贝叶斯统计大部分课后习题答案.docx
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贝叶斯统计大部分课后习题答案
贝叶斯统计大部分课后习题答案
习题讲解
一、1,3,5,6,10,11,12,15
1.1记样本为x.
226pxC（0.1）*0.1*0.90.1488,,,,8
226pxC（0.2）*0.2*0.80.2936,,,,8
后验分布:
0.1488*0.7,,,0.10.5418x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，
0.2936*0.3,,,0.20.4582x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，
111233536mxpxdCdd,,,,,,,（|）
（1）*2
（1）112
（1）,,,,,,,,,,,，，，，8,,,00015px（|），，,,,36,,,,,x840
（1）,01，，,,,,,mx，，
1.6
1.11由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布U（0,）,
1,,,0,,x,,px（）,,
0,其它,
Xxxx,（,,）因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为123
1,,,0,,,,xxx,1233,,pX（）,
其它0,,
4,192/,4,,,又因为（）,,,,0,4,,,
所以，利用样本信息得
1192192,,,,,,,,,,,,,hXpXxxx（,）（）（）（8,0,,）123347,,,
，,，,192,,,,,mXhXdd（）（,）于是7,,88,
的后验分布为
76hX（,）192/68,,，（）X,,,,,7，,192mX（）,d,,78,
6,68，,8,,,7（）X,,,,,
0,8,,,
1.12样本联合分布为:
1pxx,,,,,（）,0n,
,，1,,,,,,/,,00（）,,,,0,,,,,0
,,，，，，nn11,,,,,,,,,,,,（）（）（）/1/,max,,,xpxxx,,,,,,,0101n
，，n1,因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核1/,
,，，，nn1,（）/,,,,,,，,n11即（）x,,,,0,,,,,1
即得证。
1.15
n,,xi,nnnx,,,1i1（）样本的似然函数:
pxee,,,,,，，
,,,1,,,（）,e,,,,，，,
nnx，,,，1（）,,,参数的后验分布（）（）（）xpxe,,,,,,,,,
服从伽马分布Gannx，，,.，，,,
,,0.0002,,,
（2）4,20000.,,,,,,,2,,0.00012,,,
二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,12
,t2.2解:
由题意，变量t服从指数分布:
pte（）,,,
,tni,pTe（）,,样本联合分布,
,,,1,,,~（,）,0Gae,,且，E（）0.2,,Var（）1,,,,,,,,（）,
由伽玛分布性质知:
,,0.2,,,0.04,0.2,,,,,,,,,12,,,
t,3.8又已知n=20,
nn
t,，,203.876nt，,，,,,20.04,76.2，所以,,ii,1,1ii
由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布
,，,,,tt（）,,,,,nn,，,11,,ii（）（）（）tpTeee,,,,,,,,,,,
即后验分布为GantGa（,）（20.04,76.2）,,，，,,i
，n20.04,|TE（）0.263,,,,，t76.2,,i
1服从倒伽玛分布,,,IGantIGa（,）（20.04,76.2）,,，，,,i
，t,i,,||1TT,（）（）4.002EE,,,,,1，,n,
11,,2.3可以算出的后验分布为，的后验期望估计的后验方差为.Ga（11,4）16
n,362.5.
,，1,,,,,,/,,00,2.7的先验分布为:
（）,,,,0,,,,,0
令,,,max,,,xx,,101n
,，，，nn1,（）/,,,,,,，,n11可得后验分布为:
（）x,,,,0,,,,,1
（），n,,1,Ex（）,则的后验期望估计为:
，,n，,1,
2（）,,，n1Varx（）,后验方差为:
.,2
（1）
（2）nn，,，,,,
n1,,,xGaIGa~（,）,~（,）2.8由可以得出22,
n12（）1n,x,1,22,2pxxex,,（）,0,n,（）2
,,,
（1）,，,,（）,0,,e,,,,,（）,
（1）的后验分布为:
x，2,n,,，，
（1）,22,,,,,,,（）（）（）xpxe,,
nxIGa（,），，,,即为倒伽玛分布的核。
22
nxIGa（,），，,,,所以的后验分布为22
x，,x2，,2
（2）后验均值为Ex（）,,,nn22，,,1，,,2
x2（），,2后验方差为Varx（）,,nn2
（1）
（2），,，,,,22
（3）样本分布函数为:
nnn,1，，n,xnn2i,,1
（2）,,2,,,12ipxpxxe（）（）,,,,ii,,,,n（/2）,,,11ii,,，，
所以的后验分布为:
nx，2,i,2ni,1,,，，
（1）,22,,,,,,,（）（）（）xpxe,,
n
x,2in,1i即为的核。
（,），，,,IGa22
n1n21（）,n,,xni,,,1,2,,，
（1）n,,2,1i2,（xpxxee,,）（）（）[]*,,,,,,i,n,（）,,1i,（）2
（dx,,）令,0d,
即:
nnnn1xx，，22,,ii,,222x，2,（）nnn,2i,,,11iin,,,,,,,,,121,,n,ni,1222222,,xee,,,，,[][
（1）*]0,,,i2,n,（）22,,i,1,（）2
n
xn,i,1i，2,x，,,i,,12i可得,,,MD22n，，22n,，，1,2
n
xn,i,1i，2,x，,,i,,12i而由公式得,,,E22n，,22n,，,1,2
因此，倒伽玛分布的这两个估计是不一样的，原因是它不对称。
2.10解:
已知xNN~（,1）,~（3,1）,,
2N（,）,,,设的后验分布为11
可得:
22,,x,,,，0,,122,,，,,0
111,，222,,,10
2,243，，,12x,,3由已知得:
，,,,03n3
333111，，，2,,？
,,,3,1131134，，
所以的95,的可信区间为:
[30.51.96,30.51.96],，，，即为.[2.02,3.98]
222.11已知xNIGa~0,,~,,,,,，，，，
nn1,,22,,可得的后验分布为IGax，，,,,i,,22i,1,,
n12,，x,i2i,1ˆ后验均值为:
,En，,1,2
2n,,12,x，,i,,2,i12,,后验方差为:
Varx,,，，2nn,,,,，,，,12,,,,,,22,,,,变换:
n11n,,2,,~,Gax，，,i,,222,,1,,i
n1,,n，，,,22,,,2~2，，x,i,,,,2,,2,,,,1，，i,,
n，，1,,22令:
Pxn,,,220.9，,，,，，,0.1i,,,,2,,1,,i，，
n22,，x,i2,i1可得的0.9可信上限为.,2n，2，，,,0.1
,，1,,,,,,/,,00,2.12的先验分布为:
（）,,,,0,,,,,0
令,,,max,,,xx,,101n
,，，，nn1,（）/,,,,,,，,n11可得后验分布为:
（）x,,,,0,,,,,1,1,,设的可信上限为,U
U则,,,,xd,,1，，,,1
带入有:
U，，，nn1,,（）/1,,,,,，,,nd1,,1
，n,,1,,,，n,,U
1，n1,,,,,,,U1,,,,,
三、10,11,12,13
3.10解:
依题意
1x,,pxxexp,0,,,,，，,,,,,,
0.01,,,20.01exp,0,,,，，,,,,,,,,,
，,0.01x，,,,3则mxpxdd0.01exp,,,，，，，，，,,,,,,,,,,0,,,,
0.01,0x,,2x0.01，，，
该元件在时间之前失效的概率200:
2002000.01pmxdxdx0.99995,,,，，2,,00x0.01，，，
3.11:
解依题意
xi,,,iipxe,,，，iix!
i
,,,1,,i,,,e,0，，,,,,iii,，，,
xi,，,,,,1iii,,,,,,mxpxdeed,,，，，，，，iiiiiii,,,,,,,,0x,!
，，i,,
,,,，x，，ix，i,,,，x1!
，，，，i,,nnn,,,，x，，,i,mxmx,,,,，，，，,,,ix，i,,ii,,11,，，，x1!
，，,,,i,,
3.12解:
超参数和的似然函数为,,
333,,,3,，,，,,，xf35，，，，，，，，，，,,,,,,,,iL,,,,,,其中，，,,338383x，，，,,,i1i,720，，，1!
13!
5!
1x，，，，，，,,，，，，，，，，,,,i,,，，，，
222f,，，，，1234.，，，，，，，，，，,,,,,,
由
L,,，，,,,0,,,,,,L,，，,,,,0,,,,
38,,,,,,,,，1,,ff,3ln，，，，,,,,,,,,,,从而有:
，38,,,ff,3ln，，，，,,,,3,,,,
3,利用软件计算，可得，,,1.033599=0.3875996,,83.13证明:
泊松分布的期望和方差分别为
2,.,,,,,,,,，，，，
,1,,,,,，=,0,e，，,,,,,,,，，,
，,,,,,,,，,,ed，，m,,,,,,0,，，,,
x，22,,,,,，，，，,,EE，，，，，，，，,,,,,221，2,,,,2，，，，,,,,,,,,，,,,,,,,,,,，,EE，，，，，，m,,,,22，，,,,,,,,,,,,,,,,,
2，,，，，,,m2,,,,,利用样本矩代替边际分布的矩，列出如下方程:
,,x,,,,,,2,,，S2,,,,
2,,x,,2,,Sx,,,,x,,2,,Sx,,
四、1,4,8,9,10,11,12,15,16
4.4
15,6,7,8,9,10,5,6,7,8,9,10状态集行动集,,,,，，,,,,2收益函数，，
5,10aa,,,,Qa,,,，，,6,5,,,aa,,,
收益矩阵
aaaaaa123456
252423222120,,1,,,2530292827262,,,
,2530353433323,Q,,,2530354039384,,,,,2530354045445,,,,,253035404550,,6,
3根据定义可知，最优a5行动是，即采摘朵鲜花，，1
4按折中准则:
，，
HQaQa,,,,,,，,max,1min,，，，，，，，，,,,,,,H,25,，，,1,H,，246，，,,,2
H,，2312，，3,,,,H,，2218，，4,,,,H,，2124，，5,,,
H,，2030，，6,,,
1当时，选择，每天摘朵鲜花05,,a1,6
1当时，选择，每天摘朵鲜花,,110a.6,6
4.8
La,1500，，13
购买8件.4.9
a对于行动，其收益函数为1
100,00.1,,,,
Q,,,30,0.10.2，，,,,
,,,50,0.21,,
a对于行动，其收益函数为2
Q,,,,,40,01，，
从而可得在a和a处的损失函数:
12
0,00.1,,,,
La,10,0.10.2,,,，，,,,1
90,0.21,,,,
60,00.1,,,,La,,,，，,20,0.11,,,,
服从Be2,14，，
0.21Lapdpd,，,109018.86,,,,元吨，，，，，，，，1,,0.10.2
0.1Lapd,,6027.06,,元吨，，，，，，2,0
故采用第一种收费方法对工厂有利.
##附R软件计算定积分程序:
int<-function（x）{210*x*（1-x）^13};
integrate（int,0.1,0.2）$value*10+integrate（int,0.2,1）$value*90;
[1]18.86049
integrate（int,0,0.1）$value*60;
[1]27.057424.10
182012256，,,，,,,,,0
,6,,QaQaaa当时，，则在和处的损失函数为，，，，,,,1212
La,0,，，,1
La,305,,，，2,,
,6,,QaQaaa当时，，则在和处的损失函数为，，，，1212,,,
La,530,,，，1,,
La,0,，，2,
0,10服从上的均匀分布，，,
101Lad,,,5304，，，，1,610,,
61Lad,,,3059，，，，2,010,,
a.最优行动是1
五、2,3,7,11,18,21,22
5.2
（2）
2x,,，，,12（4）由可得xNpxe,,,~,1，，，，2,
n2x,,，，i,ni1,,1,,2,样本的似然函数为:
pXe,，，,,2,,,
2nx,，，,,n2后验分布xe,，，,,2,2,,ncnx，，，,,,,，,,,,n2,,,,lned,,,,,,clnEex,，，cn1，，则dx,,，，，lnBcncc222,c,，x2n
附:
用R软件作图程序:
y<-function（x）{exp（0.1*x）-0.1*x-1};
plot（y,xlim=c（-20,20）,type="l",lty=1）;
lines（x,exp（0.5*x）-0.5*x-1,xlim=c（-20,20）,type="l",lty=2）;lines（x,exp（1.2*x）-1.2*x-1,xlim=c（-20,20）,type="l",lty=3）;leg.names<-c（"c=0.1","c=0.5","c=1.2"）;
legend（locator
（1）,leg.names,lty=c（1,2,3））;
2x35.3可以求得的贝叶斯估计为,,,,,.xce，，B23ln,c5.7
2,,,，，,12后验分布:
,xe,，，2,
2根据定理在加权平方损失函数下5.2:
L,,,，，，，，，,,,,,,
Ex，，，，,,,，，的贝叶斯估计为:
，，B,,,Ex，，，，,,，，
通过计算可得:
，,,Exxdxd，，,,，12，，，，，，，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,，，,211,，，，，，,,2,,,，e,,2,
5.11
的后验分布为Bexnx，，,,,,,，，
1,，，,,1,，，,,
1,，，n，，,，,,nx2,,，,x1,Exd，，,,1，，，，,,,,,,，，,0,，,，,xnx，，，，,,
1,，，n，，，,,nx2，,x2,,,,Exd，，,,1，，，，，，,,,,,,0,，,，,xnx，，，，,,
Ex，，，，，,x1，，,,,11;,,,,,xnax时,的贝叶斯估计为,，，B,，，,n2Ex，，，，，，,,,,
1xax,,0时,若>1,，，,B，，,n2,,,若0<,1,考虑后验风险
21,，，,,,,na，，，，1,，,n,1,Raxd,,,01,,,，，，，,0,,，,n1，，，，，，,,,,
111,，，n，，，,，,，,nnn222,,122,,,,,，，,,,,,,,，,dadad1211，，，，，，,,,,,,,,,,,,,,000，，,,，n，，，，,,
0<上式中括号内前两项积分都是有限的,而第三个积分是趋于无穷大的,从而,1,,
当时,达到最小值,即aRaxax,,,000;，，，，B
，,n1类似地，时若>xn,,1,ax,，，B,，，,n2,,若0<1,,,ax1.，，,B
5.18
（1）
支付矩阵
aa12
10075,,1W,,,100150,,,2
损失矩阵
aa12
250,,1L,,,050,,,2
,aaaELaELa,,,17.5,,15,,，，，，与下的先验期望损失为，故是最优行动，，，，，12212，，，，先验.EVPI,15元，，
（2）从到上的任一个映射都是该问题的决策函数0,1,2,aax,.,,,,，，12
（3）、（4）
2
xbmxpx~2,,,,,,,边缘概率可得:
，，，，，，，，,ii,i1
mmm00.87475,10.1205,20.00475,,,,后验分布为:
，，，，，，
X012
0.72220.55190.3684,=0.051
0.27780.44810.6316,=0.12
x计算ELa,,，可得表格:
，，，，，，
X012
x18.05513.79759.21ELa,,，，，，1，，
x13.8922.40531.58ELa，，,,，，2，，
从而最优决策函数为:
ax,0,,2,,x,，，,ax,1,2,1,
xx，，,EVPIEELx,13.89*0.8747513.7975*0.12059.21*0.0047513.8566后验,,，，,,,，，，，，，
xx,，，,EVSIEVPIEELx,,,,,先验元,1513.85661.1434，，，，，，,,，，
ENGSEVSIC,,,,,21.14340.20.9434元，，，，
5.21
bb,21
（1）,6,,0mm,21
2,,~10,4,10,,NEmma,,最优行动为，，，，122
tmm,,,,,,5,4,10,6,,,120
,,0DLDL,,,,1,10.08332，，，，00NN,
EVPILDt,,,**0.08332*5*41.6664，，0N,
（2）
类似可得
,,,,0,,，3**=0.04270*5*3=0.6405EVPILt,,,,N,,,
,,,,0,,2**=0.008491*5*2=0.08491，EVPILt,,,,N,,,
,,0,,,,1**=0.000007145*5*1=0.000035725，EVPILt,,N,,,,,
EVPI（3）由上先验中有相当一部分是由于先验分布估计得不够精确引起的，随着标准差的,
减小，用来描述状态的先验分布愈精确，增加了先验信息，从而减少了先验完全信息及其
期望值。
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