带电粒子在复合场中运动的实例分析.docx
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带电粒子在复合场中运动的实例分析
专题强化十带电粒子在复合场中运动的实例分析
专题解读1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式
出现.
2.学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力.针对性的专题训练，
可以提高同学们解决难题压轴题的信心.
3.用到的知识有：
动力学观点（牛顿运动定律）、运动学观点、能量观点（动能定理、能量守恒）、电场的观点（类平抛运动的规律）、磁场的观点（带电粒子在磁场中运动的规律）.
一、带电粒子在复合场中的运动
1.复合场与组合场
（1）复合场：
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存.
（2）组合场：
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间
段或分区域交替出现.
2.带电粒子在复合场中的运动分类
（1）静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动.
（2）匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在
垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.
（3）较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做
非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线.
（4）分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过
程由几种不同的运动阶段组成.
二、电场与磁场的组合应用实例
装置原理图
质谱仪
回旋
加速器
三、电场与磁场的叠加应用实例
装置原理图
速度
选择器
电磁
流量计
霍尔
元件
命题点一质谱仪的原理和分析
规律
带电粒子由静止被加速电场加速
qU＝1
2
mv
2，在磁场中做匀速圆周运动
qvB＝
v
2
q
2U
，则比荷
＝
m
r
2
2
m
Br
交变电流的周期和带电粒子做圆周运动的周期相同，带电粒子在圆周运动过
程中每次经过
D形盒缝隙都会被加速.
v2
q2B2r2
由qvB＝mr
得Ekm＝
2m
规律
E
若qv0B＝Eq，即v0＝B，带电粒子做匀速运动
U
U
，所以Q＝vS＝
U
D
2
＝
Dq＝qvB，所以v＝DB
DB
π（
2）
πUD
4B
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电
流方向都垂直的方向上出现电势差
1.作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器.
2.原理（如图1所示）
图1
12
（1）加速电场：
qU＝2mv；
mv2
（2）偏转磁场：
qvB＝r，l＝2r；
由以上两式可得r＝B12mUq，
2
2
m＝qrB，q＝2U2
2.
2UmBr
例1
一台质谱仪的工作原理如图
2所示.大量的带电荷量为＋
q，质量为2m的离子飘入电
压为U0的加速电场，其初速度几乎为
0，经加速后，通过宽为
L的狭缝MN沿着与磁场垂直
的方向进入磁感应强度为
B的匀强磁场中，最后打到照相底片上
.图中虚线为经过狭缝左、右
边界M、N时离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用.
图2
（1）求离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；
（2）在图中用斜线标出磁场中离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d.
答案
（1）4
mU0－L
B
q
（2）见解析图
2
mU0
－
4mU0
－
L2
B
q
2
4
qB
解析
（1）设离子在磁场中的运动半径为
r1，
在电场中加速时，有
qU0＝
1×2mv2
2
2
又qvB＝2mvr1
2mU0
解得r1＝Bq
根据几何关系x＝2r1－L，
解得x＝B4mUq0－L.
（2）如图所示，最窄处位于过两虚线交点的垂线上
d＝r1－r12－L2
2
2
mU0
－
4mU0
L2
解得d＝
q
2
－
4
B
qB
变式
1
（2016·全国卷Ⅰ·15）现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，
其示意图如图
3
所示，其中加速电压恒定.质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出
口离开磁场.若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场
偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍.此离子和质子的质量比
约为（）
图3
A.11
B.12
C.121
D.144
答案
D
解析
由qU＝
12
v＝
2qU
2mv
得带电粒子进入磁场的速度为
m
，结合带电粒子在磁场中运动
mv
1
2mU
的轨迹半径R＝Bq，综合得到
R＝B
q
，由题意可知，该离子与质子在磁场中具有相同
的轨道半径和电荷量，故m0＝144，故选D.
mp
命题点二回旋加速器的原理和分析
1.构造：
如图4所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接
交流电源.
图4
2.原理：
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次
D形盒缝隙，粒子被
加速一次.
3.粒子获得的最大动能
：
由qvmB＝
mvm
2
1
2
得Ekm＝
q2B2R2
R
、Ekm＝mvm
，粒子获得的最大动能
2
2m
由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关.
4.粒子在磁场中运动的总时间
：
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动
能qU，加速次数
n＝
Ekm
，粒子在磁场中运动的总时间
nEkm
2πmπBR2
qU
t＝
T＝
2qU
·＝
2U
.
2
qB
例2（多选）劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图
5所示.置于真空中的
D形金属盒半径为
R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略
.磁感应强度为
B的匀
强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为
f，加速电压为U.若A处粒子源产生质子的质量为
m、
电荷量为＋q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响
.则下列说
法正确的是（
）
图5
A.质子被加速后的最大速度不可能超过
2πRf
B.质子离开回旋加速器时的最大动能与加速电压
U成正比
C.质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为2∶1
D.不改变磁感应强度B和交流电频率
f，经该回旋加速器加速的各种粒子的最大动能不变
答案
AC
解析
质子被加速后的最大速度受到
D形盒半径R的制约，因vm＝2πR＝2πRf，故A正确；
T
1
2
1
2
22
2
22
质子离开回旋加速器的最大动能
Ekm＝2mvm
＝
2m×4πRf＝2mπRf，与加速电压U无关，
mv2
1
2
1
2
B错误；根据qvB＝r，Uq＝
2mv1，2Uq
＝2mv2，得质子第2
次和第1次经过两D形盒间
狭缝后轨道半径之比为
2∶1，C正确；因经回旋加速器加速的粒子最大动能
2
2
2
Ekm＝2mπRf
与m、R、f均有关，故D错误.
变式2如图6甲所示是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，
其核心部分是两个D形
金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连
.带电粒子
在磁场中运动的动能
Ek随时间t的变化规律如图乙所示
.忽略带电粒子在电场中的加速时间，
则下列判断中正确的是
（）
图6
A.在Ek－t图象中应有t4－t3B.加速电压越大，粒子最后获得的动能就越大
C.粒子加速次数越多，粒子最大动能一定越大
D.要想粒子获得的最大动能增大，可增加
D形盒的面积
答案
D
解析
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度大小无关，因此，在
Ek－t
图中
应有，t4－t3＝t3－t2＝t2－t1，A错误；粒子获得的最大动能与加速电压无关，加速电压越小，
粒子加速次数越多，由
mv2
qvB＝r
mv
得r＝qB＝
2mEk可知qB
q2B2r2
Ek＝2m，即粒子获得的最大动能
决定于
D形盒的半径，当轨道半径
r与
D
形盒半径
R相等时就不能继续加速，
故B、C
错误，
D正确.
变式3回旋加速器的工作原理如图7甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为
狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为
R，两盒间
m，电荷量
为＋q，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压值的大小为
U0，周期
2πm
T＝qB.一束该粒子
在t＝0～T时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零.现考虑粒子在狭缝中的运动时间，
2
假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用.求：
图7
（1）出射粒子的动能
Ek；
（2）粒子从飘入狭缝至动能达到
Ek所需的总时间t0.
q2B2R2
πBR2＋2BRdπm
答案
（1）
2m
（2）
2U0
－qB
解析
（1）粒子运动半径为R时，有
2
v
qvB＝mR
，
1
2
q2B2R2
又Ek＝mv，解得Ek＝
.
2
2m
（2）设粒子被加速
n次达到动能Ek，则Ek＝nqU0.
qU0
粒子在狭缝间做匀加速运动，设
n次经过狭缝的总时间为
t，加速度
a＝md，
粒子做匀加速直线运动，有
nd＝1
2，
2a·Δt
T
由t0＝（n－1）·＋t，
2
2
πBR＋2BRdπm
解得t0＝
2U0
－qB.
命题点三
电场与磁场叠加的应用实例分析
共同特点：
当带电粒子（不计重力）在复合场中做匀速直线运动时，qvB＝qE.
1.速度选择器
图
8
（1）平行板中电场强度
E和磁感应强度
B互相垂直
.（如图
8）
（2）带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是
qvB＝qE，即
E
v＝B.
（3）速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量.
（4）速度选择器具有单向性.
例3
如图9所示是一速度选择器，当粒子速度满足
v＝E
时，粒子沿图中虚线水平射出；
0
B
若某一粒子以速度v射入该速度选择器后，运动轨迹为图中实线，则关于该粒子的说法正确
的是（
）
图9
E
A.粒子射入的速度一定是v>B
E
B.粒子射入的速度可能是vC.粒子射出时的速度一定大于射入速度
D.粒子射出时的速度一定小于射入速度
答案B
2.磁流体发电机
图10
（1）原理：
如图10所示，等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而
聚集在A、B板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能
.
（2）电源正、负极判断：
根据左手定则可判断出图中的
B是发电机的正极.
（3）电源电动势U：
设A、B平行金属板的面积为
S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为
B，等离子气体的电阻率为
ρ，喷入气体的速度为
v，板外电阻为R.当正、负离子所受电场力
和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为
U（即电源电动势），则qU＝qvB，即U＝
l
Blv.
l
（4）电源内阻：
r＝ρ.
S
U
（5）回路电流：
I＝r＋R.
例4（多选）磁流体发电是一项新兴技术，图
11是它的示意图，平行金属板
A、C间有一很
强的磁场，将一束等离子体
（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电离子
）喷入磁场，两
极板间便产生电压，现将
A、C两极板与电阻
R相连，两极板间距离为d，正对面积为S，等
离子体的电阻率为ρ，磁感应强度为B，等离子体以速度v沿垂直磁场方向射入A、C两板之
间，则稳定时下列说法中正确的是（）
A.极板A是电源的正极B.电源的电动势为Bdv
C.极板A、C间电压大小为
Bdv
D.回路中电流为R
图11
BdvSR
RS＋ρd
答案
BC
解析
等离子体喷入磁场，带正电的离子因受到向下的洛伦兹力而向下偏转，带负电的离子
E
向上偏转，即极板
C是电源的正极，A错；当带电离子以速度
v做直线运动时，qvB＝qd
，
Bdv，B对；极板A、C间电压U＝IR，而I＝
Bdv
BdvS
BdvSR
所以电源电动势为
d＝
，则U＝
，
R＋ρ
RS＋ρd
RS＋ρd
S
所以C对，D错.
3.电磁流量计
（1）流量（Q）的定义：
单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积
.
（2）公式：
Q＝Sv；S为导管的横截面积，
v是导电液体的流速.
（3）导电液体的流速（v）的计算
如图
12所示，一圆形导管直径为
d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动
.
导电液体中的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下发生偏转，使
a、b间出现电势差，当
U
自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，
a、b间的电势差（U）达到最大，由qd＝qvB
，可得v
＝BdU.
图12
πd2UπdU
（4）流量的表达式：
Q＝Sv＝·＝.
4Bd4B
（5）电势高低的判断：
根据左手定则可得φa>φb.
例5（多选）为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图
13
所示的流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为
a＝1m、b＝0.2m、c＝0.2m，
左、右两端开口，在垂直于前、后面的方向加磁感应强度为
B＝1.25T的匀强磁场，在上、
下两个面的内侧固定有金属板
M、N作为电极，污水充满装置以某一速度从左向右匀速流经
该装置时，用电压表测得两个电极间的电压
U＝1V.且污水流过该装置时受到阻力作用，阻
力Ff＝kLv，其中比例系数
k＝15N·s/m2，L为污水沿流速方向的长度，v为污水的流速.下列
说法中正确的是（）
图13
A.金属板M电势不一定高于金属板N的电势，因为污水中负离子较多
B.污水中离子浓度的高低对电压表的示数也有一定影响
C.污水的流量（单位时间内流出的污水体积
3
）Q＝0.16m/s
D.为使污水匀速通过该装置，左、右两侧管口应施加的压强差为
p＝1500Pa
答案
CD
解析
根据左手定则，知负离子所受的洛伦兹力方向向下，
则负离子向下偏转，
N板带负电，
M板带正电，则N板的电势比
M板电势低，故A错误；最终离子在电场力和洛伦兹力作用
U
U
下平衡，有qvB＝qc，解得U＝vBc，与离子浓度无关，故
B错误；污水的流速
v＝Bc，则
Ub
1×0.2
3
3
U
1
流量
Q＝vbc＝B
＝1.25
m
/s＝0.16m
/s，故C正确；污水的流速v＝Bc＝1.25×0.2m/s
＝4m/s;污水流过该装置时受到的阻力
Ff＝kLv＝kav＝15×1×4N＝60N，为使污水匀速通
F
60
过该装置，左、右两侧管口应施加的压力差是
60N，则压强差为
p＝S＝
0.2×0.2Pa＝1500
Pa，故D正确.
4.霍尔效应的原理和分析
（1）定义：
高为h、宽为d的导体（自由电荷是电子或正电荷）置于匀强磁场B中，当电流通过
导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压
称为霍尔电压.
图14
（2）电势高低的判断：
如图14，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电
子，则下表面A′的电势高.若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低.
（3）霍尔电压的计算：
导体中的自由电荷（电子）在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，
当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，
A、A′间的电势差（U）就保持稳定，由
qvB＝qU，
h
BI＝kBI，k＝1称为霍尔系数.
I＝nqvS，S＝hd；联立得U＝nqdd
nq
例6中国科学家发现了量子反常霍尔效应，杨振宁称这一发现是诺贝尔奖级的成果
.如图
15所示，厚度为h、宽度为d的金属导体，当磁场方向与电流方向垂直时，在导体上、下表
面会产生电势差，这种现象称为霍尔效应.下列说法正确的是（）
图15
A.上表面的电势高于下表面的电势
B.仅增大h时，上、下表面的电势差增大
C.仅增大d时，上、下表面的电势差减小
D.仅增大电流I时，上、下表面的电势差减小
答案
C
解析
因电流方向向右，则金属导体中的自由电子是向左运动的，根据左手定则可知上表面
带负电，则上表面的电势低于下表面的电势，
A错误；当电子达到平衡时，电场力等于洛伦
兹力，即
U
qh＝qvB，又
I＝nqvhd（n为导体单位体积内的自由电子数
），得
IB
U＝nqd，则仅增大
h时，上、下表面的电势差不变；仅增大
d时，上、下表面的电势差减小；仅增大
I时，上、
下表面的电势差增大，故
C正确，B、D
错误.
1.在如图
1所示的平行板器件中，电场强度
E和磁感应强度
B相互垂直
.一带电粒子
（重力不
计）从左端以速度
v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子
（
）
图1
A.一定带正电
E
B.速度v＝B
C.若速度v＞E，粒子一定不能从板间射出
B
D.若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动
答案
B
解析
粒子带正
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