高中数学人教版选修21习题 第3章 空间向量与立体几何 314 含答案.docx

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高中数学人教版选修21习题第3章空间向量与立体几何314含答案

第三章　3.1　3.1.4　

一、选择题

1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是

（　　）

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

[答案]　B

[解析]　a·b＝0⇒a⊥b，|a|2＝|b|2⇒（a＋b）·（a－b）＝0⇒（a＋b）⊥（a－b）；

a·b＝a·c⇒a⊥（b－c）；故A、C、D均错．

2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若

＝3i，

＝2j，

＝5k，则

＝

（　　）

A．i＋j＋k　　　　B．

i＋

j＋

k

C．3i＋2j＋5kD．3i＋2j－5k

[答案]　C

[解析]　

＝

＋

＋

＝

＋

＋

＝3i＋2j＋5k.

3．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A、B、M、N是空间四点，若

、

、

不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是

（　　）

A．1　　B．2　　

C．3　　D．4

[答案]　D

[解析]　根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由

、

、

共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．

下面证明①④正确．

①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，

∵d≠0，∴k≠0，从而c＝

a＋

b，

∴c与a、b共面与条件矛盾．∴d与a，b不共面．

同理可证④也是正确的．

4．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝

，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为

（　　）

A．30°B．45°

C．60°D．以上都不对

[答案]　C

[解析]　由题意a＋b＝－c，两边平方得，