

若有不全为零的数，使得，则线性无关

若有不全为零的数，使得，则线性无关

若线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示

任何个维向量必线性相关

13.设是向量组，的线性组合，则=（）

14.设有向量组，，，，，则该向量组的极大线性无关组为（）

15.设，，，，下列正确的是（）

二、填空题

1.若，，线性相关，则t=▁▁▁▁。

2.n维零向量一定线性▁▁▁▁关。

3.向量线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4.若线性相关，则线性▁▁▁▁关。

5.n维单位向量组一定线性▁▁▁▁。

6.设向量组的秩为r,则中任意r个▁▁▁▁的向量都是它的极大线性无关组。

7.设向量与正交，则▁▁▁▁。

8.正交向量组一定线性▁▁▁▁。

9.若向量组与等价，则的秩与的秩▁▁▁▁。

10.若向量组可由向量组线性表示，则▁▁▁▁。

11.向量组，，的线性关系是▁▁▁▁。

12.设n阶方阵,则▁▁▁▁.

13.设，，若是标准正交向量，则x和y的值▁▁▁▁.

14.两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁.

三、计算题

1.设，，，，问

（1）为何值时，能由唯一地线性表示？

（2）为何值时，能由线性表示，但表达式不唯一？

（3）为何值时，不能由线性表示？

2.设，，，，问：

（1）为何值时，不能表示为的线性组合？

（2）为何值时，能唯一地表示为的线性组合？

3.求向量组，，，，的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

4.设，，，t为何值时线性相关，t为何值时线性无关？

5.将向量组，，标准正交化。

四、证明题

1.设，试证线性相关。

2.设线性无关，证明在n为奇数时线性无关；在n