）
当/（X2），/（X）在XvX2所在区间上是减少。
2、函数奇偶性
立义：
设函数y=f（x）zk义区间D关于坐标原点对称（即若x^D,则有一xeP）
（1）偶函数/（x）——VxgD・恒有f（-x）=/（x）o
⑵奇函数/⑴一一VxgD,恒有f（-x）=-f（x）o
三、基本初等函数
1、常数函数：
y=c,泄义域是（-s,+s）,图形是一条平行于x轴直线。
2、幕函数：
y=x\（"是常数）©它立义域随着“不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数
定义：
y=f（x）=ax,（d是常数且a>0,“Hl）.图形过（0,1）点。
4、对数函数
定义：
y=/（x）=log,x,（d是常数且a>0,oHl）。
图形过（1,0）点。
5、三角函数
（1）正弦函数：
y=sinx
T=2兀,£）（/）=（—8,+s）,f（£））=[-1,1]o
⑵余弦函数：
y=cosx.
T=2兀,£>（/）=（-s,+s）,/（£））=[-1,1]。
（3）.正切函数：
y=tanx.
T=兀、D（f）={x\xeR,x^（2k+\）^-,keZ}./（£>）=（-oo,+s）•
（4）余切函数：
y=cotx.
T=7i>D（f）={x\xeR,x^k7r,keZ},/（£））=（-s,+s）.
5、反三角函数
（1）反正弦函数：
y=arcsinx,£>（/）=[—1,1],/（D）=[-^,-]o
22
（2）反余弦函数:
y=arccosr,£>（/）=[—1,1],/（D）=[0,刃。
⑶反if切函数：
y=arctaiw,£）（/）=（-8,+s）,/（£>）=（-^，―）«
22
（4）反余切函数：
y=arccotr,£>（/）=（-s,+s）,/（£））=（0,龙）。
极限
一、求极限办法
1、代入法
代入法重要是运用了“初等函数在某点极限.等于该点函数值/因而遇到大某些简朴
题目时候，可以直接代入进行极限求解。
2、老式求极限办法
（1）运用极限四则运算法则求极限。
（2）运用等价无穷小量代换求极限。
（3）运用两个重要极限求极限。
（4）运用罗比达法则就极限。
二、函数极限四则运算法则
设limu=limv=B»贝U
x—
（1）liin（M±v）=liinz/±limv=A±B
a—>2.v—
（2）lim（w・v）=limu-limv=AB・
XT/I.r—>2xT/i
推论
（a）lim（Cv）=Climv,（C为常数）。
.v—>2
limuA
（3）==（BhO）.
3vliinvB
KT久
（4）设P（x）为多项式P（x）=%x“+吗兀心+…+陽,则limP（x）=P（x0）
XT"）
（5）
设PM.Q（x）均为多项式，且0（x）HO,贝ijlimd2=空心
fQ（x）QM
三、等价无穷小
惯用等价无穷小虽代换有：
当x—>0时，sinx~x,tanx~x,arctanx〜x,arcsinx〜x,ln（l+x）~x,e'-l~x,1-cosx~^x2»
对这些等价无穷小量代换，应当更深一层地理解为：
当□TO时，sin□〜匚］,别的类似。
四、两个重要极限
qin工
重要极限Ilim—=1.
5x
八、洛必达（L'Hospital）法则
“V”型和“上”型不定式，存在有limZU2==A（或8）。
0O0Fg（x）fg（x）
一元函数微分学
一、导数定义
设函数y=f（x）在点％某一邻域内有泄义，当自变量兀在心处获得增疑（点％+心仍在该邻域内）时，相应地函数y获得增量3=/（人）+心）一/（兀）。
如果当山—0时,函数增量△＞，与自变量Ax增量之比极限
lim—=liin竺±亠2二2如=广&）注意两个符号心和心在题目中也许换成其'TOAvatozkr
她符号表达。
二、求导公式
1、基本初等函数导数公式
（1）（cy=o（C为常数）
（2）{xay=oxa^（a为任意常数）
（3）（axy=ax\na（«>0,«^l）特殊状况（ex）f=ex
（4）（logax\=—log"e=—!
—（x>0,6/>0,aH1）,（Inx）f=—
xxlnax
（5）（sinx）'=cosx
（6）（cosx）"=-sinx
（7）（tanx）=—
cos°x
1
（8）（cotx）=一s—
sin。
x
（9）（arcsinx）=（（-1（x
（1）
Jl—F
I
（10）（arccosx）=_’（_l〈x〈l）
Jl-x，
（11）（arctanx）=
l+Q
1
<12）（t/rccotx）=一y
l+Q
2、导数四则运算公式
（1）[u（x）±V（X）Y=u'（x）±v\x）
（2）[u（x）v（x）]f=u（x）v（x）+u（x）vf（x）
（3）[ku],=ku,（比为常数）
9
（[）凹]_“3咻）T心）畑
|_而_|
3、复合函数求导公式：
设y=f（u）,//=（p（x）,且f（u）及0（x）都可导，则复合函数>'=fl（pM]导数为g=g•半=f（“）.0（x）。
三、导数应用
1、函数单调性
/（x）>0则/（x）在（ab）内严格单调增长。
/W<0则/（x）在（“"）内严格单调减少。
2、函数极值
/（x）=0点一一函数/（兀）驻点。
设为卞
（1）若x0:
x>x0时，/（%）<0,则/（兀））为/（X）极大值点。
（2）若xx>x0时，/（x）>0,则/（儿））为/（兀）极小值点。
（3）如果/（%）在心两侧符号相似，那么/（心）不是极值点。
3、曲线凹凸性
厂匕）>0,则曲线y=/（x）在（a,〃）内是凹。
/（x）<0,则曲线y=/（x）在（a"）内是凸。
4、曲线拐点
（1）当/"（X）在心左、右两侧异号时，点（x0,/（x0））为曲线y=f（x）拐点，此时八忑）=0.
（2）当f\x）在心左、右两侧同号时，点（心,/（心））不为曲线y=f（x）拐点。
5、函数最大值与最小值
极值和端点函数值中最大和最小就是最大值和最小值。
四、微分公式
dy=f\x）dx.求微分就是求导数。
一元函数积分学
一、不定积分
1、泄义，不左积分是求导逆运算，最后成果是函数+C表达形式。
公式可以用求导公式来记
忆。
2、不左积分性质
2、基本积分公式（规泄纯熟记忆）
（8）
f——_dx=tanx+C.
Jcos'x
f—\—lx=-cotx+C.
Jsin2x
（10）f/1dx=arcsinx+C.
J
3.第一类换元积分法
对不怎微分Jg（x\lx,将被积表达式g（x）dx凑成g（x）dx=f[（p（x）]（p\x）dx=f（p（x）d（p{x）,这是核心一步。
惯用凑微分公式有:
f（ax+b）dx=—f{ax+b）d（cix+b）
a
f（axk+b）•xk~ldx=—f（axk+b）d（axk+h）
XXX
f（exyexdx=f（ex）d{ex）
/（Inx\—dx=/（Inx）M（lnx）x
/（sinx）-cosAzZv=/（sinA）t/（sinx）
f（cosx）・sinxdx=-f（cQsx）d（cosx）
/（tanx）5—dx=/（tanx）J（tanx）
cos°x
/（cotx）•—\—clx=-f（cotx）d（cotx）
sirrx
/（arcsinx）-.clx=/（arcsiiix）J（arcsinx）VI-x2
f（arccosx）•dx=一f（arccosx）J（arccosx）
VI-x2
纟Qdx="（In血x）|）（0（x）H0）
0（x）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
4、分部积分法^udv=uv-^vdu
二、定积分公式
1、（牛顿一莱布尼茨公式）如果F（x）是持续函数/（x）在区间⑺"]上任意一种原函数,
s=[[/（%）-g（x）k/x.
3、计算旋转体体积
设某立体是由持续曲线y=/（x）（/（x）>0）和直线x=«,A-=b（a<“）及久轴所用平而图形绕久轴旋转一周所形成旋转体，如图所示。
则该旋转体体积V可由下式求岀：
Vx=f7tj'2（x）dx=/rff2（x）dx.
多元函数微分学
1、偏导数，对某个变量求导，把其她变量看做常数。
2、全微分公式：
dz=df（x,y）=AAx+BAy。
3、复合函数偏导数一一运用函数构造图
如果”=0（x,y）、v=y）在点（x,y）处存在持续偏导数殂
dxdydxdy
且在相应于（x,y）点（“*）处，函数z=/Gap）存在持续偏导数空，三，则复合函数dudv
z,=/[0（忑y）,0gy）]在点（上刃处存在对X及y持续偏导数，且
dzdzdudz,dvdzdzdudzdv
=+，=—o
dxdudxdvdxdydudydvdy
4、隐函数导数
对于方程F（x,y）=0所拟定隐函数y=f（x）,可以由下列公式求出y对x导数：
-F、（x,刃’
2、隐函数偏导数
对于由方程F（x,y,z）=0所拟定隐函数z=/（兀刃，可用下列公式求偏导数：
空=_F；（x,y,z）
&F.（a\y,z）'勿F；（x,y,z）'
5、二元函数极值
设函数Z=/Uo,儿）在点（旺，儿）某邻域内有一阶和二阶持续偏导数，且
A（^oO'o）=0，/'（x0,y0）=0又设兀（心,儿）=A,人（氐,）"=B,扎，（心九）=C,则：
（1）当B2-AC<0时，函数/（X,y）在点（勺,儿）处获得极值，且当4<0
时有极大值，当A>0时有极小值。
（2）当B2-AC>0时，函数/（X,y）在点（“，儿）处无极值。
（3）当B2-AC=0时，函数/（x,y）在点（x°,儿）处与否有极值不能拟左，要用其他办法另作讨论。
平面与直线
1.平而方程
•1）T而点;丿.：
d间直角坐标系屮，过点MoEZ。
）•觉得n={A,B,C}
向量平而方程为
A（x一兀）+B（y一儿）+C（z-zo）=O称之为平面点法式方程
（2）平而普通式方程
Ax+By+Cz+D=O称Z为平而普通式方程
2、特姝平面方程
By+Cz=0表达过原点平而方程
Ax+By+D=O表达平行于Oz.轴平而方程
你+By=0表达过Oz.轴平而方程
Cz+D=O表达平行于坐标平而xOy平面方程
3、两个平面间关系
设有平面码：
4兀+$y+C忆+0=0
&:
A2x+B2y+C2z+D2=0
平面街和禺互相垂直充分必要条件是：
A｝A2+B,B2+C&2=0
平而®和心平行充分必要条件是：
企=如=£1工2
・AB.GO
厶&&*
平而街和龙2重叠冬件出A=A=S=£i
■a2b2c2d2
4、直线方程
（1）直线原则式方程过点Mog,儿，和）且平行于向量s=｛加,n,p｝直线方棵匚乞=口1=口1称之为直线原则式方程（又称点向式方程、对称式方程）。
mnp
常称s=｛m,n,p｝为所给F［线方向向mC
（2）直线普通式方程
和+场y+C忆+D=0称之为直线普通式方程
A2x+B2y+C2z+D2=0
5.两直线间关系
乙_
P\
x-x2
y—儿
m2
心Pi
直线/厂人丫彳必耍条件为空=乞；
m2n2
直线厶，/2互相垂直充分必要条件为叫加2+叩2+pxp2=0
6、直线/与平面兀间关系
设直线/与平而兀方程为
z>x-x0_y-y0_Z-Zo
mnp
兀：
A（x—）+B（y-儿）+C（z—5）=0
ARC
直钱/15屮必要条件为：
-=-=-
mnp
N•线/仃平而;r平行充分必要条件为:
“线/落在平而兀I:
充分必要条何为＜
Am+Bn+Cp=0A“）+Bnf+Ci*+0^0
Am+Bn+Cp=0
A//?
o+Bn（i+Cp©+£）=0
将初等函数展开成幕级数
1.-I1：
vkf（x）6-U（x^）内具条任总阶导数,且
汕心，尺心倆（r严则在呱Q内
n=0
n\
称上式为f（x）在点X。
泰勒级数。
或称卜式为将/（兀）展开为JC=Xq幕级数。
2.几种惯用原则展开式
1x
1一Xn-0
8Y£n
⑤cos牙=y（-l）"-—n=0（2〃）!
常微分方程
1、一阶微分方程
（1）可分离变量微分方程
若一阶微分方程F（x,y,y‘）=0通过变形后可写成g（y）dy=f{x）dx则称方程F（x,y,y'）=0为可分离变量微分方程.
2、、可分离变量微分方程解
方程g（y）dy=f（x）dx必存在隐式通解G（y）=F（x）+C。
其中：
G（y）=Jg（y）〃y,F（x）=jf（x）dx.
即两边取积分。
（2）一阶线性微分方程
1、泄义：
方程y+p（x）y=e（x）称为一阶线性微分方程.
（1）非齐次方程一一Q（x）HO；
⑵齐次方程一一y+P（x）y=O.
2、求解一阶线性微分方程
（1）先求齐次方程y'+P（x）y=O通解：
y=H-'PC为任意常数。
（2）将齐次通斛C埃成"（x）HI：
y=u（x）eiPix'dx
（3）
代入非齐次方程『+P（x）y=。
（劝，得
2、二阶线性常系数微分方程
（1）可降阶二阶微分方程
1、y"=/（x）型微分方程
例3：
求方程>，"=丄戶-sinx通解.分析：
y1=fy^dx=—e2x+cos.v+Cx:
2、y"=/（x,y'）型微分方程
解法：
（1）令p=y'，方程化为p‘=f（x,/?
）:
（2）解此方程得通解p=©（x，G）:
（3）再解方程y'=0（x，G）得原方程通解
y=^（p{x,C}）dx+C2.
3、/=/（>*，/）型微分方程
解法：
（1）令p=y\并视〃为），函数，那么丫"=业=也.空=卩也,axdydxdy
⑵代入原方程，得p^-=f（y\p）
dy
（3）解此方程得通解p=®（y,CJ；
⑷再解方程y=©（”G）得原方程通解
f———=x+C‘.
例4：
求方程yy*-/2=0通解.
分析:
（1）令卩=：
/,并视"为y函数，那么〉』=吃=吐.空=p如.
dxaydxdy
（2）代入原方程，得yp^-/r=O或^=—
dypy
（3）解上方程，得hilpl=hilyl+lnC=>p=C$,（C,=±C）.
（4）再解方程y'=C{y=>—=C}=>lnlyl=C$+C；.
y
（5）于是原方程通解为y=C2ec'x,（C2=±^）
（2）常系数线性微分方程
（1）、二阶常系数齐次线性方程yH+py+qy=0解.
写出特性方程并求解
r2+pr+q=0.
下面记△=“2-4。
，人,q为特性方程两个根.
（1）△=/「一4§>0时，则齐次方程通解为：
[uCy+C?
*，。
（2）△=〃2_4§=0时，则齐次方程通解为
y=C严+C2xeriX=刃（G+C2x）.
（3）△=“2-4qv0时，有q=a+e、q=a_W邙丰0），则齐次方程通解为
y=严（GcosJ3x+C2sinfix）.
（2）二阶常系数非齐次方程解法
方程形式：
y”+pyf+qy=f（x）解法环节:
（1）写出方程特性方程r2+pr+q=Oi
（2）求出特性方程两个根斤,勺：
（3）原方程通解如下表所示：
特性方程根
方程通解
C}er'x+C2er2X
（G+CqX）丹
r=a±ip
严（GcosPx+C2sin/?
v）（0工0）
（4）再求出非齐次方程一种特解/（X）；
（5）那么原方程通解为y=CiN（x）+C2y2（x）+。
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