朝阳区高三期末联考数学文试题及答案.docx
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朝阳区高三期末联考数学文试题及答案
北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（文史类）2016.1
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，则=
A．B．C．D．
2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是
A．B．C．D．
3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为
A．B．C．D．
第3题图
4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有
A．辆B．辆
C．辆D．辆
4
第4题图
5.已知m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且,则下列说法正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且与轴交于点,若（为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为
A.B.C.D.
7.已知为圆（）上两个不同的点（为圆心），且满足，则
A.B.C.D.
8.设函数的定义域为，如果存在正实数，使得对任意，当时，都有，则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（），若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.计算:
（为虚数单位）.
10.双曲线的渐近线方程为.
11.在中，若，，，则,.
12．已知正数，满足约束条件，则的最小值为.
13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是，侧面积为.
第13题图
14.在中，，为线段的中点，若的长为定值，则面积的最大值为（用表示）.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
16.（本小题满分13分）
已知函数的图象过点.
（Ⅰ）求实数的值及函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
17.（本小题满分13分）
某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；
（Ⅱ）设“选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率．
18.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形．点是棱的中点，平面与棱交于点．
（Ⅰ）求证：
∥；
（Ⅱ）若，且平面平
面，试证明平面；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段上是否存在点
使得平面?
（直接给出结论，不
需要说明理由）
19.（本小题满分13分）
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；
（Ⅲ）求函数的单调区间.
20.（本小题满分14分）
已知圆的切线与椭圆相交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）求证:
；
（Ⅲ）求面积的最大值.
北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试
数学答案（文史类）2016.1
一、选择题：
（满分40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
D
B
C
A
D
二、填空题：
（满分30分）
题号
9
10
11
12
13
14
答案
（注：
两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：
（满分80分）
15.（本小题满分13分）
解:
（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且.
依题意有，
由,又，
解得
所以,.
.………………………………………7分
（Ⅱ）因为
所以前项和
所以前项和．………………………………13分
16.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由
.
因为函数的图象过点，
所以.解得.
函数的最小正周期为.…………………………………………………………7分
（Ⅱ）因为，所以.
则.
所以当，即时，函数在上的最小值为.……………13分
17.（本小题满分13分）
解：
从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A，B，C，女同学分别记为X，Y，Z．
从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：
{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，
{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15个．……………4分
（Ⅰ）设“选出的2人都是女同学”为事件M，
则事件M包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共3个，
所以，事件M发生的概率．……………………………………8分
（Ⅱ）事件N包含的基本事件有
{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6个，
所以，事件N发生的概率．……………………………………13分
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
因为底面是正方形，
所以∥．
又因为平面，平面，
所以∥平面．
又因为四点共面，且平面平面，
所以∥．……………………5分
（Ⅱ）在正方形中，．
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面．
又平面
所以．
由（Ⅰ）可知∥，
又因为∥,所以∥.由点是棱中点，所以点是棱中点．
在△中，因为，所以．
又因为，所以平面．…………………………………11分
（Ⅲ）不存在．…………………………………………………………14分
19.（本小题满分13分）
解：
函数的定义域：
.
.
（Ⅰ）当时，.
.
有，即切点（1,3），
.
所以曲线在点处切线方程是，
即.………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）若，.
.
令，得（舍），.
－
＋
↘
极小值
↗
则.
所以函数不存在零点.………………………………………………………8分
（Ⅲ）.
当，即时，
－
＋
↘
极小值
↗
当，即时，
＋
－
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
当，即时，
＋
＋
↗
↗
当，即时，
＋
－
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
综上，当时，的单调增区间是;减区间是.
当时，的单调增区间是,;减区间是.
当时，的单调增区间是;
当时，的单调增区间是，;
减区间是.……………………………13分
20.（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）由题意可知，，所以．
所以．所以椭圆的离心率为．…………………………3分
（Ⅱ）若切线的斜率不存在，则．
在中令得．
不妨设，则．所以．
同理，当时，也有．
若切线的斜率存在，设，依题意，即．
由，得．显然．
设，,则，．
所以.
所以
．
所以．
综上所述，总有成立．………………………………………………9分
（Ⅲ）因为直线与圆相切，则圆半径即为的高.
当的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知．则.
当的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，
．
所以
（当且仅当时，等号成立）．
所以．此时,.
综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．…………14分
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