6）若N进入接受状态，则接受；否则，右移一格，将空格上写入1，转第三步。
”
由于N是非确定型判定器，所以对任意输入，由本题的提示M一定会停机。
3.4给出枚举器的形式定义。
解：
枚举器E=（Q,,,,q0,qaccept,qreject）,其中转移函数为：
：
Q×Q××{L,R}×*
（q,a）=（r,b,s1,c）
表示若E处于状态q,且在工作带上读到a，则状态转移为r，当前格改写为b并按s1作相应左或右移，打印带上写下字符串c，其中若c等于，则不打印。
另外E的起始格局只能是q0v，这里v表示一个空格。
3.5检查图灵机的形式定义，回答下列问题并解释你的推测：
a．图灵机能在它的带子上写下空白符吗
b．带字母表和输入字母表能相同吗？
c．图灵机的读写头能在连续的两步中处于同一个位置吗？
d．图灵机能只包含一个状态吗？
解：
a．能。
因为空白符属于带字母表；
b．不能。
因为空白符不属于输入字母表；
c．能。
当读写头处于左端点时，如果转移是向左转移，因为不准机器从带的左端点移出，所以下一个格局读写头仍在左端点。
d．不能。
因为qacceptqreject，至少应有两个状态。
3.6解：
因为M不一定是判定器，可能会在运行某个si时不停机，则L（M）中按字典序大于si的字符串不可能被枚举出来。
3.7解：
因为图灵机的一个本质要求是一步之内，只能做有限的工作，而第1）步中取所有可能的值，这有无限多种情况。
3.8构造具有3条带的图灵机。
对于问题a.
1）w先读入第一条带，然后读到0就把0写入第2条带，读到1就把1写入第3条带，直到读到空格为止。
2）然后把3个读写头都返回到最左边。
3）开始读第2条带和第3条带，每次都是读一个字符，如果同时遇上空格符，则接收，否则拒绝。
对于问题b:
1）和a的第1步相同。
2）和a的第2步相同。
3）每次读带3的一个字符就读带2的两个字符，如果同时遇上空格符，就接收，否则拒绝。
对于问题c:
1）和a的第1步相同。
2）和a的第2步相同。
3）每次读带3的一个字符就读带2的两个字符，如果同时遇上空格符，就拒绝，否则接受。
3.9由题知,1-pda代表一个栈的下推自动机,2-pda代表两个栈的下推自动机。
如果能用2-pda模拟一个图灵机,而我们已经知道图灵机比下推自动机强大，那么就有2-pda比1-pda更强大。
设有TMS。
下面构造2-pdaP，且记其两个栈分别为A，B：
P＝“对于输入w,
1）将w读入栈A，再全部从栈A中依次弹出并读入栈B。
2）模拟S在w上运行。
记录S的当前状态，并且栈B的栈顶字符为S的读写头所指方格的字符：
a）若S执行一个右移（q,a）=（r,b,R），则将栈B的栈顶字符a替换为b，弹出b，推入栈A，记录S的当前状态r。
b）若S执行一个左移（q,a）=（r,b,L），首先将栈B的栈顶字符a替换为b；若栈A不空，则将栈A弹出一个字符推入栈B；若栈A为空（对应于S处于工作带最左端），则不作栈操作。
记录S的当前状态r。
3）若S进入接受状态，则进入接受状态。
”
由上知.我们用2-pda模拟了图灵机,所以2-pda比1-pda强大.
下面用一个四带TMS来模拟一个3-pdaP，要求P进入接受状态之前排空栈，并且或者推入或者弹出：
记P的三个栈为A,B,C。
S的四个带，第一带用来模拟P的输入带，第二,三,四带分别模拟栈A,B,C：
S＝“对于输入字符串w，
1）初始化，第一带放入w，第二，三，四带为空。
2）模拟P分别在四个带上按如下方式动作：
a．若P在输入带上读一个非空字符，则读第一带字符并右移一格；
若P在输入带上读一个，则在第一带上不读字符，且读写头保持不动。
b．栈A,B,C中若有弹出，则在相应带上当前格改写为空格，并左移一格；若有推入a，则在相应带上右移一格，并写入a。
3）若P进入接受状态，则接受。
”
3.10证明双无限带图灵机识别图灵可识别语言。
证明思路：
利用双无限单带图灵机模拟普通单带图灵机时，只需要设计一个左端点。
我们的证明是让它在第一格左边标记“$”作为左端点。
证明：
首先用单带双无限带图灵机模拟普通单带图灵机：
设有普通图灵机M1＝（Q1,,1,1,q0,qaccept,qreject）。
下面构造与之等价的单带双无限带图灵机M2＝（Q2,,2,2,qs,qaccept,qreject），其中
Q2=Q1{qs,qt},qs为新的起始状态；2＝1{$}.
对任意qQ2,a2,
再用普通单带图灵机模拟单带双无限带图灵机：
设有单带双无限图灵机M1＝（Q,,,,q0,qaccept,qreject），下面构造普通单带图灵机M2：
M2=“输入串w，
1）将带上字符串改写为$w,将读写头放在w的第一个字符上，
2）按照M1的转移函数运行，
3）每当读写头移到了$上，就将$右边的所有字符右移一格，并在$右边的方格里写上空格符，再将读写头放在这个方格上，转第二步，
4）若进入接受状态，则接受；若进入拒绝状态则拒绝。
”
也可以用普通双带图灵机模拟单带双无限带图灵机：
设有单带双无限图灵机M1＝（Q,,,,q0,qaccept,qreject），下面构造普通双带图灵机M2：
M2=“输入串w，
1）在第一个带上放上$,读写头放在$上；
第二个带子上放入#w,读写头放在第二个方格上。
2）当第一带读写头位于$上，而第二带读写头不在＃上时，在第二带上按照M1的转移规则运行，直到停机或读写头移到#上。
若进入接受状态则接受，若进入拒绝状态则拒绝。
若读写头移到#上，则将第一带上读写头右移一格。
3）当第二带读写头位于#上，而第一带读写头不在$上时，在第一带上按照M1的转移规则运行，但是每一步要将读写头移动方向反向，直到停机或读写头移到$上。
若进入接受状态则接受，若进入拒绝状态则拒绝。
若读写头移到$上，则将第二带上读写头右移一格，转第二步。
”
3.11只写一次图灵机是一个单带图灵机，它在每个带方格上最多只能改变其内容一次（包括带上得输入区域）。
证明图灵机模型的这个变形等价于普通的图灵机模型。
证明：
普通单带图灵机总是可以模拟只写一次图灵机。
下面说明怎样用一个只写一次TMT模拟一个普通单带TMS。
T=“对于输入w=w1w2wn,
1）在w1w2wn上并模拟S运行。
2）每当S要改写工作带时（例如设S要将当前方格内容改写为b，并且左移或右移一格），T按如下方式动作：
a.将当前方格改写为“b*”，在带子右边第一个空格写下“#”。
b.将“#”左边的字符抄写到“#”右边（注：
每抄写一个字符，需要将此格字符改写一次以作上标记，但是“b*”不用再作另外标记，而且将“b*”抄写为“b~”）。
c.找到带有标记“~”的字符，再模拟S左移或右移一格。
然后继续模拟S。
3）若S接受则接受；若S拒绝则拒绝。
”
3.12对于普通图灵机N，构造与之等价的带左复位的图灵机E：
E＝“对于输入w,
1）在w上模拟N的一步动作：
若N要将当前格由a改为b且右移，则照此动作；
若N要将当前格由a改为b且左移，则将当前格由a改为b#且复位：
a）以~标记当前位，右移一格；
b）若当前位没有标记#，则复位，右移直到找到标记有~的字符，去掉此标记，右移一格转步（a）;
c）若当前位有标记#，则去掉标记#并复位，右移或直到找到标记有~的字符，去掉此标记；
2）若N进入接受状态，则接受；若进入拒绝状态，则拒绝；否则转第一步。
”
L（E）=L（N）。
因此左复位的图灵机识别图灵可识别语言类。
3.13以停留代替左移的图灵机识别什么语言类？
解：
正则语言类。
首先一个DFA可以被一个以停留代替左移的图灵机模拟。
下面证明一个以停留代替左移的图灵机S=（Q,,,,q1,qaccept,qreject），可以被一个NFAM=（Q1,,1,q0,F）模拟。
M的构造如下：
令Q1=Q×{qend}，F={qend}，q0=（q1,）,
1）对任意qQ-{qaccept,qreject},a,令
1（（q,）,a）={（q,a）};
2）对任意qQ-{qaccept,qreject},a,
若有转移（q,a）=（r,b,R），则令1（（q,a）,）={（r,）};
若有转移（q,a）=（r,b,S），则令1（（q,a）,）={（r,b）};
3）对任意a,b，
令1（（qaccept,a）,b）={（qaccept,）};
4）对任意qQ，令Sq=（Q,,,,q,qaccept,qreject）,
若L（Sq），则令1（（q,）,）={qend}。
其中第一类转移是用来读字符的。
第二类转移是用来模拟S的读写头的移动的。
由于S没有左移，所以右移一格之前改写的内容b可以舍去。
第三类转移用来处理当S已进入接受状态，但是字符串还没有读完的情况的。
即先由1（（qaccept,a）,b）={（qaccept,）}读完所有剩余字符，再由第四类转移中的1（（qaccept,）,）={qend}进入接受状态。
第四类转移用来处理S的读写头移出输入区域的情况的，在这种情况下，S是进入接受状态，还是进入拒绝状态，还是不停机，完全取决于进入空白区域时的状态q：
即若L（Sq），则S最终会进入接受状态；若L（Sq），则S最终会进入拒绝状态或不停机。
3.15证明可判定语言类在下列运算下封闭。
a.并。
证明：
设M1，M2为识别可判定语言A1,A2的判定器。
构造图灵机M：
M＝“输入w，
1）分别在w上运行M1和M2，每运行一步M1就运行一步M2。
2）若M1和M2中有一个接受，则接受。
若都拒绝，则拒绝。
”
M为识别A1A2的判定器。
所以可判定语言类对并运算封闭。
b.连接。
证明：
设M1，M2为识别可判定语言A1,A2的判定器。
构造图灵机M：
M＝“输入w，
1）列出所有将w分成两段的方式（|w|+1种）.
2）对于每一种分段方式，在第一段上运行M1，在第二段上运行M2。
若都接受，则接受。
3）若没有一种分段方式被接受则拒绝。
”
M为识别A1
A2的判定器。
所以可判定语言类对连接运算封闭。
c.星号。
证明：
设M1为识别可判定语言A的判定器。
M＝“输入w，
1）列出w的所有分段的方式（2|w|-1种）。
2）对于每一种分段方式，重复下列步骤：
3）分别在每一段上运行M1，若每一段都能被M1接受，则接受。
4）若没有一种分段方式被接受则拒绝。
”
M为识别A*的判定器。
所以可判定语言类对星号运算封闭。
d.补。
证明：
设M1=（Q,,,,q0,q1,q2）为识别可判定语言A的判定器，其中q1为接受状态，q2为拒绝状态。
令M=（Q,,,,q0,q2,q1），其中q2为接受状态，q1为拒绝状态。
则M为识别
的判定器。
所以可判定语言类对补运算是封闭的。
e.交。
证明：
设M1，M2为识别可判定语言A1,A2的判定器。
构造图灵机M：
M＝“输入w，
1）分别在w上运行M1和M2，每运行一步M1就运行一步M2。
2）若M1和M2中都接受，则接受。
若M1和M2中有一个拒绝，则拒绝。
”
M为识别A1A2的判定器。
所以可判定语言类对交运算是封闭的。
3.16证明图灵可识别语言类在下列运算下封闭：
a．并b．连接c．星号d．交
证明：
要证这四种运算下图灵可识别语言类封闭，只需设计出图灵机来识别此种语言。
设A和B是图灵可识别语言，A=L（M1），B=L（M2），M1和M2是两个图灵机。
a．M=“对于输入w：
1）在输入w上并行运行M1和M2；
2）M1和M2中有一个停机且接受，则接受；若都停机且拒绝，则拒绝。
”
M识别A1A2。
所以图灵可识别语言类对并运算是封闭的。
b.M＝“输入w，
1）出所有将w分成两段的方式（|w|+1种）.
2）对于i=1,2,重复以下步骤：
3）对于每一种分段方式，在第一段上运行M1i步，在第二段上运行M2i步，或者直到停机。
若都接受，则接受。
”
M识别A1
A2。
所以图灵可识别语言类对连接运算是封闭的。
c．M＝“输入w，
1）列出w的所有分段的方式（2|w|-1种）.
2）对于i=1,2,重复以下步骤：
3）对于每一种分段方式，分别在每一段上运行M1i步，或者直到停机。
若M1接受所有段，则接受。
”
M识别A*。
所以图灵可识别语言类对星号运算是封闭的。
d．M=“对于输入w：
1）在输入w上运行M1。
若M1接受，则转
（2）；若M1拒绝，则拒绝。
2）在w上运行M2。
若M2接受，则接受；若M2拒绝，则拒绝。
”
M识别AB。
所以图灵可识别语言类对并运算封闭。
3.21
1）由cmax|c1|知，当|x|1，则欲判定不等式明显成立。
2）当|x|>1时，由
c1xn+c2xn-1+…+cnx+cn+1=0
c1x=－（c2+…+cnx2-n+cn+1x1-n）
|c1||x|=|c2+…+cnx2-n+cn+1x1-n|
<|c2|+…+|cn||x|2-n+|cn+1||x|1-n
|c2|+…….|cn|+|cn+1||x0|
ncmax
<（n+1）cmax
|x|<（n+1）cmax/|c1|.
由
（1）和
（2）可知结论成立。
3.22解：
A是可判定的。
因为若上帝存在，则s=0，A={0}是可判定的。
若上帝不存在，则s=1，A={1}是可判定的。
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