弹塑性力学-02(张量初步).ppt

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1,张量,指标符号与张量运算,为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。

这里作一简介指标符号与求和约定,张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。

例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中都有9个分量。

张量可以用指标符号来简洁地表示，指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量可以记为：

2,张量,其中是应力张量的名称，9个分量都用同一名称；右下角的i和j称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以取值为1或2或3。

当式中的i和j相互独立地分别1，2，3取时可以得到9种排列，于是用一个符号就全面地表示了应力张量的9个分量。

通常约定：

在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的“下指标”；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希腊字母表示。

按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的指标不再用括号加注取值范围。

3,张量,指标分两类：

哑指标和自由指标。

在表达式或方程的某项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标，简称哑标。

哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦（EinsteinA.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内遍历求和。

例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：

引进对哑标的求和约定代替叠加号,除哑标外，在表达式或方程的某项中非成对出现（即出现一次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。

例如，采用哑标后，线性变换写成,4,张量,再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：

这里是哑标，是自由指标。

自由指标可以轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。

5,张量,每个自由指标代表一个方向性：

当它取值1或2或3时，分别代表该方向性在x或y或z方向上的分量。

当i分别取1,2,3时，给出三个分量方程。

若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具有两个或多个方向性,两个自由指标，表示应力是二阶张量。

哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。

6,张量,哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。

只要指标仍是哑标且取值范围和相同,自由指标仅表示要在取值范围内轮流取值，因此也可以换标,合理选择指标和及时进行换标是熟练应用指标符号的关键，应用时应该遵循如下原则：

7,张量,

（1）同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名。

例如，原来记为、和的三个矢量,满足矢量和关系,当用指标符号表示此求和关系时不能直接代入写为,而应根据“合矢量的分量等于分矢量对应分量之和”的规则把指标换成同名，写成,或,8,张量,反之，若要把曾记为和的两个矢量的分量逐个地两两相乘，则指标应及时地换成异名，写成,这样当下标和轮流取1，2，3时，共得到九个数。

如果误写为则成为矢量点积,再如：

这里用两对异名的哑标正确地表示了两个括号中相互独立的遍历求和过程。

如果误写成，则变成自由指标，失去了遍历求和的意义。

9,张量,把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读者自己判别下式中不等号的原因：

（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干项，各项间用加号、减号或等号分开。

自由指标的影响是整体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中，所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法与已换名的各项同时求同一方向上的分量。

（3）哑标的影响是局部性的，它可以只出现在方程或表达式的某一项中，所以哑标只需成对地局部换名。

表达式中不同项内的同名哑标并没有必然的联系，可以换成不同的名字，因为根据求和约定，哑标的有效范围仅限于本项。

10,张量,指标符号也适用于微分表达式。

例如，三维空间中线元长度和其分量之间的关系,多变量函数的全微分可写成,多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。

例如二重和,这里共有九项求和。

11,张量,对于不符合“成对准则”的特殊情况需要做特殊处理。

例如，若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。

或者，在多余指标下加一横，表示该多余指标不计指标数。

例如：

若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以示不计其数。

例如方程,是自由指标,12,张量,综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。

指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。

在公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来合理选择和及时更换指标的名称。

13,张量,练习：

将下面表达式按求和约定写成展开形式,14,张量,练习：

将下面表达式按求和约定写成展开形式,注意应力张量和应变张量的对称性，有,15,张量,张量运算-张量代数,相等若两个张量和相等，则对应分量相等。

以二阶张量为例：

和、差若两个同维同阶张量与之和（或差）是另一个同维同阶张量，则和（或差）的分量是两个张量的对应分量之和（或差）。

以二阶张量为例：

数积张量和一个数（或标量函数）相乘得到另一个同维同阶张量，其分量关系为,16,张量,并积两个同维同阶（或不同阶）张量A和B的并积（或称外积）T是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量，其分量由A、B两个张量的分量两两相乘而得。

以A、B分别为三阶和二阶张量为例：

其中指标的顺序不能任意调换。

缩并若高阶张量的指标符号中出现一对哑标，则该对指标就失去了方向性，张量被缩并为低二阶的新张量。

例如，三阶张量中的第一和第三指标为哑标，则它被缩并为一个矢量：

17,张量,若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。

例如，是一个保留了方向性的矢量，而上述是一个保留了方向性的矢量。

不同方向性的物理意义是不一样的,例如在应力张量中代表的是截面法线的方向,而代表的是截面上应力的分解方向。

内积并积运算加缩并运算合称为内积。

在指标符号中，内积表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例如：

18,张量,对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。

点积是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后张量B的第一指标缩并的结果，记为。

其指标符号为：

两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。

线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的特例,19,张量,转置张量指标的顺序一般不能任意调换，若将张量（指标符号为）的两个指标位置相互对换，则得到一个新张量（指标符号为），称为张量的转置张量。

若转置张量与原张量相等，即，则为对称张量。

若转置张量等于原张量的负值，即，则为反对称张量。

加法分解任意二阶张量均可唯一地分解成对称张量和反对称张量A之和：

上两式的运算也称为对称化和反对称化。

20,张量,球形张量与偏斜张量任意二阶对称张量均可分解为球形张量和偏斜张量之和：

球形张量,这里的是张量三个主对角分量之平均值；是单位张量，其三个主对角分量均为1，其他分量均为0。

偏斜张量,偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量之和为零。

21,张量,并矢量把个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个阶张量。

例如，并矢量是一个三阶张量，记为，它的指标符号表达式为：

由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序不能任意调换。

张量微积分,定义在空间域上的张量场可以用一个张量函数来表示。

该函数对坐标的导数反映了张量场的空间变化规律。

在笛卡儿直角坐标系中，沿坐标线方向的三个单位矢量是与空间点坐标无关的常量，所以笛卡儿张量的微积分可以归结为对其每个分量求导或求积。

22,张量,考虑三维空间中的张量函数,其每个分量都有三个偏导数：

可以更简洁地把偏导数记为,排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。

如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质,23,张量,作业,以指标符号表示虎克定律,以指标符号表示下列运动方程,