∵x为偶数，∴x=6或8．
故三角形的周长为15cm或17cm．
例4、如图，P是△ABC内一点，试说明AB＋AC>PB＋PC成立的理由．
分析：
三角形三边关系可以用来说明线段之间的不等关系，但题目中涉及的线段不在同一个三角形中，所以需要添加辅助线，构造新的三角形．比较明显的辅助线可以作BP或CP的延长线．
解答：
延长BP交AC于D，
在△ABD中，AB＋AD>BD，
即AB＋AD>BP＋PD．
在△PCD中，PD＋CD>PC．
两式相加，得AB＋AD＋PD＋CD＞BP＋PD＋PC，
∴AB＋AC＋PD>PB＋PC＋PD，
即AB＋AC>PB＋PC．
2、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D．那么线段AD叫△ABC的边BC上的高．
三角形的高的数学语言：
三角形的三条高相交于一点，这一点叫三角形的垂心．
例5、如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC的高BE，其中画错的是_________．
分析：
甲图错在把三角形的高线与AC边的垂线定义混淆，把“线段”画成“直线”；
乙图错在没有过点B画AC的垂线，故不是AC边上的高；
丙图错在未抓住“垂线”这一特征，画出的BE与AC不垂直；
丁图错在没有向点B的对边画垂线．
解答：
甲、乙、丙、丁．
例6、不等边△ABC的两边高分别为4和12，若第三边上的高也是整数，试求它的长．
分析：
由两边的高4和12可以求出这两边的关系，从而可以表示出第三边的取值范围，再用面积法可以求出第三边上的高．
解答：
设三角形三边为a、b、c，第三边上的高为h，则有
3、三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．
一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫三角形的重心．
三角形中线的数学语言：
例7、如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE周长的差．
分析：
直角三角形的面积等于两直角边的积的一半，又等于斜边与斜边上的高的积的一半；
，所以△ABE的面积是△ABC的面积的一半；△AEC的周长与△ABE的周长的差为：
AC＋EC＋AE－（AB＋BE＋AE）=AC－AB．
解答：
4、三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与对边相交，这个顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线．
一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫做三角形的内心．
三角形角平分线的数学语言：
例8、如图，若AD是△ABC的角平分线，DE//AB.
（1）若DF//AC，EF交AD于点O．试问：
DO是否为△EDF的角平分线？
并说明理由；
（2）若DO是△EDF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由．
分析：
（1）要判断DO是否为△EDF的角平分线，即要判断∠EDA与∠ADF是否相等；
（2）由DO是△EDF的角平分线知∠EDA=∠ADF，由DE//AB，AD平分∠CAB得∠EAD=∠ADF．
解：
（1）DO是△DEF的角平分线，理由如下：
由DE//AB，得∠EDA=∠DAF．由DF//AC，得∠EAD=∠ADF．
又AD是△ABC的角平分线，有∠EAD=∠DAF．所以∠EDA=∠ADF．
（2）DF//AC．理由如下：
∵DO是△EDF的角平分线，∴∠EDA=∠ADF，又DE//AB，∴∠EDA=∠DAF．
∵AD平分∠CAB，∴∠EAD=∠DAF．
∴∠EAD=∠ADF，∴DF//AC．
5、三角形的稳定性
用三根长度适当的木条，用钉子把它们钉成一个三角形框架，所得到的框架形状和大小就固定了，三角形的这个性质称为三角形的稳定性．
例9、如图，是一个六边形木架，那么至少需加钉几根木条才能固定该六边形木架呢？
分析：
由于三角形具有稳定性，而其他的图形则不具有稳定性．因此要确定至少需要几根木条才能固定六边形框架，只需确定该六边形能分割成几个互不重叠的三角形．
解：
至少需要3根木条．
中考解析
例1、（重庆）观察下列图形，则第
个图形中三角形的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
第1个图形中有4个三角形；
第2个图形中有8个三角形；
第3个图形中有12个三角形；
……
由此规律，第n个图形中有4n个三角形．
答案：
D
例2、（柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：
由三条线段首尾顺次相连得到图形为三角形，所以图中三角形有△ABD，△ABC和△ADC，共有三个．
答案：
C
例3、（浙江温州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3.5cm B．4cm，5cm，9cm
C．5cm，8cm，15cm D．6cm，8cm，9cm
解析：
选项A中1+2<3.5不能组成三角形；选项B中4+5=9不能组成三角形；选项C中5+8<15不能组成三角形；而D中6+8>9，符合三角形三边关系，故选D.
答案：
D
课外拓展
例、将长度为2n（n为自然数，且n≥4）的一根铁丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边的长，且满足a≤b≤c的一个三角形．
（1）就n=4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）；
（2）有人根据
（1）中的结论，便猜想：
当铁丝的长度为2n（n为自然数且n≥4）时，对应（a，b，c）的个数一定是n－3，事实上，这是一个不正确的猜想；请写出n=12时的所有（a，b，c），并回答（a，b，c）的个数；
（3）试将n=12时所有满足题意的（a，b，c），按照至少两种不同的标准进行分类．
解：
（1）当n=4时，铁丝长度为8，满足题意的（a，b，c）只有一组：
（2，3，3）；
当n=5时，铁丝长度为10，满足题意的（a，b，c）有两组：
（2，4，4），（3，3，4）；
当n=6时，铁丝长度为12，满足题意的（a，b，c）有三组：
（2，5，5），（3，4，4），（4，4，4）．
（2）当n=12时，铁丝长度为24，则a＋b＋c=24，且
，
由此得8≤c≤11，即c=8，9，10，11，
故满足题意的（a，b，c）共有12组：
（2，11，11），（3，10，11），（4，9，11），（5，8，11），
（6，7，11），（4，10，10），（5，9，10），（6，8，10），
（7，7，10），（6，9，9），（7，8，9），（8，8，8）．
（3）不同的分类标准，决定不同的分类，现举例如下：
①按最大边c的值分类，有四类；
②根据是否等边、等腰三角形分类，共有三类；
③根据最大角与直角的关系分类，共有三类．
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