四年级奥数 鸡兔同笼.docx

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四年级奥数鸡兔同笼

学科：

奥数

教学内容：

第14讲鸡兔同笼问题

　　知识网络

　　鸡兔同笼问题是我国古代数学着作《孙子算经》中的一个流传甚广的数学趣题：

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？

翻译成现代汉语语言为：

今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。

问鸡、兔各有几只？

这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法也多种多样，但一般采用的是假设法。

　　在解答应用题时，有时要采用“假设”的思想来分析，以找到解题途径。

用假设思想解应用题，首先要根据题意去正确地判断应该怎样假设，并根据所做的假设，注意数量关系发生的变化，从所给的条件与变化了的数量关系的比较中做出适当的调整，来找到正确答案。

　　重点·难点

　　运用假设法是求解这类可以转化为鸡兔同笼问题的应用题的关键。

　　学法指导

　　用假设法解应用题的步骤：

一是要根据题意正确地判断怎样“假设”，二是依据假设，按照题目所给的数量关系进行推算，所得结果与题中对应的数量不符时，要能够正确地运用别的已知量加以调整，三是进而得出正确的答案。

　　经典例题

　　[例1]一个农夫有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少？

　　思路剖析

　　鸡兔同笼问题适用的基本方法是假设法。

假设这笼里全是鸡，那么鸡脚的总数应为：

50×2=100（只），与实际相比较，脚减少的数为140－100=40（只）。

脚减少的原因是每把一只兔当作一只鸡时，要少4－2=2（只）脚。

所以实际的兔数是40÷（4－2）=20（只），若先假设的全是鸡，则先求出的是兔数。

　　解答

　　☆解法一：

　　设全是鸡，那么相应的鸡脚数：

50×2=100（只）与实际相比，脚减少的数：

140－100=40（只）

　　兔脚与鸡脚的差4－2=2（只）

　　实际兔数为40÷2=20（只）

　　那么实际的鸡数：

50－20=30（只）

　　答：

有鸡30只，有兔20只。

　　☆解法二：

　　利用方程求解：

　　设农夫有鸡x只，那么有免（50－x）只。

那么鸡有脚2×x只，兔有脚4×（50－x）只。

　　列方程为2×x+4×（5－x）=140

　　解方程2×x+200－4×x=140

　　2×x=60x=30

　　50－x=50－30=20

　　则鸡有30只，兔有20只。

　　☆解法三：

　　（不拘于传统的解法，让我们的思维发散，更具有创造性。

）

　　农夫想知道鸡、兔分别有多少只，他做了一个有趣的设想，就是假设每只兔子又长出一个头来，把它劈开，变成“一头两脚”的两只“半兔”，半免和鸡都有两只脚，因而共有140÷2=70（只）头，从而多出了70－50=20（只）头，这就是兔子的数目，鸡的只数就是50－20=30（只）。

　　☆解法四：

　　兔有4只脚，而鸡有2只脚，不过鸡有2只翅膀，如果把翅膀也当作脚，则鸡、兔都有4只脚，于是脚有50×4=200（只），但题中翅膀不算脚，因而有翅膀200－140=60（只），每只鸡有两只翅膀，则鸡数为60÷2=30（只），兔有50－30=20（只）。

　　☆解法五：

　　农夫惊讶地看到鸡、兔们非凡的表演：

每只鸡都用一只脚站立着，每只兔都用两只后腿站立起来。

这种情况下，地上的总腿数是原来的一半，即70只腿，鸡的脚数与头数相同，而兔的脚数是头数的两倍，因此从70里减去总的头数，剩下来的就是兔的头数：

70－50=20（只），即有20只兔，那么有鸡30只。

　　☆解法六：

　　我们还可以想像鸡、兔们经过专门训练后具有一些“特殊技能”，当它们听到哨音后，鸡飞起来，兔立即双脚站立起来。

这时立在地上的应该都是兔，它的脚数：

140－50×2=40（只）。

因此有免：

40÷2=20（只），鸡有：

50－20=30（只）。

　　[例2]现有2分和5分的硬币共40枚，共值125分，问两种硬币各多少放？

　　思路剖析

　　利用假设法，假设40枚硬币全是2分的，则面值为80分，与实际相比减少了125－80=45（分），是由于把每个5分硬币少算了5－2=3（分）造成的，则可知有5分硬币45÷3=15（枚）。

　　解答

　　设全为2分的，则共值2×40=80（分）

　　与实际相比少125－80=45（分）

　　由于假设造成的差值5－2=3（分）

　　则有5分硬币45÷3=15（枚），

　　2分硬币40－15=25（枚）。

　　答：

有5分硬币15枚，2分硬币25枚。

　　点津

　　由假设造成的与实际的差值45分，是与把5分硬币当作2分硬币产生的差值相关的，而不是仅与5分硬币有关。

　　[例3]某次的小学数学奥林匹克竞赛，共有20道题，评分标准是：

每做对一题得5分，每做错或不做一题扣3分。

小贝贝参加了这次竞赛，得了68分，问：

小贝贝做对了几道题？

　　思路剖析

　　假设小贝贝20道题全做对了，他应该得20×5=100（分），比实际上多了100－68=32（分），产生这一差异的原因是把做错或没做的题也算作做对的了，需要注意的是，做错或不做一题比做对一题应少得5+3=8（分），因此小贝贝做错或不做的题数：

　　32÷8=4（道）。

　　解答

　　　20－（5×20－68）÷（5+3）

　　=20－32÷8=20－4

　　=16（道）

　　答：

小贝贝做对了16道题。

　　点津

　　由于做错和不做的题不但不得分，还要扣掉分数，那么与做对一道题相比，就不是简单相减的关系，而应该求和得出。

类似于零上5℃与零下3℃相差是8℃，而不是2℃。

　　[例4]农场工人上山植树造林，绿化祖国，晴天时每人每天植树20棵，雨天时每人每天植树12棵，工人张宁接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。

问：

张宁植树这些天共有几个雨天？

　　思路剖析

　　题目中虽然没有问张宁工作了几天，但总共做了多少天是一个关键量，须先求出来。

天数=总量÷平均数=112÷14=8（天）。

要求有多少个雨天，可假设每天都是晴天，那么应植20×8=160（棵），与实际相比，多植160－112=48（棵），是把雨天植树量当作20棵造成的，20－12=8（棵）是实际植树量与假设的差值。

因此有雨天：

48÷8=6（天）。

　　解答

　　[20×（112÷14）－112]÷（20－12）

　　=（160－112）÷8=48÷8

　　=6（天）

　　答：

张宁植树这些天总共有6个雨天。

　　[例5]“和尚分馒头”题，记载于我国明代《算法统宗》。

现代文译文：

大和尚与小和尚共100名，分配100个馒头，大和尚每位给3个，小和尚3个人给1个，问大、小和尚各有多少人？

　　思路剖析

　　假设都是小和尚。

因为小和尚3个人给1个馒头，分配100个馒头，应该有小和尚3×l00=300（人），比实际多了300－100=200（人）。

是由于把大和尚看做小和尚造成的，由于大和尚每位给3个馒头，相当于给9位小和尚的量。

由于假设出现的差值即为9－l=8（人），那么大和尚的人数220÷8=25（人）。

　　解答

　　（3×100－100）÷（3×3－1）

　　=（300－100）÷8=200÷8

　　=25（人）

　　100－25=75（人）

　　答：

大和尚有25人，小和尚有75人。

　　点津

　　本题中给出的条件“大和尚每位给3个，小和尚3个人给1个”，无法直接求出大、小和尚在人数或在馒头数上的差值，需通过条件中给出的比例关系求得。

　　［例6］四年级某班有学生68人，为了更好地学习，同学们自愿结成了14个学习小组。

这些小组有的3人，有的5人，有的7人。

而且3人组与5人组的组数相同。

问三种学习小组各有几组？

　　思路剖析

　　前面的例题中，总体中的数量总是“非此即彼”只有两种，而本题中出现了3种，似乎有些复杂。

但题目中有个很重要的条件“而且3人组与5人组的组数相同”，是否可以利用这个条件将此题也转化成我们熟悉的鸡兔同笼题呢？

我们将“3人组与5人组组数相同”这个条件，转化为将他们组成4人组，那么组数应为这两组的组数和，因为4是3和5的平均数。

　　那么分组情况可以看做是两类：

4人组和7人组。

假设都是4人组，那么应有人数：

4×14=56（人），与实际人数的差值：

68－56=12（人），由于假设出现的差值：

7－4=3（人），则7人组的组数：

12÷3=4（组）。

　　解答

　　（68－4×14）÷（7－4）

　　=（68－56）÷3=12÷3

　　=4（组）

　　那么3人组与5人组的组数（14－4）÷2=5（组）

　　答：

学习小组中3人组和5人组各有5组，7人组有4组。

　　[例7]有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿、两对翅膀，蝉6条腿、一对翅膀），问蜻蜒有多少只？

　　思路剖析

　　依照例6的思路，我们应当将三种昆虫分成两类，从而将题目转化成与鸡兔同笼结构相同的题。

分析题中的已知条件，找到可以归成一类的突破口。

三种昆虫有两种有翅膀，一种没翅膀，显然不能按此划分。

三种昆虫都有腿，而且其中两种腿数相同，与例6思路相同，将三种昆虫按腿数分成两类：

8腿虫和6腿虫。

假设18只昆虫都是8腿虫，则有腿8×18=144（条），与实际腿数的差值144－118=26（条），由于假设造成的差值8－6=2（条），那么有6腿虫：

26÷2=13（只），知道了6腿虫的总数，就可以按翅膀对数再将它们分成两类：

2对翅膀和1对翅膀。

则又转化成一道鸡兔同笼结构的题目。

假设13只昆虫都有2对翅膀，则有2×13=26（对），与实际翅膀数的差值26－20=6（对），由于假设造成的差值2－1=1（对），那么蝉（一对翅膀）有：

6÷1=6（只）。

　　解答

　　（8×18－118）÷（8－6）

　　=（144－118）÷2=26÷2

　　=13（只）……6腿虫数

　　（2×13－20）÷（2－1）

　　=（26－20）÷1

　　=6（只）……1对翅膀虫数

　　13－6=7（只）……2对翅膀虫数

　　答：

蜻蜓有7只。

　　点津

　　恰当地把多组事物根据其特点划分成两类，转化成鸡兔同笼结构的题目是解题的关键。

当组数大于2时，有时需要在同一题中解决多于1次的鸡兔同笼结构的题目，才能求得最终结果。

　　发散思维训练

　　1．动物园里有一群鸵鸟和大象，它们共有36只眼睛和52只脚，问鸵鸟和大象各有多少？

　　2．养殖场共养鸡、兔180只，已知鸡脚总数比兔脚总数多180只。

问养的鸡、兔各多少只？

　　3．学校有象棋、跳棋共20副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供60个学生进行活动。

问象棋与跳棋各有多少副？

　　4．鸡、兔共有脚140只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚160只。

问原有鸡、兔各几只？

　　5．老师教同学们练跳绳，若一次能连续跳8个，老师奖给同学4块巧克力；若跳不够8个，则退给老师2块。

王芳同学一共练了10次，得到28块巧克力。

问王芳有几次没跳够8个？

　　6．有6个谜语，让50人猜，共猜对了202个。

已知每人至少猜对2个，且猜对2个的有5人，猜对4个的有9人，猜对3个和5个的人数一样多，那么，6个全猜对的有多少人？

　　7．现有大、小水桶共50个，每个大桶可装水6千克，每个小桶可装水3千克，大桶比小桶总共多装水30千克。

问大、小桶各多少个？

　　8．小张是车工，平均每天车某种零件50个，每车好一个正品，可为企业创造财富14元，但车坏一个要损失96元。

某天，他为企业创造了480元的财宝，这一天他车出的正品是多少个？

　　9．模拟考试已举行了24次，共出了试题426道，每次出的试题数不同，或者25题，或者16题，或者20题，那么，其中有25道试题的有多少次？

　　10．传说九头鸟有九头一尾，九尾鸟有九尾一头。

今有头510个，尾590个，问：

两种鸟各有多少个？

　　参考答案

　　发散思维训练

　　1．解：

　　由于每只动物有两只眼睛，由题意可知动物园里鸵鸟和大象的总数为：

36÷2=18（只），假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，那么脚总数为：

18×4=72（只），与实际的差值为：

72－52=20（只），由假设引起的差值：

4－2=2（只），则鸵鸟数：

20÷2=10（只），大象数：

18－10=8（头）。

　　答：

鸵鸟有10只，大象有8头。

　　2．解：

　　假设180只全是鸡，则兔脚数为0，则鸡脚数比兔脚数多：

2×180=360（只），与实际相比：

360－180=180（只），由假设造成的差值：

2+4=6（只）。

　　那么实际的兔数是：

180÷6=30（只）

　　鸡数为：

180－30=150（只）

　　答：

养的鸡为150只，兔为30只。

　　3．解：

　　假设象棋也可供6个人下，则可供6×20=120（人）学生进行活动。

与实际相比，120－60=60（人），由假设造成的差值：

6－2=4（人）。

　　那么实际的象棋数为60÷4=15（副）

　　跳棋数为20－15=5（副）

　　答：

象棋有15副，跳棋有5副。

　　4．解：

　　由于鸡换成兔，兔换成鸡，脚的只数增加了20只。

故原来的兔比鸡少20÷2=10（只），减去这10只鸡，则鸡、兔一样多，并且共有脚：

140－2×10=120（只）。

假设鸡、兔各有3只脚（鸡、兔脚数的平均数），那么鸡、兔共有120÷3＝40（只），鸡、兔各有40÷2=20（只），实际的鸡数为：

　　20+10=30（只）。

　　答：

原有鸡30只、兔20只。

　　5．解：

　　假设王芳10次都跳够8个，则应得巧克力4×10=40（块）。

与实际相比，40－28=12（块）。

由于跳不够，不但没得到巧克力，还要返还2块。

　　那么由假设造成的差值为4+2=6（块）。

王芳没有跳够的次数：

12÷6=2（次）。

　　答：

没跳够8个的次数为2次。

　　6．解：

　　猜谜情况总共有5种，其中已知猜对2个的有5人、猜对4个的有9人，则猜对3、5、6个的人数：

50－5－9=36（人），共猜对的题数：

202－2×5－4×9＝156（个）。

　　由于猜对3个和5个的人数一样多，可以把他们看作为猜对4个的人。

　　假设36个人都猜对了6个，那么共猜对的题数为6×36＝216（个），与实际相比，216－156=60（个），由假设造成的差值6－4=2（个），则猜对4个的人数：

60÷2=30（人），那么猜对6个的人数：

36－30=6（人）。

　　答：

有6人全猜对。

　　7．解：

　　假设50个桶都是大桶，则共装水6×50=300（千克），而此时小桶装水为0，与实际相比，相差300－30=270（千克）。

若将大桶换成小桶，则每换一个，大桶装的水就减少6千克，小桶装的水增加3千克，大桶比小桶多装的重量就减少：

6+3=9（千克），那么小桶的个数：

270÷9＝30（个）大桶的个数：

50－30=20（个）

　　答：

大桶有20个，小桶有30个。

　　8．解：

　　假设小张这天车出的零件全部是正品，那么应创造的财富为：

14×50=700（元），可实际只有480元，其差额是700－480=220（元）。

　　根据题意：

如果车坏一个零件要减少14+96=110（元），那么车坏零件的个数：

220÷l10＝2（个），零件正品个数：

50－2=48（个）。

　　答：

他车出的正品是48个。

　　9．解：

　　假设24次考试，每次都是16题，则并考了试题16×24=384（题），与实际考题数相比，426－384=42（题）。

而考25题的每次多考25－16=9（题），考20题的每次多考20－16=4（题），这样有9×A+4×B=42，其中A表示考25题的次数，B表示考20题的次数。

根据奇偶性分析，A只能是2。

　　答：

考25题的次数是2次。

　　10．解：

　　尾数590个大于头数510个，说明九尾鸟多于九头鸟。

590－510=80（个），两种鸟的尾数差为9－l=8（个），那么九尾鸟比九头鸟多80÷8=10（只）。

除去这10只，剩下九头鸟与九尾鸟的数量相等，为（510－10）÷（9+l）=50（只），九尾鸟有50+10=60（只）。

　　答：

九尾鸟有60只，九头鸟有50只。