全等三角形知识点总结及复习.docx
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全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习
一、知识网络
并击『对应角相等性质彳
［对应边相等
全等形>全等三角形
'边边边SSS
彳边角边SAS
判定J角边角ASA
角角边AAS
［斜边、直角边HL
r作图
角平分线性质与判定定理
二、基础知识梳理
（一）、基本概念
1、“全等”的理解
全等的图形必须满足：
（1）形状相同的图形;
⑵大小相等的图形;
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的
两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义：
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注:
全等三角形是相似三角形中的特殊情况）
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是
对应边;
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是
对应角；
（3）有公共边的，公共边一定是对应边；
（4）有公共角的，角一定是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；
（2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：
到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角
等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA②任一组等角的对边相等（AAS）
（2）已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）
（三）经典例题
例1.已知：
如图所示，AB=AC上1=/初，求证：
LAED=LACE.
例2.如图所示，已知：
AF=AEAC=ADCF与DE交于点B。
求证:
例3.女口图所示，AC=BDAB=DC求证：
z5=zc
例4.如图所示，「匸丄c---r-?
，垂足分别为DE,BE与CD相交于点
0,且」I二
求证：
BD=CE
例5:
已知：
如图，在四边形ABCD中,AC平分/BADCE!
AB于E,且
/B+ZD=180。
求证：
AE=AD+BE
分析：
从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样
“截长补短”的方法呢？
由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD连结FC,可证出^ADC^aAFC问题就可以得到解决。
证明
（一）：
在AE上截取AF=AD连结FG
在.AFC和「ADC中
AF=AD已作
y2（已知）
AC=AC（公共边）
•••AFC^ADC（边角边）
•••/AFC玄D（全等三角形对应角相等）
•••/B+ZD=180（已知）
•/B=ZEFC（等角的补角相等）
在.CEB和.QEF中
B=-EFC已证
］》CEB=ZCEF=90°（已知）
CE=CE（公共边）
•CEB^CEF（角角边）
•BE=EF
vAE=AF+EF
•AE=AD+B（等量代换）
证明
（二）：
在线段EA上截EF=BE连结FC（如右图）。
小结：
在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。
（四）全等三角形复习练习题
一、选择题
1如图，给出下列四组条件：
①AB=DE,BC=EF,AC=DF；®AB=DE,B=/E,BC=EF；
③B=/E,BC=EF,C=/F；®AB=DE,AC=DF,B=/E.
其中，能使△ABC◎△DEF的条件共有（）A.1组B.2组
C.3组D.4组
2.如图，D,E分别为△ABC的AC,BC边的中点，将此三角形沿DE折叠,
使点C落在AB边上的点P处.若•CDE=48。
贝,APD等于（）
3.如图（四），点P是AB上任意一点，.ABC—ABD,还应补充一个条件，才能推出△APC◎△APD.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出
△APCAPD的是（
A.BC二BDB.AC二AD
1题图2题图
4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE还需添加两个条件才能
使厶AB3ADEF不能添加的一组条件是（）
（A）/B=ZE,BC=E（B）BC=EffAC=DF（C）/A=ZD,/B=ZE（D）/A=ZD,
BC=EF
5.如图，AABC中，/C=90°,AC=BCAD是/BAC的平分线，DE!
AB
于E,
若AC=10cm,则厶DBE的周长等于（）
A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm
6.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要
求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1处
B.2处C.3处D.4处
4题图5题图
D.带①②③去
8.如图，在Rt△ABC中，.B=90，,ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC
于点E.已知•BAE=10，贝「C的度数为（）
8题图10题图
11.尺规作图作・AOB的平分线方法如下：
以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于-CD长为半径
2
画弧，两弧交于点P，作射线OP,由作法得△OCP◎△ODP的根据是（）
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
12.如图，/C=90,AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cn则点D到AB的距离为（）A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定
13.如图，OP平分.AOB,PA_OA,PB_OB，垂足分别为A,B.下列结
论中不一定成立的是（）A.PA二PBB.PO平分.APBC.OA=OB
D.AB垂直平分OP
14.如图，已知AB=AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定
D./B二/D=90
11题图12题图
、填空题
1.如图，已知AB二AD,BAE—DAC，要使△ABC=△ADE，可补充的
条件是（写出一个即可）.
2.如图,在厶ABC中,/C=90,AC=BC,AD平分/BAC交BC于D,DE丄AB于
E,且AB=5c口则厶DEB的周长为
3.如图，.BAC—ABD，请你添加一个条件：
，使OCOD（只
添一个即可）.
4.
如图，在△ABC中,/C=90°ZABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10
1题图2题图3题图
4题图
5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角
形中白色三角形
6.已知：
如图，△OAD^AOBC且/O=70°,/C=25°，则/AEB=度.
7如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDEAD与BE交于点QAD与BC交于点P,
BE与CD交于点Q连结PQ•以下五个结论：
①AD=BE②PQ/AE;③AP=BQ④DE=DP⑤/AOB=60.
恒成立的结论有（把你认为正确的序号都
填上）。
8.
如图所示，AB=AD,/1=/2，添加一个适当的条件，使△ABC旦
6题图
8题图
三、解答题
1.如图，已知AB=ACAD=AE求证：
BD=CE.
2.如图，在△ABC中，AB二AC,•BAC=40°分别以AB,AC为边作两个等
腰直角三角形ABD禾口ACE，使.BAD=/CAE=90
（1）求.DBC的度数；
（2）求证：
BD=CE.
3.如图，在△ABE中，AB=AE,A»AC,/BAD=ZEAC,BGDE交于点O.
求证：
⑴△ABC^AAED
（2）OB=OE.
4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边
E
5.如图，在△ABC^n^DCB中AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M
（1）求证：
△ABC^ADCB;
（2）过点C作CN//BD过点B作BN//ACAD
CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,M并证明你的结论.
6.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于0点，.仁.2,3"4.
求证：
（1）△ABC◎△ADC；
（2）BO二DO.
7.如图，在△ABC和厶ABD中，现给出如下三个论断：
①AD二BC；
2.C-D；
3"-2.请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个
命题.
你选择的真命题是:
证明:
8.已知：
如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DCBE=CF,/B
=ZC.求证：
OA=OD
9.如图，△ABC中，/BAC=90度，AB=ACBD/
的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证：
BD=2CE
10.女口图，AB=AC,AD_BC于点D,AD=AE,AB平分.DAE交DE于点F,请你写出
11.已知：
如图，DC//AB,且DC=AEE为AB的中点,
（1）求证：
△AED^AEBC
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，
12.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEIAC于E,BF丄AC于F,若AB=CDAF=CEBD交AC于点M
（1）求证：
MB=M,ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论
能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由.
D
①
B
C
求证：
（1）DF//CE
E
13已知：
如图A、D
B
14.如图，已知在厶ABC中，BE、CF分别是ACAB两条边上的高，在BE
上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结ADAQ则AG
与AD有何关系？
试证明你的结论
15.如图，已知BE!
AC于E,CF丄AB于F,BECF相交于点D,若AB=AC求
证：
AD平分/BAC
16.
如图，/B=ZC=90°,M是BC中点，DM平分/ADC求证：
AM平分
17.如图，在△ABCffi^DBC中，/ACB士DBC=9Oo,E是BC的中点，
EF±AB,垂足为F,且AB=DE.
AD,CE相交于点
△ABC的角平分
F在BC上，且
18.如图，人。
是厶ABC的角平分线，DELABDF!
AC
垂足分别为E、F,连接EF,EF与AD交于G,AD与EG垂直吗？
证明你的结论。
19.如图，在△ABC中，/B=60°,AABC的角平分线
0.试说明AE+CD二AC如图，在△ABC中，/B=60°,线ADCE相交于点0.试说明AE+CD=AC
20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点
/DAE玄FAE.
求证：
AF=AD+CF
14.已知：
在厶ABC中，/BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BDLAE于D,CE!
AE于E,
（1）当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE青说明理由；
（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？
请说明理由；（3）归纳
（1）
（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。
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