基于力的梁柱单元一致质量矩阵和集中质量矩阵docx.docx

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摘要

对于传统的基于位移的有限元梁-柱单元，其位移插值函数不能有效描述单元内部的位移变化，在处理变截面梁时有着本质的缺陷，一般的解决方法是加密网格，但这样会导致计算量迅速增大。

基于力的梁-柱单元由于使用的力插值函数不受截面形状变化的影响，在处理变截面梁时有很大优势，但是基于力的梁-柱单元没有使用位移插值函数，因此不能直接得到单元一致质量矩阵;另外，在使用显式积分方法时，需要使用集中质量矩阵，对于梁-柱单元集中质量矩阵通常情况是忽略转角项，有时会造成较大误差，所以有必要对梁-柱单元一致质量矩阵和集中质量矩阵的建立方法进行研究。

主要内容包括以下几个方面：

1.基于虚功原理，推导了考虑剪切变形的基于力的梁-柱单元刚度矩阵，利用算例验证了该单元刚度矩阵的正确性。

2.考虑转动惯量的影响，建立了基于力的梁-柱单元的一致质量矩阵，并进行了算例分析，结果表明本文建立的一致质量矩阵具有较高的准确性。

3.考虑不同的边界条件，给出了欧拉梁单元集中质量矩阵转角项的最优值，算例结果表明利用本文给出的建议值可以得到较为准确的自振频率。

关键词：

基于力的有限元；梁单元；单元刚度矩阵；一致质量矩阵；集中质量矩阵

Abstract

Thetraditionaldisplacement-basedbeam-columnfiniteelement,whoseinterpolationfunctionscannoteffectivelyrepresenttheinteriordisplacementofelement,hasessentialdrawbackforvariablecross-sectionbeam.Onegeneralmethodtosolvethisproblemistousemoreelementsbutthecomputationalcostwillbecomehighrapidly.Theforce-basedbeam-columnfiniteelement,whichusesforceinterpolationfunctionsthatdonotdependoncross-section,hasmanymerits.Thiselementcannotgettheconsistentmassmatrixdirectlybecausenoexplicitdisplacementinterpolationfunctionsareadopted.Thelumpedmassmatrixisneededfortheexplicitfiniteelementintegrationmethod.Therotationalcomponentofthelumpedmassmatrixisusuallyneglected,whichcancausegreaterrorsometimes.Soitisnecessarytostudythemethodsofformulationofconsistentmassmatrixandlumpedmassmatrixforbeam-columnelement.Themaincontentsofthisstudyconsistofthefollowing:

1.Basedontheprincipleofvirtualwork,theelementstiffnessmatrixconsisderingsheardeformationisderived.Severalexamplesareusedtovalidatetheaccuracyofthestiffnessmatrix.

2.Theconsistentmassmatrixofforce-basedbeam-columnfiniteelementconsisderingmomentofinertiaisformulated.Theaccuracyandefficiencyofthemassmatrixisverifiedbyexamples.

3.TheoptimalrotationalcomponentispresentedforelementlumpedmassmatrixofEulerbeamelementcorrespondingtodifferentboundaryconditions.Moreaccuratenaturalfrequencyofvibrationcanbeobtainedthroughthepresentedlumpedmassmatrix.

Keywordsforce-basedfinitemethod;beamelement;elementstifinessmatrix;

consistentmassmatrix;lumpedmassmatrix

摘要I

AbstractII

第1章绪论1

1.1课题背景和意义1

1.2基于力的梁-柱单元国内外研究现状3

1.2.1基于力的梁-柱单元国外研究3

1.2.2基于力的梁-柱单元国内研究4

1.3梁-柱单元集中质量矩阵的国内外研究现状5

1.4课题来源6

1.5本文研究的主要内容7

第2章梁-柱单元刚度矩阵的建立8

2.1引言8

2.2基础知识介绍8

2.2.1梁单元理论8

2.2.2Ansys中的梁单元简介9

2.3刚度矩阵的建立10

2.3.1坐标系统的介绍11

2.3.2力的插值函数13

2.3.3截面柔度矩阵和截面刚度矩阵14

2.3.4无刚体位移的刚度矩阵的推导15

2.3.5局部坐标系和整体坐标系下的单元刚度矩阵16

2.4算例验证17

2.5本章小结21

第3章一致质量矩阵的建立22

3.1引言22

3.2位移插值函数的推导22

3.2.1变形体的虚功原理22

3.2.2梁的横向位移和轴向位移23

3.2.3位移插值函数26

3.3一致质量矩阵的建立28

3.4算例验证29

3.5本章小结32

第4章集中质量矩阵的建立34

4.1引言34

4.2质量离散产生的误差34

4.3最优转角项系数37

4.3.1悬臂梁最优转角项系数38

4.3.2简支梁最优转角项系数41

4.3.3振型对最优转角系数取值的影响43

4.4本章小结45

结论与展望46

参考文献48

哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明53

哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书53

致谢54

第1章绪论

1.1课题背景和意义

梁和柱是建筑中最常用的构件形式，广泛应用于框架结构中。

在历次人类经历的大地震中，柱的破坏和梁柱节点的破坏都较为严重。

在过去几十年来，人们对于梁-柱单元进行了广泛的研究，例如Clough和Penzien[1],Chopra[2]等对等截面梁的研究，Wk和Petrangeli[4]对曲梁和梁单元材料非线性的研究。

梁-柱单元的精确程度是对结构反应模拟的一个重要方面，因此，对于梁-柱单元的研究具有重要的实际意义和理论意义。

有限单元法是近几十年来随着电子计算机的广泛应用而产生的一种近似求解一般连续体问题的数值方法，有限单元法在土木、机械和航天等工程领域有着广泛的应用。

其理论基础是加权余量法和变分原理。

就是从变分原理出发，通过分区差值，把二次泛函的极值问题转化为一组线性代数方程的求解，首先将结构分解为用有限数目的参数来描述的单元，然后通过一个适当的过程，将各个单元的关系式集合成一组方程，用来解出这些未知数⑸。

梁-柱单元的有限元方法就是将整个结构离散为有限个梁-柱单元，然后再通过一定的组装原则进行整体分析。

对于梁柱单元内部的位移，通过一系列的插值函数用单元节点的参数表示。

有限单元方法根据插值函数的不同可以分为：

基于位移插值函数的有限单元法⑹（也经常称为刚度法）、基于力插值函数的有限元方法[7】（也经常称为柔度法）、混合有限单元法[8】。

以上三种方法中以第一种方法的研究最为深入，应用也最为广泛。

传统基于位移的有限元：

在建立梁单元时，使用事先给定且形状固定不变的位移插值函数来确定单元内部的位移变化。

通常采用一次多项式构造轴向位移场，通过Hermitian三次多项式构造横向位移场。

由于位移插值函数与几何相容方程结合可以得到单元内部任一点的应变与单元节点变形之间的关系，所以此种方法建立有限元公式的实质是首先使单元的几何相容条件得到满足。

但是当梁进入高度非线性阶段时，传统基于位移的有限元就遇到了问题。

由于基于位移的有限单元法的分析效率与精度在很大程度上依赖于单元位移插值函数假定的准确程度，当构件进入较强的非线性阶段后，尤其对于钢筋混凝土构件，其变形就不是简单地使用一次多项式构造轴向位移插值函数和Hermitian三次多项式构造横向位移插值函数所能表示的了，此时已进入高度非线性，需要更高次的插值函数插值出内部位移，但又很难用一个简单且形式固定的插值函数来描述，由于基于位移的有限元其出发点就是位移插值函数，所以当假设的位移插值函数出现较大误差时，后续的力的计算结果也就很难保证其正确性了，因而当结构出于高度非线性时基于位移的有限元方法果并不理想。

另外一种情况，当遇到变截面梁和变材料特性梁时，基于位移的有限元也遇到了上述问题，即一次插值函数和Hermitian三次插值函数已不能精确描述位移场网，此时的位移场是近似的，表现为将实际物体离散成有限个单元时实际位移变化与用位移插值函数表示的单元内部位移场不相符。

由于提出的位移场不准确，最终会导致后续的单元刚度矩阵和单元质量矩阵均出现误差，而计算出的结果也会不准确。

针对以上两种情况，传统的基于位移的有限元在解决这些问题时，一种很直观的想法便是加密网格、细分单元，理论上当结构离散为无限个单元后计算出的结果也就是真实解。

但是这会导致另一个问题，当网格不断加密单元数目不断增多的时候会导致计算机的计算量迅速增大，而在分析大型结构的时候，以现有的计算机硬件水平显然很难到达这一要求。

在有限元发展的过程中，针对基于位移有限元的缺点，一些学者提出了基于力的有限元。

基于力的有限元的基本思路是先通过力的平衡条件求出单元内部的力场，然后通过本构关系得出单元内部位移场，然后再利用传统的基于位移的有限元方法进行后续的计算。

这里需要指出的是，基于力的有限元得出的位移插值函数和基于位移的有限元得出的插值函数是不同的，基于位移的有限元插值函数有时候与单元实际位移情况不同，如上文中提到的几种情况。

但是，基于力的有限元的插值函数是通过单元内部力的平衡得出的，而力的平衡无论在线弹性阶段还是高度非线性阶段都是满足的，和单元的截面形式也无关，因而只要材料本构关系正确，由此得出的单元内部位移场也是精确的。

基于力的有限元在建立位移插值函数的过程中与截面形状和单元所处的状态无关，这样可以针对性的解决了基于位移的有限元所遇到的两个问题。

目前基于位移的梁单元是通过位移插值函数得到刚度矩阵和一致质量矩阵，但是该位移插值函数不能有效地描述梁截面变化情况，从而使基于位移插值函数的到的刚度矩阵和一致质量矩阵不准确。

基于力的梁单元由于采用力插值函数，不能直接得到一致质量矩阵。

对于梁单元集中质量矩阵，国内外的研究大都忽略转角项,当构件发生较大转动时会造成很大误差。

本文从基于力的有限元出发，得出了梁单元的刚度矩阵和质量矩阵，该刚度矩阵和质量矩阵可以应用于任何变截面梁，另外,对梁单元集中质量矩阵的转角项进行了研究。

1.2基于力的梁-柱单元国内外研究现状

1.2.1基于力的梁-柱单元国外研究

卞学争黄［1。

］将有限元方法根据假设条件的不同可以分为协调元、平衡元、杂交元和混合元等。

在1960前，结构和固体有限元法都以单元节点位移为未知数。

大部分的刚度矩阵的建立方法是根据两种单变量变分原理。

一个是根据势能原理的协调元，其中假定位移需要满足单元内和单元之间的协调。

另一个是根据余能原理的平衡元，假定应力需要满足单元内部和单元间力的平衡。

杂交元是假定单元内部应力平衡和单元之间边界位移协调。

协调元、平衡元和杂交元都是以节点位移为未知数。

混合元则是以节点力和节点位移同为未知数。

本文研究的基于力的梁-柱单元即为平衡元。

目前大多数有限梁单元的公式建立时采用基于位移相容的方法（DisplacementCompatibilityBasedMethod）。

该方法的主要特点是使用事先给定的且形状固定的位移形状函数确定单元内部位移场。

一般的做法是采用拉格朗日一次插值函数构造轴向位移场，Hermitian三次插值函数构造横向位移场。

位移形状函数与几何方程结合可以得到单元内部任一点的应变与单元节点变形之间的关系，所以用基于位移相容的方法建立有限元公式的实质是事先规定单元的位移变化模式。

基于力的梁单元是先根据平衡条件建立力的插值函数，然后由梁截面特性得到位移变化模式。

基于力的有限元，无论在弹性还是弹塑性阶段单元内部力的插值函数总能得到满足。

Veubeke^］首先在1965年提出基于力的有限元元这一概念，使用力的插值函数确保单元内部平衡。

Backlund［⑵在1976年提出一种混合单元来分析分析框架结构的大变形问题，这种方法同时使用了力插值函数和位移插值函数，严格说来是一种混合有限元法。

Mahin和Zeris［13-14］等人进行了后续的有关研究究和不断改进，最终将这种基于力的有限元并入基于位移法有限元编制的通用有限元分析程序。

1991年加州伯克利的Filippou和TauceJ"］在一篇报告中详细的介绍了如何应用基于力的有限单元法来分析梁-柱单元的地震反应。

Spacone和Filippou®i8］进行了一系列的研究，Filippou在1996年提出了基于力的梁柱单元纤维模型，将基于力的有限元应用于钢筋混凝土框架结构的分析中，并取得了较好的效果。

1998年Neuenhofer和Filippou"】提出一种完全基于力的梁-柱单元来分析平面框架的几何非线性，采用力插值函数推导单元柔度矩阵。

在梁-柱单元的动力特性的研究中，刚度矩阵和质量矩阵是其中的重要方面。

在以前的基于力的有限元中应用的梁单元都是Bernoulli-Euler梁，1998年Molins［20］采用精确的力的插值函数，提出三维空间变截面梁的刚度矩阵和一致质量矩阵的一种建立方法；Souzas在Molins［20］的基础上针对其由于节点编号的改变而导致的数值积分结果改变的情况于2003年提出了平面Timoshenko梁的一致质量矩阵建立的一种方法。

122基于力的梁-柱单元国内研究

国内的关于基于位移的有限元梁-柱单元的研究比较多，刘瑞岩四在1983年给出了全耦合梁单元的一致质量矩阵，利用位移插值函数推导出了考虑剪切变形时空间Timoshenko梁单元的一直质量矩阵，考虑了纵向，扭转和弯曲振动之间的全部耦合效应。

夏桂云囚］从深梁的广义位移理论出发，利用解析试函数直接建立深梁单元横向位移、转角、剪切应变的插值函数，进而导出单元考虑剪切的线弹性刚度矩阵、一致质量矩阵和几何刚度矩阵。

基于力的有限元在国内应用较多，但研究较少，重庆大学陈滔［24-26］在其博士论文中将基于位移法和基于力的有限元进行比较，并用基于力的有限元用于钢筋混凝土框架三维非弹性地震反映分析，这是国内学者对基于力的梁-柱单元的一个较好的研究工作。

刘坤bl在2008年对基于力的梁单元的几何非线性问题进行研究，提出了一种应用线性插值法插值曲率场构造位移场的方法。

李爽冈在2009年提出了一种变截面的平面Bernoulli-Euler梁一致质量矩阵的建立方法，与Molins和Filippou的方法相比，Molins和Filippou通过虚功原理对两端固结梁进行推导，过程比较繁琐，而李爽囹利用虚力原理对简支梁分析得到质量矩阵,此方法具有明确的力学意义且过程比较简单。

在基于力的梁-柱单元质量矩阵的推导过程中，由于在推导位移插值函数的不同而产生了不同的方法，复杂的推导过程如文献［20］和文献［21］,而文献［9］的推导过程相对简单，本文在文献［9］的基础上考虑剪切变形和转动惯量的影响，建立刚度矩阵和质量矩阵。

1.3梁-柱单元集中质量矩阵的国内外研究现状

在进行动力分析时，计算结构的自振频率是主要工作之一。

现阶段，在进行模态分析时一般采用两种形式的质量矩阵：

即一致质量矩阵和集中质量矩阵。

在对大型结构进行动力分析时，计算工作量是不得不考虑的一个因素，适当的质量矩阵形式对于计算结果的精确性和可靠性是必不可少的。

一致质量矩阵是一种很好的形式，一致质量矩阵在非对角线上也有非零元素，能够很好的表示惯性力之间的耦合作用。

但是在对大型结构进行动力分析时，由于自由度较多，用一致质量矩阵需要比集中质量矩阵更多的计算量。

当使用集中质量矩阵时，不仅能减少计算工作量，而且还能减少存储空间，简化编程程序，另外，在显式算法和隐式算法中，集中质量矩阵都有重要应用。

由一致质量矩阵获得集中质量矩阵的方法一般包括三种：

行（列）相加法，对角项系数法，节点数值积分法。

集中质量矩阵的建立肯定会产生单元信息和计算

精度的损失，因此集中质

量矩阵的建立有一个明确的目标：

将精度的损失降到最小。

针对这一问题国内外学者进行了大量研究，如Shen[28-29]对采用行相加法得到的集中质量矩阵对收敛速率和精度损失进行了一系列研究，国内有一些学者对两种形式的质量矩阵进行了比较，如汪梦甫Do】，臣建民DU,车书汶Hl,上述方法主要是针对只具有平动自由度的单元，对于同时具有平动和转动自由度的梁和板单元，都是忽略转角自由度，即将转动对应的项设置为零。

Hinton[33]在1976年利用对角项系数法，忽略非对角项系数提出HRZ方法，得到转角项元素为PAZ3/78OPark[34]从离散的傅里叶分析得到了转角项的元素为PA13/105oArcher[35]利用达朗贝尔原理从刚体的虚功原理出发提出RC方法，得出转角项-PA/3/12；Archer将HRZ方法RC方法得到的转角项进行平均得转角项-IIPA/3/156,通过计算前8阶频率发现-IIPA/3/156可以获得更好的计算结果。

Hansson[36]将一致质量矩阵和集中质量矩阵进行组合得到组合质量矩阵，与单独运用集中质量矩阵和一致质量矩阵相比，组合质量矩阵在求自振频率时精度更高。

以上的转角项都是针对低阶或高阶自振频率提出来的，具有局限性，只是针对某一些自振频率计算结果比较准确，从第四章的分析中我们可以看到，要想使求得的自振频率具有较高精度，该转角项应该是一个随网格划分和所关心的自振频率阶数而变化的一个量。

1.4课题来源

本课题由国家自然科学基金重大研究计划项目“基于最不利设计地震动的超高层建筑灾变全过程与机理研究（90815014）”、“强震作用下填充墙RC框架结构有限元数值模拟及协同工作研究（51078117）”和中国博士后科学基金“建筑结构地震反应分析的元胞自动机与有限元耦合计算方法（20100471019）”资助。

1.5本文研究的主要内容

基于力的有限元相对于基于位移的有限元在国内外研究比较晚，前者应用的也不如后者广泛。

但前者在解决高度非线性和变截面和复合材料问题中有较明显的优势。

本论文主要在已有关于Bemoulli-Euler梁研究的基础上加入剪切变形和弯曲转动惯量，建立了梁-柱单元刚度矩阵和质量矩阵，主要内容包括如下：

⑴给出了建立基于力的梁-柱单元刚度矩阵的方法，建立了考虑剪切变形的梁单元刚度矩阵。

（2）考虑弯曲转动惯量，给出了获得一致质量矩阵的方法，进行算例验证。

（3）考虑不同的边界条件，给出了欧拉梁集中质量矩阵转角项的最优值。

第2章单元刚度矩阵的建立

2.1引言

梁-柱单元在工程中有着广泛的应用，其力学分析属于结构力学范畴。

对于一般几何形状的构件，即使限于弹性分析，要获得它的解析解也是很困难的。

而对于梁-柱单元，由于它们在几何上具有一个方向的尺度要比其它方向大得多的特点，在分析中可以在其变形和应力方面引入一定的假设，从而方便问题的求解。

目前，国内对梁-柱单元刚度矩阵的研究主要是针对基于位移有限元的梁单元，大都是在经典梁的基础上引入剪切变形，如周世军和朱悉s利用最小势能原理，导出了梁单元考虑剪切变形的三次位移模式，在此基础上推导出了单元刚度矩阵，但是此刚度矩阵只使用于等截面。

张元海网提出了一个变截面平面梁单元，但是对于基于力的有限元梁单元研究的不多，陈滔丽和李爽凹对Bernoulli-Euler梁进行过一定的论述，但均未涉及梁的剪切变形，本章将在Bernoulli-Euler梁的基础上加入剪切变形，得到考虑剪切变形的刚度矩阵。

刚度矩阵无论在静力还是动力分析中都是必不可少的，因而在这一章将进行基于力的有限梁单元刚度矩阵的推导。

2.2基础知识介绍

2.2.1梁单元理论

许多学者对梁理论问题进行了许多的研究。

实际上，梁单元的是一种简化的模型，是把弹性理论的三维问题转换为一维问题钏］。

一般梁的截面尺寸远小于长度的尺寸，因此可以近似认为位移、应力和应变是根据长度的尺寸分布的。

由于各种近似方法的差异，产生了不同的梁的理论。

（1）Bernoulli-Euler梁理论

18世纪，经由Euler和Bernoulli在理论上不断推进，建立了Bernoulli-Euler梁理论。

Bemoulli-Euler梁的基本假设是1）忽略剪切变形的影响，在变形过程中横截面始终保持平面并垂直于形心轴2）变形前垂直梁形心轴的平剖面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）。

Bernoulli-Euler梁的假设非常简单，被称为初等假设，在工程中得到了广泛的应用，在一定程度上解决了很多实际问题。

（2）Timoshenko梁理论

Timoshenko梁理论对于梁的变形作如下的假设：

在变形前垂直于梁形心轴的横截面，在变形后仍保持为平面，但不再假设它一定垂直变形后的形心轴，而是产生了一个转角。

这个理论同时考虑了梁的弯曲变形引起的转动惯量和梁的剪切变形，这个理论大大改善了以往梁的动力学理论。

在模态阶数不是很高时，即使不是细长的情况下，它的动力参数的精度也得到了很好的改善，因此Timoshenko梁理论也被广泛的运用到了很多实际工程中。

2.2.2Ansys中的梁单元简介

在进行算例分析时，用到Ansys软件进行数值计算与本文所开发的单元进行对比。

Ansys是融结构、流体、电磁场、声场和热场分析与一体的大型通用有限元分析软件，可广泛应用于土木、地质、矿业、材料、机械、仪器仪表、热工、电子、水利、生物医学和原子能等工程的分析和科学研究。

本文中用到Ansys的等截面和变截面梁单元，因此在下面对软件中的梁单元进行一定的介绍，Ansys中梁单元分为多种单元，分别具有不同的特性，是一种轴向拉压、弯曲、扭转的单元。

Ansys中对于梁单元的使用有其自己的规定性叫

（1）梁单元的面积和长度不能为