圆的导学案622.docx

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圆的导学案622

24.1小结复习

学习目标：

1巩固圆中相关概念，进一步体会知识之间的联系。

2熟练应用知识解决相关问题。

3培养合作交流的意识。

重点：

巩固圆中相关概念，进一步体会知识之间的联系。

难点：

熟练应用知识解决相关问题。

课前复习：

1、在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；

2、连接圆上任意两点的线段叫_______；经过圆心的弦叫______;圆上任意两点间的部分叫_______;大于半圆的弧叫_______;小于半圆的弧叫_______.

3、圆是一个特殊的图形，它既是一个____对称图形，又是一个____对称图形。

4、垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

推论：

（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦，所对弦的弦心距；

6、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有组相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

7、圆心角定理:

。

8、圆周角定理：

。

9、

（1）同弧或等弧所对的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧；

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是；

（3）如果三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是。

课前预习

1如图。

在半径为5的⊙O中，如果弦AB的长为8，那么它的弦心距为（）

2如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E,且AB=8cm,AC=6cm,那么，⊙O的半径OA的长为（）

3如图，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中正确的是（）

ACD⊥ABB∠AOB=4∠ACDC弧AD=弧BDDPO=PD

4如图，在⊙O中∠B=37º，则劣弧AB的度数为（）

5如图，圆心角∠AOB=100º，则圆周角∠ACB=（）

6如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15º，则∠BAD=（）

7下列命题中，假命题是（）

A两条弧的长度相等，它们是等弧B等弧所对的圆周角相等C直径所对的圆周角是90ºD一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍。

课堂练习：

一选择题答案：

C

例1：

（2008襄樊市）如图6，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，求∠AOB的度数．

答案.

答案：

例2：

例2：

AB是半圆O的直径，C、D是半径OA、OB的中点且OA⊥CE、OB⊥DE，求证

=

=

小结与反思：

24.2.1点和圆的位置关系

学习目标：

1、理解点和圆的三种位置关系的判定，会解释“不在同一条直线的三个点确定一个圆”，了解反证法，了解三角形的外接圆、外心、圆的内接三角形等概念。

2、掌握过不在同一条直线的三个点的作圆方法，提高画图识图能力和严谨的数学思维能力。

3、培养合作交流意识，体会数形结合思想的应用。

重点：

点和圆的三种位置关系的判定及应用；

难点：

经过三点的圆的两种情况

课前预习：

1、点和圆的三种位置关系是_______________________

2、⊙O的半径为5cm,A为任意一点，

（1）OA=6cm则A与⊙O位置关系为___________；

（2）OA=5cm，则A与⊙O位置关系为_________；3）OA=2cm，则A与⊙O位置关系为________.

3、⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，

（1）若点P在圆外，则__________；

（2）若点P在圆上，则______________；（3）若点P在圆内，则___________.

4、判断：

（1）经过三点一定可以作圆；（）

（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；

（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；

5、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的_______，外接圆的圆心是三角形的___________________的交点，叫做这个三角形的__________.

一、创境激趣

爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。

他们把圆形靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离圆圈的圆心越近，谁就胜。

这合理吗？

温故：

1、给圆用两种定义方法下定义

动态定义：

。

静态定义：

。

知新：

1、自学教材第90页———第92页推论前内容，尝试自主解决以下问题：

（1）、思考平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？

各部分的点与圆有什么共同特征？

2、量一量

（1）、利用圆规画一个⊙O，使⊙O的半径r=3cm.

（2）、在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系？

若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆

dr；点P在圆

dr；点P在圆

dr。

3、圆的集合定义（集合的观点）

圆是到定点距离定长的点的集合.圆的内部是到的点的集合；

圆的外部是的点的集合。

二、自主探究

探究

（一）：

作经过已知点A的圆，这样的圆你能作出多少个？

作图：

探究

（二）：

作经过已知点A、B的圆，这样的圆你能作出多少个？

它们的圆心分布有什么特点？

（思路分析：

作圆的关键是确定圆心和半径.）

作图：

探究（三）：

1、经过三个点一定能作出一个圆吗？

_____________________________

2、要经过不在同一直线上的三点作一个圆，如何确定这个圆的圆心？

（思路分析：

圆心到这三个点的距离相等，找圆心只需找到这三个点距离相等的点，

即三角形的三条线段垂直平分线的交点.）

作图：

归纳：

（1）、_________________________确定一个圆.

（2）、经过三角形的三个顶点可以做一个圆，并且只能画一个圆，这个圆叫做．

（3）、外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的．

（4）、三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的距离相等。

探究（四）：

经过同一直线的三个点能作出一个圆吗？

（1）、阅读教材第92页：

用反证法证明“经过同一直线的三个点不能作圆”.

（2）、试着归纳反证法的一般步骤

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（3）、用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”

证明过程：

三、能力提升

例1:

已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米

（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

例2:

某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

四、小结与反思

24.2.2直线和圆的位置关系

第一课时直线和圆的位置关系

学习目标：

1、了解直线和圆的三种位置关系，理解直线和圆的位置关系的判定方法.

2、利用直线和圆的位置关系的判定方法解决有关问题，提高分析问题、解决问题的能力.

3、培养合作交流意识，体会数形结合思想的应用.

重点：

直线和圆的位置关系的判定方法及应用

难点：

直线和圆的位置关系的特征和识别方法及应用

课前预习：

1、

（1）、直线与圆没有公共点，则这条直线和圆_____________.

（2）、直线与圆有唯一一个公共点，则这条直线和圆_________,这条直线叫做圆的_________.

（3）、直线与圆有两个公共点，则这条直线和圆_____________,这条直线叫做圆的_________.

2、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d

（1）若直线和圆相离，则____________;若_______________,则直线和圆相离.

（2）若直线和圆相切，则____________;若_______________,则直线和圆相切.

（3）若直线和圆相交，则____________;若_______________,则直线和圆相交.

3、已知圆的半径为8cm，如果一条直线到圆心的距离分别为

（1）7cm

（2）8cm（3）9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系分别为

（1）_________

（2）___________（3）__________.

4、直线到圆心的距离为5，圆的半径为r,直线与圆的位置关系

（1）相离，则r__________.

（2）相切，则r__________.（3）相交，则r__________.

一、创境激趣

在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？

如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？

交流：

___________________________________________________________________

二、自主探究（自学教材P93---P96观察讨论:

当直线与圆相离、相切、相交时，圆心到直线的距离d与半径r有何关系？

）

探究

（一）、根据直线与圆的公共点的个数定义直线与圆的三种位置关系：

（定义）

相离：

_________________________________________________________________________

相切：

_________________________________________________________________________

相交：

_________________________________________________________________________

探究

（二）、根据直线到圆心的距离与半径的关系判定直线与圆的位置关系

1、观察直线与圆的三种位置关系中直线到圆心的距离与半径的关系.（性质）

（1）、直线与圆O相交<=>dr

（2）、直线l与圆O相切<=>dr

（3）、直线l与圆O相离<=>dr

2、交流：

根据直线到圆心的距离与半径的关系判定直线与圆的位置关系。

（1）、根据定义，由直线与圆的公共点的来判断；

（2）、根据性质，由来判断。

三、能力提升

例1:

⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为m，若直线与圆的位置关系

（1）相离，则m____________;

（2）相切，则m____________;（3）相交，则m____________;

例2：

如图，已知Rt△ABC的斜边AB=10cm，AC=6cm．

（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？

为什么？

（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？

四、小结与反思

第二课时圆的切线的判定定理

学习目标：

1、理解并掌握切线的判定，并会用它们解决有关问题；

2、掌握切线的判定应用，提高分析问题和解决问题的能力；

3、培养画图和识图能力及严谨的数学说理能力.

重点：

在理解圆的切线的定义的基础上，了解判定圆的切线的三种方法。

难点：

能运用切线判定定理解答一些有关的问题，并能正确的添加辅助线。

课前预习：

1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的______________.

2、如图，A为⊙0上一点，且OA=3,AB=4,OB=5,求证:

AB是⊙O的切线.

（思路分析：

利用圆的切线的判定定理）

一、创境激趣

1、下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出，水珠是顺着什么样的方向飞出的？

2、行驶中的火车，火车的车轮与笔直的铁轨给我们什么形象？

3、思考:

直线和圆的位置关系?

如何判定直线和圆的位置关系?

二、自主探究

探究

（一）：

此图表达了直线和圆的什么位置关系?

通过上节课的学习，我们知道直线和圆有三种不同的位置关系：

、、。

其中相切应是关注的重点。

当直线和圆有唯一的公共点时，叫做直线和圆相切.此时，直线叫做圆的切线，这种位置关系具有一条重要的性质，即“直线l和⊙O相切<=>”。

这就是说，如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切、反之，也成立。

因此，在⊙O中，经过半径OA的外端A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离等于半径r，故l必和⊙O相切。

这一事实就是下面的定理：

圆的切线的判定定理：

。

探究

（二）：

在圆的切线的判定定理中，题设为和，

结论为。

其中哪两个条件缺一不可，否则就不是圆切线了。

你能用反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线吗？

三、能力提升

（1）题目中“半径”已有，只需证“垂直”即可得直线与圆相切。

例1．已知：

如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在

圆上，∠CAB＝30°，求证：

DC是⊙O的切线。

（2）题目中“垂直”已有，只需证“距离等于半径”，即可得直线与圆相切。

（圆的切线判定定理）

例2．已知：

如图,⊙O的半径为4cm，OA⊥OB，OC⊥AB于C，OB＝4   cm，

OA＝2   cm，求证：

AB与⊙O相切。

（3）题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有明确显示出来，就必须先添加辅助线“垂直”，再证“距离等于半径”。

例3．如图,△ABC内接于⊙O，∠B＝∠C，小圆与AB相切，求证：

AC为小圆的切线。

小结：

1、要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法：

方法1：

和圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

（圆切线的定义，不常用）

方法2：

和圆心距离d等于圆的半径r的直线是圆的切线。

（直线l和⊙O相切<=>d＝r）

方法3：

过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线。

（圆的切线判定定理）

2、在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以下两种情况：

（1）、如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这点的半径，并证明直线与这条半径垂直。

（2）、若已知直线和圆的公共点没有确定，这时应过圆心作已知直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。

四、小结与反思

第三课时圆的切线的性质定理

学习目标：

1.了解反证法，能用反证法证明切线的性质定理。

2.会用切线的性质定理解决实际问题。

3、培养严谨的数学说理能力和合作交流的能力。

重点：

熟练应用切线的性质解决有关问题。

难点：

切线的判定与性质的综合应用。

课前练习：

1、圆的切线的性质：

____________________________________________________________

2、如图，PA切⊙O与A，⊙O的半径为3cm，OP=6cm，求PA的长与∠P的度数.

一、自主探究

切线的判定：

1、直线与圆交点的个数：

只有交点。

2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即。

3、经过半径外端且垂直于的直线是圆的切线。

探究

（一）：

将上述判定1、2反过来，结论是否还成立呢？

由此得到圆的切线的性质：

性质1：

圆的切线与圆只有一个交点。

性质2：

切线与圆心的距离等于半径。

探究

（二）：

如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线L是不是垂直呢？

（分析：

假设OA与L不垂直，过点作OM⊥L，垂足为M。

根据，有OM﹤OA，这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA，于是直线L就要与圆，而这与直线L是圆O的切线相矛盾。

因此，OA与直线L垂直。

）

由此得到圆的切线性质3：

圆的切线垂直于过切点的半径。

（圆的切线的性质定理）

探究（三）：

你能用反证法证明圆的切线的性质定理？

二、能力提升

例1：

如图，PA、PB切⊙0于点A、B,点C是⊙0上一点，且∠ACB=65°，求∠P的度数.

例2：

如图AB为⊙0直径，AD是弦，∠DAB=22.5°,延长AB到点C，使得∠ACD=45°

（1）求证：

CD是⊙O的切线

（2）若AB=2

，求BC的长

三、小结与反思

切线的判定与性质（三）——习题课

学习目标：

1、熟练掌握切线的判定与性质综合应用.

2、熟练应用切线的判定与性质，注重对基础知识和基本技能的掌握.

3、培养严谨的数学说理能力和合作交流的能力.

重点：

熟练应用切线的判定与性质解决有关问题

难点：

切线的判定与性质的综合应用

一、课前练习：

1、判断：

（1）、和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（　　　）　　　

（2）、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.（）

（3）、过半径外端的直线是圆的切线.（　　　）　　

（4）、垂直于半径的直线是圆的切线.（　　　）　

2、如图

（1）、PA、PB切⊙0于点A、B,点C是⊙0上的一点，且∠ACB=65°,则∠P=______

3、如图

（2），PA切⊙0于点A，PA=

cm，∠APO=30°,则PO的长为____________

4、若⊙0的两条平行切线间的距离为8，则⊙0的半径=____________

5、Rt△ABC的斜边AB为4，直角边AC=2，若AB与⊙C相切，则⊙0的半径为____________

6、等腰△ABC的腰AB=AC=4cm,若以A为圆心，2cm为半径的圆与BC相切，则∠BAC的度数为___________.

7、如图（3）是一张电脑光盘的表面，两个圆心都是O，大圆的弦AB所在直线是小圆的切线，切点为C，大圆的半径为5，小圆的半径为1，则弦AB的长度是________________

二、能力提升：

例1：

如图，AO是△ABC的中线，⊙0与AB边相切于点D.

（1）、要使⊙0与AC边也相切，应增加条件_______________（任写一个）；

（2）、增加条件后，证明⊙0与AC边也相切.

例2：

如图，AB是⊙0的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙0于点C，⊙0的半径为3，∠APO=30°。

（1）求∠CBA的度数

（2）求PC的长

例3：

已知△ABC内接于⊙0，点D在OC的延长线上，∠B=∠CAD=30°.

求证：

AD是⊙0的切线.

例4：

如图，A、O、B三点共线，BC是⊙0的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：

DC是⊙0的切线.

三、小结与反思