判断矩阵的合同与相似.docx
《判断矩阵的合同与相似.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《判断矩阵的合同与相似.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
判断矩阵的合同与相似
判断矩阵的合同与相似
篇一：
矩阵的合同与相似及其等价条件
矩阵的相似与合同及其等价条件研究
（数学与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：
王晶晶
引言
矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.
1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念
矩阵等价的定义[1]
定义如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的.
由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：
定义如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的.
根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：
定义设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQB,则称矩阵A与B等价，记作A∽B.矩阵相似的定义[2]
定义设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P，使得
P1APB,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A～B.
n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:
性质反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似.性质对称性，即如果A～B，则B～A.性质传递性，如果A～B，B～C，则A～C.
性质P1（k1A1k2A2）Pk1P1APk2A2P.（k,k是任意常数）
12
性质P1（A1A2）P（P1A1P）（P1A2P）.
性质若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.（m为正整数）证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP可以得到Am与相Bm相似.
性质如果矩阵A、B都是满秩，则A～B，那么B～A.证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP故可以得到B～A.
性质如果矩阵A～B，那么AB.
证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，又因为P1APB，P1P1，故可以得到AB.
性质相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.
证明设BP1AP，若矩阵B可逆，B1P1AP也相似.
若B不可逆，则P1AP不可逆，即A也不可逆.
性质相似矩阵有相同的特征值.
证明设BP1AP，EBP1EPP1AP
1
1
1
1
m
BmP1AmP，故
1
B1P1A1P。
1
P1A1P，从而B1和A1
P1EAPEA
故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值.
性质相似矩阵有相同的迹.
证明可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P,使得P1APB。
trBtrP1AP
trP1PA
trA
2030
例1A，B0302，求分别求矩阵A、B的特征多项式，特征值秩,
迹，行列式，矩阵A与B是否相似，它们之间有什么关系？
解从已知可知A
20XX
6，Rank（A）2,tr（A）5
对于A的特征多项式EA故A的特征值为2和3.
对于矩阵B,B
3002
2
3
（2）（3）
6，Rank（B）2,tr（B）5
矩阵B的特征多项式B
3
00
（2）（3）.2
故矩阵B的特征值是2和3.
011
PAPB，从定义矩阵B与矩阵A相似.存在一个可逆矩阵P使得10
从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].
124
例2设实数域上的3级实对称矩阵A242，对角矩阵
421500
B050.求矩阵A、B的特征值，特征多项式并且矩阵A与矩阵B相似吗？
如
004果相似求出可逆矩阵P.
1
解由矩阵A的特征多项式为2
4
2421
1
20
24
4
2422101
1
242
20
4
（5）2（4）故矩阵A的特征值为5和—4.
容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同。
1
5525故矩阵B的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P,P50
4
152
15153
231323
验证得到P1APB，那么矩阵A与矩阵B相似，它们有相同的特征值和特征多项式.矩阵合同的定义[2]
定义设A，B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得CTACB，则称A与B合同，记作AB.
n阶矩阵的合同关系具有下列性质：
⑴反身性:
即任一n级矩阵与自身合同.⑵对称性:
即如A与B合同，则B与A合同.
⑶传递性:
A与B合同，B与C合同，则A与C合同.⑷合同的两矩阵有相同的二次型标准型.⑸任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.
⑹两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.
2.合同矩阵与相似矩阵的关系
矩阵的相似与合同的相同点[5].
⑴从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.
⑵相似、合同矩阵均有相同的秩.
（A）Rank（B），若矩阵A合同于矩阵B，则若矩阵A相似与矩阵B，则Rank
Rank（A）Rank（B）.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.
⑶相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.
若矩阵A于矩阵B相似，则要求A、B都是方阵；若A合同与B，则要求A、B都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵.矩阵的相似与合同的不同点[5].
矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A～B，则AB，A与B有相同的特征值.但若AB，那么A与B的行列式的值不一定相等；A与B也不一定有相同的特征值.
2
222
1
例1设A254,T
2450
245445545
13100
2,B010,30010
2
3
不难验证：
TTATB，有AB.
我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T为正交矩阵，故A～B，矩阵A的行列式可以等于B的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.
121410
例2A，，BC2341202.
经过验证可以知道A1，B4，然而CTACB，AB，可以得到矩阵A合同于B，但是行列式可以不等.
我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式.我们设A～B，则有可逆矩阵P，使得BP1AP，于是
EBEP1APP1（E）PP1AP
1
=P（EA）P
篇二：
矩阵间合同、等价、相似的联系与区别
学号：
矩阵间合同、等价、相似的联系与区别
20XX年05月
矩阵间等价、合同、相似的联系与区别
xxxX
摘要本文将要分三个步骤来逐步深入的探究矩阵间的三种关系及区别：
首先，简要介绍矩阵作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础学科的重要性,以及这一学科知识的理论性及应用性的特点；其次，简要介绍矩阵的概念及基本运算，给出矩阵的秩和逆的解法；最后，给出矩阵等价、合同、相似的定义，根据定义分析三者之间的联系与区别，并进一步给出具体例子使同学们有更加深刻的印象，组织学习小组联系实际自主学习将书面知识向实际能力转化，以自主创新的态度来对待生活中的难题,形成新思维使我们在未来学习工作中越走越顺.
关键词矩阵、矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同
Theconnectionanddistinctionamongthreerelationshipsofmatrices
thoseareequivalent,contract,similar
ZhuYan
（CollegeofMathematicsandInformationScience,HenanNormalUniversity,XinxiangHenan453007,China）
AbstractThepaperisdividedintothreestepstograduallyin-depthexplorationofthreekindsofrelationshipsamongmatricesandthesedifferences:
First,wehavebrieflyintroducedtheimportanceofthematrixasaprofessionalbasisdisciplineinNormalCollegesandAppliedMathematicsinthepaper,meanwhile,wehaveintroducedtheknowledgeofthisdisciplineincludedit’stheoryandapplicationcharacteristics;Second,wehavebrieflyintroducedtheconceptsandbasicoperationsofthematrixinthepaperthenthesolutionofthequestionabouttherankofthematrixandtheinversearegiveninthepaper;Finally,wehaveintroduceddefinitionsofthematrix’sequivalent,contractandsimilarinthispaper,then,accordingtothedefinitionweanalysethecontactanddistinctionamongthoserelationships,andfurtheroffersspecificexamplestoanalyse,sothatstudentswillhaveamoreprofoundimpression.Organizedstudygroupspracticeself-learningandtransformingthewrittenknowledgetotheactualabilityofindependentinnovationattitudetodealwiththeproblemsinlife,theformationofnewthinkingtomakeourfuturestudyandworkfartherandShun.
Keywordsmatrix;matrixcontract;matrixequivalent;matrixsimilarity
目录
前言11矩阵的简介1
矩阵的简介1
矩阵的运算
矩阵乘积的行列式与秩
矩阵的逆2矩阵间的三种关系
矩阵的等价
矩阵的合同
矩阵的相似3矩阵的等价、合同、相似之间的联系与区别
矩阵间等价、相似、合同之间的联系
矩阵的等价、相似、合同之间的区别4总结参考文献致谢
2678899111113141617
前言
随着科技的高速发展，数学在生产生活中的应用愈加宽广和深入，其中在经济方面尤为突出，马克思曾说过:
“一门学科只有成功地应用了数学时,才真正达到了完善的地步”.矩阵的作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础内容,是高等代数的中心内容,同时也是数学科学联系实际的主要桥梁之一.矩阵既是高等代数这一门数学专业课的重要内容,也是理、工科高等数学的基础,随着我国科技进步和现代化建设的飞速发展,医、农、工以至经济等社会科学各专业学生和工作人员,也越来越需要掌握它的基本理论与方法了.矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（由深圳域提出）等等.“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵.矩阵就是可以将多个变量放在矩阵中，然后通过具体数据和关系构建矩阵方程，这在数学建模中很重要，可以解决许多实际问题.本文将对矩阵的合同、矩阵的相似及矩阵的等价，这三类矩阵之间的关系就能行了解和探讨，并总结这三者的联系与区别.1矩阵的简介
矩阵的简介
矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方.在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵.这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.1812年柯西引入矩阵概念以来,矩阵理论已成为数学发展中的一个重要分支,既是学习经典数学的基础,又是一门最有实用价值的数学理论,并且已成为现代科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具.《线性代数》作为高等院校理工科学生必修的一门科目而矩阵在线性代数中处于核心地位.
由参考文献[1]、[2]我们看到，在线性方程组的讨论中，线性方程组的
一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有
关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.
用大写的拉丁字母A,B,，或者aij,bij,来表示矩阵.有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把sn矩阵写成Asn,Bsn,，或者aijsn,bijsn,（注意矩阵符号与行列式的符号的区别）.
设Aaijmn,bijlk，如果ml,nk，且aijbij，对i1,2,,m;j1,2,,n都成立，我们就说AB.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.
矩阵的运算
现在来定义矩阵的运算，以下定义在参考文献[3]—[6]中均有出现,这些运算是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.
为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.
1.加法
定义1设
a11a12a1na22a2naAaijsn21
as1as2asn
是两个sn矩阵，则矩阵
Ccijsnaijbijsnb11b12b1nb21b22b2n,Bbijsnbs1bs2bsn
a11b11a12b12a1nb1na22b22a2nb2nab2121abas2bs2asnbsns1s1
称为A和B的和，记为
CAB.
相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加，也就是数的加法，所以它有
篇三：
矩阵的等价,合同,相似的联系与区别
目录
摘要...............................................................................................................I引言................................................................................................................11矩阵间的三种关系.......................................................................................矩阵的等价关系........................................................................................矩阵的合同关系......................................................................................矩阵的相似关系.......................................................................................22矩阵的等价、合同和相似之间的联系........................................................33矩阵的等价、合同和相似之间的区别.........................................................5结束语............................................................................................................6参考文献.........................................................................................................6
摘要:
等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举
足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．
关键词:
矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件
引言：
在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.
1矩阵间的三种关系
矩阵的等价关系
定义1两个sn矩阵A,B等价的充要条件为：
存在可逆的s阶矩阵p与可逆的
n阶矩阵Q，使BPAQ
由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件：
（1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.
（2）存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使得BPAQ.
性质1
（1）反身性：
即AA.
（2）对称性：
若AB，则BA
（3）传递性：
即若AB，BC，则AC
定理1若A为mn矩阵，且r（A）r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和
Ir
Q（n阶），使得PAQ
0
0
B.其中Ir为r阶单位矩阵.0mn
推论1设A、B是两mn矩阵，则AB当且仅当r（A）r（B）.矩阵的合同关系
定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵
p
使得PTAPB,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩
阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：
（1）矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵.
（2）存在数域p上的n阶矩阵p,PTAPB
性质2
（1）反身性：
任意矩阵A都与自身合同.
（2）对称性：
如果B与A合同，那么A也与B合同.
（3）传递性：
如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：
合同矩阵的秩等.
定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
定理3复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：
22
fy12y2yr
矩阵的相似关系
定义3设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P1APB,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与
B
为正交相似矩阵）
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件
（1）矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵
（2）在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P1APB
性质3
（1）反身性AETAE;
（2）对称性由BCTAC即得AC1BC1;
（3）传递性A1C1TAC1和A2C2TA1C2即得A2C1C2AC1C2
总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
（4）P（k1A1k2A2）Pk1PA1Pk2PA2P（其中k1,k2是任意常数）；（5）P（A1A2）P（PA1P）（PA2P）；
（6）若A与B相似，则Am与Bm相似（m为正整数）；
（7）相似矩阵有相同的秩，而且，如果BPAP为满秩矩阵，那么
B
1
1
T
T
111
111
（PAP）
11
PAP.
11
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
（8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果BP1AP，则有：
BP1APP1APA
（9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设BP1AP，若B可逆，则B1（P1AP）1PA1P1从而A可逆.且B1
与A1相似.
若B不可逆，则（P1
AP）不可逆，即A也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理
定理4相似矩阵的特征值相同.
推论3相似矩阵有相同的迹.
2矩阵的等价、合同和相似之间的联系
（1）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系
定理5相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．
证明：
设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1，使得
P1
1AP1B
此时若记PP11,QP1,则有PAQB,因此由定义1得到n阶方阵
A,B等价
反过来，对于矩阵A1001
21
0
0,B等价，但是A与B并不相似。
0
0
即等价矩阵未必相似．
定理6对于n阶方阵A,B，若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQB,（即A与B等价），且PQ
升级会员 