结晶学及矿物学.docx
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结晶学及矿物学
结晶学
课程简介：
结晶学：
以晶体为研究对象，主要研究晶体的对称规律。
研究的是晶体的共同规律，不涉及到具体的晶体种类。
第一章晶体
晶体（远古年代的定义：
自发形成规则形态的物体；
现代的定义：
内部结构具有周期重复性，即具有
格子构造的物体。
）
格子构造（晶体结构的周期重复规律，这种规律是可以
用格子状的图形－空间格子表示的。
）
空间格子（表示晶体结构周期重复规律的简单几何图形
要画出空间格子，就一定要找出相当点。
）
相当点（两个条件：
1、性质相同，2、周围环境相同。
）
导出空间格子的方法：
首先在晶体结构中找出相当点，再将相当点按照一定的规律连接起来就形成了空间格子。
相当点（两个条件：
1、性质相同，2、周围环境相同。
）
空间格子的要素：
★结点:
空间格子中的点,代表具体晶体结构中的相当点.
★行列:
结点在直线上的排列.（引出:
结点间距）
★面网:
结点在平面上的分布.（引出:
面网间距、面网密度）
面网间距与面网密度的关系：
面网AA’间距d1面网间距依次减小,面网密度也是依次减小的.
面网BB’间距d2所以面网密度与面网间距成正比
面网CC’间距d3
面网DD’间距d4
平行六面体（晶胞）:
结点在三维空间形成的最小单位（引出:
晶胞参数：
a,b,c;α,β,γ,也称为轴长与轴角）
我们以后将会看到，平行六面体的形状一共有7种，对应有7套晶胞参数的形式，也对应7个晶系。
由晶体的格子构造会导致晶体的基本性质。
晶体的基本性质：
自限性:
晶体能够自发地生长成规则的几何多面体形态。
均一性:
同一晶体的不同部分物理化学性质完全相同。
晶体是绝对均一性，非晶体是统计的、平均近似均一性。
异向性：
同一晶体不同方向具有不同的物理性质。
例如：
蓝晶石的不同方向上硬度不同
对称性：
同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。
最小内能性：
晶体与同种物质的非晶体相比，内能最小。
稳定性：
晶体比非晶体稳定。
第二章晶体的测量与投影
一、面角守恒定律：
实际晶体形态（歪晶）：
偏离理想晶体形态。
尽管形态各不相同,看似无规,但对应的晶面面角相等,即发现“面角守恒定律”：
同种矿物的晶体，其对应晶面间角度守恒。
面角守恒定律的意义：
结晶学发展的奠基石。
二、晶体测量：
就是测量晶面之间的夹角。
注意：
晶面夹角与面角（晶面法线的夹角）的区别！
它们之间的关系为互补的关系。
通常都用面角（晶面法线的夹角）
三、晶体的投影：
将晶面的空间分布转化为平面图.
（一）极射赤平投影：
投影的原理及过程：
投影球、投影面（赤平面）、投影轴,北极点与南极点（目测点）。
具体投影过程为：
即将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。
1、晶面的球面投影：
将晶面转化为球面上的点：
晶面的方位就可用球面上点的纬度与经度来测量,我们用方位角与极距角来表征。
重点要掌握方位角与极距角的含义!
2、极射赤平投影：
将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
这样，晶体上所有晶面的分布规律就反映在赤平面上的对应点的分布规律。
（对于晶体上的对称面我们通常不将之转化为点，而是直接投影成一条弧线。
）
3、吴氏网：
用来进行极射赤平投影的工具。
吴氏网的组成：
基圆、直径、大圆弧、小圆弧
水平大圆的投影形成基圆，直立大圆的投影形成直径
倾斜大圆的投影形成大圆弧
直立小圆的投影形成小圆弧
吴氏网是一个平面网，但要把它看成是一个空间的球体，网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角，所以，只要知道方位角与极距角，就可以用吴氏网进行投影。
晶体的上述投影过程可借用吴氏网很方便地进行，下面举例说明。
1、已知晶面的球面坐标（方位角与极距角），作晶面的投影。
2、已知两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
第三章晶体的宏观对称
一、对称的概念
对称就是物体相同部分有规律的重复。
二、晶体对称的特点
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重复，因此，所有的晶体结构都是对称的。
2）晶体的对称受格子构造规律的限制，因此，晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称定律”。
3）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质。
由以上可见:
格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。
三、晶体的宏观对称要素对称操作
使对称图形中相同部分重复的操作，叫对称操作。
在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面），称为对称要素。
晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称操作如下：
☆对称面—P操作为反映。
可以有多个对称面存在，如3P、6P等.
☆对称轴—Ln操作为旋转。
其中n代表轴次，意指旋转360度相同部分重复的次数。
旋转一次的角度为基转角，关系为：
n=360/。
晶体的对称定律：
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n=1，2，3，4，6这五种，不可能出现n=5，n>6的情况。
为什么呢？
1、直观形象的理解：
垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。
☆对称中心—C操作为反伸。
只可能在晶体中心，只可能一个。
（总结：
凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平行、同形等大。
）
☆旋转反伸轴–Lin操作为旋转+反伸的复合操作。
（这个书上有图）
•值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，
Li6=L3+P
•但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。
这是因为Li4不能被代替，Li6在晶体对称分类中有特殊意义。
但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误认为L2。
我们不能用L2代替Li4，就像我们不能用L2代替L4一样。
因为L4高于L2，Li4也高于L2。
在晶体模型上找对称要素，一定要找出最高的。
四、对称要素的组合
定理1：
LnL2LnnL2（L2与L2的夹角是Ln基转角的一半）
逆定理：
L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍。
并导出n个在垂直Ln平面内的L2。
例如:
L4L2L44L2,L3L2L33L2
定理2：
LnPLnPC（n为偶数）
逆定理：
LnCLnPC（n为偶数）
PCL2PC
这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。
因为偶次轴包含L2。
定理3：
LnP//LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）；
逆定理：
两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P夹角的两倍，并导出n个包含Ln的P。
（定理3与定理2对应）
定理4：
LinP//=LinL2Linn/2L2n/2P//（n为偶数）
LinnL2nP//（n为奇数）
五、32个对称型（点群）及其推导
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型或点群。
一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。
为什么叫点群？
因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。
那么，这32个对称型怎么推导出来？
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导：
1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6。
2）对称轴与对称轴的组合。
在这里我们只考虑Ln与垂直它的L2的组合。
根据上节所述对称要素组合规律LnL2→LnnL2，可能的对称型为：
（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2
如果L2与Ln斜交有可能
出现多于一个的高次轴，
这时就不属于A类对称型了。
3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。
根据组合规律Ln（偶次）P⊥→Ln（偶次）PC，则可能的对称型为：
（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。
根据组合规律LnP∥→LnnP，可能的对称型为：
（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。
5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。
垂直Ln的P与包含Ln的P的交线必为垂直Ln的L2，即LnP⊥P∥=LnP⊥P∥=LnnL2（n+1）P（C）（C只在有偶次轴垂直P的情况下产生），可能的对称型为：
（L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。
6）旋转反伸轴单独存在。
可能的对称型为：
Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合。
根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：
（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；当n为偶数时Lin（n/2）L2（n/2）P，可能的对称型为：
（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
还有五个是B类推导。
六、晶体的对称分类
1、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-4。
这个表非常重要，一定要熟记。
从这个表可知有7个晶系，在第一章我们已经知道有7种空间格子形式，对应7个晶系。
请同学们思考：
由对称形式可以划出7个晶系，由空间格子形式也可以划出7个晶系，两种方法怎么统一？
（实际上，一个是从宏观的，另一个是从微观的。
）
2、功能晶体材料的划分，见表3-5。
3、在自然界出现概率的划分，见表3-6。
通过对比表3－5与表3－6，可知，自然界出现概率高的是一些对称程度高的晶体，而功能晶体材料要求是一些对称程度低的。
所以需要人工晶体。
七、五次对称轴、二十面体与准晶
这部分内容只要求大概了解。
当球体（原子、离子）堆积时，形成二十面体最稳定，但二十面体上有五次轴，不能在晶体结构中出现，所以当晶体进一步长大后，晶体结构就不得不放弃二十面体结构。
但在准晶体中有二十面体结构，在生物界也有二十面体结构，所以，准晶为生物界与非生物界架起一座桥梁。
第四章晶体的定向与结晶符号
一、晶体定向的方法
以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成（对三方晶系与六方晶系）.
选晶轴的原则:
1）与晶体的对称特点相符合（既一般都以对称要素作晶轴，要么对称轴，要么对称面法线）;
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度.
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法也不同,见表4-1（此表非常重要，要熟记）.
请注意:
在晶体的宏观形态上根据对称特点选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空间格子的三个不共面的行列方向是一致的.
为什么?
因为空间格子中三个不共面的行列也是根据晶体的对称性,人为地画出来的.而晶轴也是根据晶体的对称性,人为地选出来的.晶体的内部对称与晶体的宏观对称是一致的,所以晶轴与三个行列就是一致的.
在三个行列上有晶胞参数（a,b,c;α,β,γ）,这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以知道轴单位之间的比值关系,即：
a:
b:
c
例如,等轴晶系的a:
b:
c=?
四方晶系的a:
b:
c=?
我们将a:
b:
c称为轴率,α,β,γ称轴角,轴率与轴角统称晶体常数.见表4－1.表中列出的是晶体常数特点.因为根据晶体的宏观形态只能定出晶体常数特点,不能定出晶体常数.
举例：
在模型上定出晶体常数特点：
等轴、四方、斜方
二、对称型的国际符号
对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对称要素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方向性,3）但它不容易看懂.
特点是:
凡是可以派生出来的对称要素都省略了.
对称轴以1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔开，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示（由此可以看出，对称中心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C）。
具体的写法为:
设置三个序号位（最多只有三个）,每个序号位中规定了写什么方向上的对称要素（序号位与方向对应，这是国际符号的最主要的特色）,对称意义完全相同的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个就行了（简化，这是国际符号的另一特色）.
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定不要弄混淆.
每个晶系的国际符号写法见表4－2（此表很重要，要熟记！
）.
小鱼提醒：
表4-2和图4-2都很重要
三、晶面符号与晶棱符号
晶体定向后,晶面在空间的相对位置就可以根据它与晶轴的关系来确定,表示晶面空间方位的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:
晶面在三根晶轴上的截距系数的倒数比，用小括号括起来。
举例:
某晶面在X,Y,Z轴上的截距为2a,3b,6c,那么截距系数为2,3,6,倒数为1/2,1/3,1/6,化简以后的倒数比为3:
2:
1,写做（321）,这就是该晶面的米氏符号.
注意：
三个晶轴上的轴单位不一定相等，所以，截距系数与截距不一定成正比。
通常用（hkl）表示.h,k,l叫晶面指数.
但对于三方,六方晶系来说,可以用四轴定向,要用四个晶面指数h,ki,l,晶面符号为（hkil）,前面三个指数的代数和等于0.例如:
（1120）（1011）等。
在晶体模型上怎么写晶面符号?
因为我们并不知道晶面截晶轴的截距系数,但我们可以知道截距大小相对关系.
例如:
（示范模型）:
八面体（111）、四方双锥（hhl）斜方双锥（hkl）
2.晶棱符号:
为直线符号,表示这一直线的方向即可.方法为:
将晶棱（或其他直线）移至经过晶体中心（即坐标原点）,然后在直线上任取一点,该点在三根晶轴上的坐标系数比值写进方括号即可:
[rst]
举例:
立方体、八面体垂直晶面的直线符号分别:
[100],[111]
四、整数定律与晶带定律
1.整数定律
晶面指数为简单整数.
为什么?
因为指数越简单的晶面对应到内部结构是面网密度大的面网,而面网密度大的面网容易形成晶面（因为能量低容易形成晶面）,所实际晶体上的晶面就是晶面指数简单的晶面.
2.晶带定律:
晶带:
交棱相互平行的一组晶面.
晶带轴:
移至过晶体中心的一条交棱。
晶带符号：
交棱的晶棱符号.
举例:
立方体,菱形十二面体
晶体上的晶面是以晶带的形式发育的.
晶带定律:
任两晶带（晶棱）相交可决定一可能晶面,任两晶面相交可决定一可能晶带（晶棱）.
第五章单形和聚形
一、单形
1.单形的概念:
是由对称要素联系起来的一组晶面的组合。
也就是说，单形是一个晶体上能够由该晶体的所有对称要素操作而使它们相互重复的一组晶面。
在理想的情况下，同一单形内的晶面应该同形等大。
例如：
立方体、八面体、菱形十二面体和四角三八面体都是单形。
这四个单形形状完全不同，但对称型是一样的。
即对称型一样的晶体，形态可以完全不同。
这是因为晶面与对称要素的关系不同。
2．单形的推导
可以在对称型中假设一个原始晶面，通过对称操作的作用而得到其它晶面，这些晶面共同组成一个单形，这就是单形的推导。
3．单形符号
首先复习晶面符号（请同学们回忆晶面符号的写法）.
如果是几个晶面共同组成一个单形，则这几个晶面的晶面符号具有某种相似性，这样，我们可以选择同一单形内的某一个晶面作为代表，用其符号表示该单形的符号。
代表晶面应选择单形中正指数为最多的晶面，也即选择第一象限内的晶面，在此前提下，要求尽可能使│h│≥│k│≥│l│，即尽可能靠近前面，其次靠近右边，再次靠近上边。
例如:
八面体{111}、立方体{100}、六八面体{321}、四方柱{110}（模型示范）
二、结晶单形与几何单形
一个对称型最多能导出7种单形（例如上述mm2只推导出5个单形），对32种对称型逐一进行推导，最终将导出结晶学上146种不同的单形，称为结晶单形。
在这146种结晶单形中，还有许多几何形状是相同的，如下图的5个立方体。
如果将形状相同的归为一个单形，则146种结晶单形可以归纳为47种几何单形。
47种几何单形见图4-7。
一些重点单形要记住！
记住一些单形名称的方法:
1、面类等轴晶系：
2、柱类1、四面体组
3、单锥类2、八面体组
4、双锥类3、立方体组
5、面体类
6、偏方面体类
三、单形的分类
对于单形还可根据形态特点进行如下分类：
特殊形和一般形：
根据单形晶面与对称型中对称要素的相对位置可以将单形划分成一般形和特殊形。
一般形的形号都为{hkl}或{hkil}。
每个对称型只有一个一般形,属于同一对称型的晶体归为一个晶类,晶类的名称以一般形来命名（如表3-4）.一般形的原始晶面位置都在最小重复单位的中央.
开形和闭形：
根据单形的晶面是否可以自相闭合来划分。
左形和右形：
形态完全类同，在空间的取向上正好彼此相反的两个形体，可用对称面使彼此重合。
例如：
三方偏方面体。
但请注意:
左形与右形不仅针对几何单形而言,也针对结晶单形的,有的单形在几何形态上看不出左右形,但内部结构的对称性可以有左右形之分.
凡是属于只有对称轴,无对称面和对称中心的对称型的晶体,不管几何形态如何,其晶体内部结构和物理性质都有左右形之分.
例如：
石英（对称型为32）是有左右形之分的，石英发育六方柱，这个六方柱的外形是看不出左右形的，但这个六方柱也是有左右形之分的。
六方柱左右型石英晶型
正形和负形：
取向不同的两个相同单形，相互之间能够借助于旋转操作彼此重合。
例如：
五角十二面体、四面体。
定形和变形：
一种单形其晶面间的角度为恒定者，称定形；反之，称变形。
凡单形符号为数字的，一定是定形，凡单形符号是字母的，一定是变形。
四、聚形
两个以上的单形聚合在一起，这些单形共同圈闭的空间外形形成聚形。
单形的相聚不是任意的，必须是具有相同对称性的单形才能相聚在一起；换句话说，聚形的必要条件是组成聚形的各个单形都必须属于同一对称型（这里的对称型是指结晶单形的对称型）。
因此，在表5－1至表5－7列出的146种结晶单形中，一个对称型下列的那些单形可以相聚。
聚形分析：
应该首先确定晶体所属的对称型；然后确定晶体上晶面种类个数，在理想情况下，属于同一单形的各晶面一定同形等大，不同单形的晶面，则形态、大小、性质等也不完全相同;再逐一考察每一组同形等大的晶面的几何关系特征，确定各单形名称及形号。
注意：
单形的晶面在聚形里可以变得面目全非，例如：
立方体晶面不一定是正方形，八面体的晶面不一定是三角形，等等。
第七章晶体内部结构的微观对称
前面几章我们学习了晶体宏观对称理论,本章将从宏观进入微观,探讨晶体结构内部微观对称.要注意宏观与微观的对比.
四个方面的内容：
一、十四种空间格子－－晶体结构中的周期性平移对称；
二、内部对称要素－－宏观对称要素与平移对称结合产生的内部结构特有的对称要素；
三、空间群－－与宏观晶体的点群对应；
四、等效点系－－与宏观晶体的单形对应。
一、十四种空间格子（十四种布拉维格子）
1．平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点（相当点）的分布是客观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
平行六面体的选择原则如下：
1）所选取的平行六面体应能反映结点分布整体所固有的对称性；
2）在上述前提下，所选取的平行六面体中棱与棱之间的直角关系力求最多；
3）在满足以上二条件的基础上，所选取的平行六面体的体积力求最小。
下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：
4mm
2mm
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则是一致的（回忆晶体定向原则？
），也就是说，我们在宏观晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的行列。
2．各晶系平行六面体的形状和大小
平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、b、c及棱间的夹角（轴角）、、表征。
这组参数（a、b、c；、、）即为晶胞参数.
在晶体宏观形态我们可以得到各晶系的晶体常数特点，是根据晶轴对称特点得出的.宏观上的晶体常数与微观的晶胞参数是对应的,但微观的晶体结构中我们可以得到晶胞参数的具体数值。
3．平行六面体中结点的分布（即格子类型）
1）原始格子（P）：
结点分布于平行六面体的八个角顶上。
2）底心格子（C、A、B）：
结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。
3）体心格子（I）：
结点分布于平行六面体的角顶和体中心。
4）面心格子（F）：
结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。
（书上有图）
其中底心、体心、面心格子称带心的格子，我们在前面画格子的例子中已经知道有带心格子的存在，这是因为有些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出原始格子，只能画出带心的格子。
4．十四种布拉维格子
七个晶系---七套晶体常数—七种平行六面体种形状。
每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因此,只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。
（A.Bravais于1848年最先推导出来的）
举例说明：
1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子；
2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点，则完全不符合等轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立方底心格子。
还应指出的是：
对于三、六方晶系的四轴定向也可转换成三轴定向，变为菱面体格子。
我们一般都用四轴定向。
另外，六方原始格子为六方柱的顶底面加心，不要误认为六方底心格子。
十四种空间格子见表7-1。
二、晶体内部结构的对称要素
研究空间格子仅仅是研究了晶体结构的平移对称性,除了平移对称外,晶体结构还有与宏观形态上一样的旋转,反映对称.并且这些旋转、反映操作与平移操作复合起来就会产生内部结构特有的一些对称要素：
1．平移轴
为一直线，图形沿此直线移动一定距离，可使相等部分重合，晶体结构中任一行列都是平移轴。
举例：
2．螺旋轴
为一条假想直线，当结构围绕此直线旋转一定角度，并平行此直线移动一定距离后，结构中的每一质点都与其相同的质点重合。
举例：
规定：
41为右旋，43则为左旋。
但43右旋时移距应为3/4T。
即螺旋轴的国际符号ns是以右旋为准的。
凡0
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