山西省怀仁县第一中学学年高三上学期第一次月考开学考理数试题 Word版含答案.docx
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山西省怀仁县第一中学学年高三上学期第一次月考开学考理数试题Word版含答案
2017-2018学年
数学试题（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数，其中，，是虚数单位，则（）
A．B．C．D．
2.设全集，集合，集合为函数的定义域，则等于（）
A．B．C．D．
3.执行下面的程序框图，如果输出的是，那么判断框（）
A．B．C．D．
4.下列判断错误的是（）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“，”的否定是“，”
C．若为真，则，均为假
D．若，则
5.设锐角△的三个内角，，的对边分别为，，成等比数列，且，则角（）
A．B．C．D．
6.设，其中变量，满足若的最大值为6，则的最小值为（）
A．B．C．D．
7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）
A．B．C．D．
8.设，则二项式展开式中含项的系数是（）
A．B．C．D．
9.在区间和内分别取一个数，记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为（）
A．B．C．D．
10.对于函数，给出下列四个：
（1）对于，使；
（2）存在，使恒成立；（3）存在，使函数的图象关于坐标原点成中心对称；（4）函数的图象关于直线对称；（5）函数的图象向左平移个单位就能得到的图象，其中正确的序号是（）
A．
（1）
（2）（3）B．（3）（4）（5）C．（3）（4）D．
（2）（3）（5）
11.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
12.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：
（1）在上是单调函数；
（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（）
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（，）不存在“和谐区间”
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，，，则向量与的夹角是．
14.在△中，，，分别是，，的对边长，已知，且，则实数．
15.双曲线（，）的一个焦点与抛物线的焦点重合，且该焦点到渐进线的距离为4，那么双曲线的离心率为．
16.定义在上的函数满足：
（1）当时，；
（2）．设关于的函数的零点从小到大一次为，，…，，…．若，则．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点（）均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．
18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔测试，且规定成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．现有500名学生参加测试，参加测试的学生成绩的频率分布直方图如图所示．
（1）求获得参赛资格的学生，并且根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；
（2）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参赛复赛．已知学生甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．
19.如图，在三棱锥中，，，点、分别是、的中点，底面．
（1）求证：
平面；
（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）当取何值时，在平面内的射影恰好为△的重心？
20.已知椭圆：
（）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求△面积的最大值．
21.已知函数（），．
（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；
（2）在
（1）的条件下，求证；
（3）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在切线．若存在，研究值的个数；若不存在，请说明理由．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-1：
几何证明选讲
如图，是圆的直径，是圆的切线，交圆于点，过点作圆的切线交于点．
（1）求证：
为的中点；
（2）上是否存在点，使得？
请说明理由．
23.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，动抛物线：
（为任意数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
（1）写出直线的直角坐标方程和动抛物线的顶点的轨迹的参数方程；
（2）求直线被曲线截得的弦长.
24.已知函数，（）．
（1）当时，解不等式；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
怀仁一中2016—2017学年高三年级第一次月考数学试题（理）答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
C
B
A
D
A
B
C
B
D
二、填空题
13.14.115.16.
三、解答题
17.解：
（1）设二次函数，
则．
由于，
∴，，
∴．
又点（）均在函数的图象上，
∴．
当时，，
故，
随着的增大，逐渐增大直至趋近，故对所有都成立．
只要即可，即只要．
故使得对所有都成立的最小正整数．
18.解：
（1）由频率分布直方图得，获得参赛资格的学生人数为：
，
这500名学生的平均成绩为（分）．
（2）设学生甲每道题答对的概率为，则，∴．
学生甲答题个数的可能取值为3,4,5，
则，，
．
∴的分布列如下表：
3
4
5
∴．
19.解：
（1）∵、分别为、中点，
∴．
又平面，
∴平面．
（2）∵，，∴，
又∵平面，∴．
取中点，连接，则平面，
作于，连接，则平面，
∴是与平面所成的角．
又，
∴与平面所成的角的大小等于．
在中，．
（3）由
（2）知平面，
∴是在平面内的射影．
∵是的中点，若点是△的中心，则，，三点共线，
∴直线在平面内的射影为直线，
∵，∴，
∴，即．
反之，当时，三棱锥为正三棱锥，
∴在平面内的射影为△的重心．
20.解：
（1）∵椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形的周长为，
∴，
又椭圆的离心率为，
即，∴；
∴，，∴，椭圆的方程为．
（2）不妨设的方程（）
则的方程为．
由得，
设，
∵，∴，
同理可得．
∴，，
，
设，则，
当且仅当时等号成立，
∴△面积的最大值为．
21.解：
（1）当时，，
∴，
依题意得，∴．
（2）由
（1）得，定义域为，要证，只需证明，
设，
则，
令，得，
列表得
0
递减
极小值
递增
∴当时，取得极小值也是最小值，且
，∴．
（2）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线，
∵，∴，
∴，，
由，得，
即，
∴，故．
∴函数的定义域为，
当时，，
∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线；
当时，令，
∵，，
∴，即（）．
下面研究满足此等式的的值的个数：
设，则，且，
方程化为，
分别画出和的图象，
当时，，，
由函数图象的性质可得和的图象有且只有两个公共点（且均符合），
∴方程有且只有两个根．
综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，函数与饿图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的的值有且仅有两个．
22.解：
（1）连接，∵是圆的直径，∴，又、是圆的切线，
∴，∴，
又∵与互余，与互余，
∴，∴，
∴，因而为的中点．
（2）在直角三角形中，
，作于点,
则在直角三角形中，，
因而，
则存在点使得．
23.解：
（1）由题意知，直线的极坐标方程为，
化简得，
则直线的直角坐标方程是．
由于动抛物线的顶点坐标为，
∴轨迹的参数方程是（为参数）．
（2）由
（1）可得，曲线的普通方程为，曲线是以为圆心，3为半径的圆，
则圆心到直线：
的距离为，
∴直线被曲线截得的弦长为．
24.解：
（1）当时，，即，
得或或，
解得或或，
∴不等式的解集为．
（2）令，
∴当时，
当时，
当时，
∴的最小值为或，
则解得或．
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