四边形的中点专题.docx
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四边形的中点专题
四边形的中点专题
四边形的中点专题
1..如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF丄DE与BC延长线
交于点F.连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.
（1）
若BF=BD=2，求BE的长；
（2）若M是EF中点，求证：
MC垂直平分DB
（1）解：
•••四边形ABCDE方形，
•••/BCD=90，
•••Rt△BCD中,BC2CD2BD2，
22
即BC222•BC=AB=1
TDF丄DE,ADEyEDC=90=ZEDCkCDF
•/ADEyCDF
ADECDF
在^ADE?
3CDF中，ADCD，
ADCF90
•△ADE^ACDF（ASA，
-——2
•AE=CF=BF-BC=21•BE=AB-AE=1-1.2=2
1
（2）证明：
如图：
连接DMBMTDF丄DEM为EF中点，•DM=EF,
2vZEBF=90，M为EF中点，•BM」EF,：
BM=DM
2
•M在BD的垂直平分线上
vBC=CD,.C在BD的垂直平分线上
•MC垂直平分DB
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线
丄AC于点E,求证：
AD=2OE
证明：
取CD的中点F,连接EF,OF
v四边形ABCD是平行四边形，
•AO=CO
VDEIAC••/DEC=90
•••EF=FC
VCD//AB
•••/CAB2DCA=x.
•••/FECKDCE=x.
•••/DACKFOC=2x.
•••/FEOKEFO=x
•••OE=OF
AD=2OE
3.在平行四边形ABC冲，对角线相交于点O.E、F、P分别OBOCAD的中点,且AC=2AB求证：
EP=EF
证明：
连接AE,V四边形ABCD是平行四边形
3题
•••AD=BCAC=2OA=2OC：
AC=2AB
•••OA=ABVE为OB中点,
•••AE!
BD（三线合一定理），
•••KAED=90,vP为AD中点,
•••AD=2EpvBC=AD•-BC=2EP
vE、F分别是OBOC中点，•BC=2EF•EP=EF
4.如图，点E为正方形ABCD外一点，/BCEKBAE=15,AE=T3,O为BD的中
点，连接OE,求OE的长。
解：
连接BD,v四边形ABCDE方形,
VO为BD的中点•BD进过点O,
vKBCEKBAE=15
•KAECKABC=90
KBAC=45
D
•••/EAC=60
/.AC=2,3
/.OE=1AC=.3
2
5.如图，在菱形ABCD中，对角线ACBD相交于O,AO=BD,E为AO的中点,连
接BE,F、G分别是BEAD的中点，连接FG证明：
取CD的中点H,连接GEHF、GH.在菱形ABCD中，对角线ACBD相交于O
•••ACLBD,•••/AOBHAOD=90
•••AO=BD丘为AO的中点
•••OE=OB=OD,
•••F、G分别是BEAD的中点
•••GE/OD,GE=O.5DO,HFBO,HF=O.5BO
•••GE/HF,GE=HF
•••四边形GEHF是平行四边形
•••HG/EF,HG=EF
•••/GHEMOEB=45
•••/GHO=135
•••/GEOMAOD=90
•••/GEF=135
GE
OH
在厶GEF?
3GHg
GHOGEF,
EF
GH
•••△GEE^AGHO（SAS,
•••FG=OG6.已知，矩形ABC冲，延长BC至E,使BE=BDF为DE的中点，连结AF.
（1）若AB=3AD=4,求DE的长;
（2）求证：
/ADB=ZDAF
解：
（1）v因为四边形ABCD是矩形
•••BC=AD=,CD=AB=3
在Rt△ABD中,BD=；4232=5•••BE=BD=5,CE=BE-BC=1：
DE=32
（2）连接BF、CF.vBE=BDEF=DF
/DBF2EBF又tCF=—DE=DF
2
/DCFMFDCZADCyCDFMBCD#DCF
即/ADF=BC又tAD=BC
△ADF^ABCF••/DAF#FBC二/DBE「AD//BC2
•••#ADB#DBE・#ADB=2/DAF
7.在平行四边形ABC呼,DB丄AO于点O,E为AB的中点，OD=BE,
#EDB=22.5,求#BDCI的度数凭&C
解：
连接OE,在平行四边形ABCD中,DB丄AO于点O/\\
・•・#AOB=90,tE为AB的中点,二Oe=ABE=BE
tOD=BE・,・・OD=OE
・•・#EDB#DEO=22.5,/.#EOB=45
・•・#AOE=45
・•・#OAB#OBA=45
•/CD/AB
・•・/BDChABO=45
8.在平行四边形ABC冲,/CAB=NDACDF丄AB于F,交AC于E.AF=3,DF=4,
求：
EC的长
解：
取EC的中点G连接DG.
•••四边形ABCD是平行四边形，
•••CD//AB
•••/CAB=/DCA=x.
•••/DAC=2x.
•••DF丄AB
•••/DFB=90
•••AB=3242=5
•••/EDC=90•••DG=GC=EG•••/GDCMDCG=x
•••/DGA=2x
•••/DGAMDAG
AD=DG=5
•••EC=10
9.如图，点E为正方形ABCD的BC边上任意的中点,连接FABF.
（1）求证：
AF=BF.
证明：
连接CF.V四边形ABCDE方形,
（2）若/FBE=30,BE=4求SABF
・•・/DCB=90二/ADC,AD=BC
•••F为DE的中点
・•・DF=FC
・•・/FDCMCFB
・•・/ADEMBCF
ADBC
在厶ADF^3BCF中,ADEBCF,
DFCF
•△ADF^ABCF（SAS,
•FA=BF
（2）作EG!
BF于G/.ZEG90•//FBE=30,BE=4/GE=2
BG=23
/ABE=60,AF=BF：
AABF是等边△，二BF=BC,/-ZBFC=BCF=67.5
/FEC=FCE=67.5,/ZGFEZFEG=45,/GF=GE=2
•/BF=22.3
•/SAbf=3BF2=3223=126.3
44
10..如图，在正方形ABCD中,DG=HC连接AGF,O是AC的中点,连接OEOF
（1）求证：
DE=CF.
⑵求：
ZAEO勺度数
证明：
在正方形ABC冲
/AD=DC,ZADGZDCH=90
在厶ADGF3DCH中,
ADDC
ADG
DGCH
DCH,
/•ZCDAZDAG
vZADE-ZDAE=90
/ZADE-ZDAE=90
/ZADE=90
/CF丄DH
/ZDCF=90
在厶ADEffiADCF中,
ADDC
AED
DAE
DFC
CDF
ADE^ADCF
/DE=CF.
⑵连接DO••/ADC=90,AO=-COr.DO=CO,DQAC••/DOC=90
•••△ADE^ADCF./ADE玄DCF./CDF"FCH••/CDOMACB=45
•••/ODE"OCF=45-/CDF=45-/FCH
ODOC
在^ADE?
3DCF中,DECF
ODEOCF
•••△ODE^OCF
f/DOE"COD
f/EOF=90fOE=OF
f/OEF=45
f/AEO=45
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