ACM经典算法超级大集合.docx
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ACM经典算法超级大集合
超
34.AlgorithmGossip:
Shell排序法-改良的插入排序
说明
插入排序法由未排序的后半部前端取出一个值，插入已排序前半部的适当位置，概念简单但速度不快。
排序要加快的基本原则之一，是让后一次的排序进行时，尽量利用前一次排序后的结果，以加快排序的速度，Shell排序法即是基于此一概念来改良插入排序法。
解法
Shell排序法最初是D.LShell于1959所提出，假设要排序的元素有n个，则每次进行插入排序时并不是所有的元素同时进行时，而是取一段间隔。
Shell首先将间隔设定为n/2，然后跳跃进行插入排序，再来将间隔n/4，跳跃进行排序动作，再来间隔设定为n/8、n/16，直到间隔为1之后的最后一次排序终止，由于上一次的排序动作都会将固定间隔内的元素排序好，所以当间隔越来越小时，某些元素位于正确位置的机率越高，因此最后几次的排序动作将可以大幅减低。
举个例子来说，假设有一未排序的数字如右：
8912659761812726198
数字的总数共有10个，所以第一次我们将间隔设定为10/2=5，此时我们对间隔为5的数字进行排序，如下所示：
集合问题
排列组合
格雷码（GrayCode）
产生可能的集合
m元素集合的n个元素子集
数字拆解
排序
得分排行
选择、插入、气泡排序
Shell排序法-改良的插入排序
Shaker排序法-改良的气泡排序
Heap排序法-改良的选择排序
快速排序法
（一）
快速排序法
（二）
快速排序法（三）
合并排序法
基数排序法
搜寻
循序搜寻法（使用卫兵）
二分搜寻法（搜寻原则的代表）
插补搜寻法
费氏搜寻法
矩阵
稀疏矩阵
多维矩阵转一维矩阵
上三角、下三角、对称矩阵
奇数魔方阵
4N魔方阵
2（2N+1）魔方阵
1.河内之塔
说明河内之塔（TowersofHanoi）是法国人M.Claus（Lucas）于1883年从泰国带至法国的，河内为越战时北越的首都，即现在的胡志明市；1883年法国数学家EdouardLucas曾提及这个故事，据说创世纪时Benares有一座波罗教塔，是由三支钻石棒（Pag）所支撑，开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小至大排列的金盘（Disc），并命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移至第三根石棒，且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则，若每日仅搬一个盘子，则当盘子全数搬运完毕之时，此塔将毁损，而也就是世界末日来临之时。
解法如果柱子标为ABC，要由A搬至C，在只有一个盘子时，就将它直接搬至C，当有两个盘子，就将B当作辅助柱。
如果盘数超过2个，将第三个以下的盘子遮起来，就很简单了，每次处理两个盘子，也就是：
A->B、A->C、B->C这三个步骤，而被遮住的部份，其实就是进入程式的递回处理。
事实上，若有n个盘子，则移动完毕所需之次数为2^n-1，所以当盘数为64时，则所需次数为：
264-1=184********709551615为5.05390248594782e+16年，也就是约5000世纪，如果对这数字没什幺概念，就假设每秒钟搬一个盘子好了，也要约5850亿年左右。
#include
voidhanoi（intn,charA,charB,charC）{
if（n==1）
printf（"Movesheet%dfrom%cto%c\n",n,A,C）;
else{
hanoi（n-1,A,C,B）;
printf（"Movesheet%dfrom%cto%c\n",n,A,C）;
hanoi（n-1,B,A,C）;
}
}
intmain（）{
intn;
printf（"请输入盘数：
"）;
scanf（"%d",&n）;
hanoi（n,'A','B','C'）;
return0;
}
2.AlgorithmGossip:
费式数列
说明
Fibonacci为1200年代的欧洲数学家，在他的着作中曾经提到：
「若有一只免子每个月生一只小免子，一个月后小免子也开始生产。
起初只有一只免子，一个月后就有两只免子，二个月后有三只免子，三个月后有五只免子（小免子投入生产）......。
如果不太理解这个例子的话，举个图就知道了，注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生产，类似的道理也可以用于植物的生长，这就是Fibonacci数列，一般习惯称之为费氏数列，例如以下：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89......
解法
依说明，我们可以将费氏数列定义为以下：
fn=fn-1+fn-2 ifn>1
fn=n ifn=0,1
#include
#include
#defineN20
intmain（void）{
intFib[N]={0};
inti;
Fib[0]=0;
Fib[1]=1;
for（i=2;iFib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2];
for（i=0;iprintf（"%d",Fib[i]）;
printf（"\n"）;
return0;
}
3.巴斯卡三角形
#include
#defineN12
longcombi（intn,intr）{
inti;
longp=1;
for（i=1;i<=r;i++）
p=p*（n-i+1）/i;
returnp;
}
voidpaint（）{
intn,r,t;
for（n=0;n<=N;n++）{
for（r=0;r<=n;r++）{
inti;/*排版设定开始*/
if（r==0）{
for（i=0;i<=（N-n）;i++）
printf（""）;
}else{
printf（""）;
}/*排版设定结束*/
printf（"%3d",combi（n,r））;
}
printf（"\n"）;
}
}
4.AlgorithmGossip:
三色棋
说明
三色旗的问题最早由E.W.Dijkstra所提出，他所使用的用语为DutchNationFlag（Dijkstra为荷兰人），而多数的作者则使用Three-ColorFlag来称之。
假设有一条绳子，上面有红、白、蓝三种颜色的旗子，起初绳子上的旗子颜色并没有顺序，您希望将之分类，并排列为蓝、白、红的顺序，要如何移动次数才会最少，注意您只能在绳子上进行这个动作，而且一次只能调换两个旗子。
解法
在一条绳子上移动，在程式中也就意味只能使用一个阵列，而不使用其它的阵列来作辅助，问题的解法很简单，您可以自己想像一下在移动旗子，从绳子开头进行，遇到蓝色往前移，遇到白色留在中间，遇到红色往后移，如下所示：
只是要让移动次数最少的话，就要有些技巧：
如果图中W所在的位置为白色，则W+1，表示未处理的部份移至至白色群组。
如果W部份为蓝色，则B与W的元素对调，而B与W必须各+1，表示两个群组都多了一个元素。
如果W所在的位置是红色，则将W与R交换，但R要减1，表示未处理的部份减1。
注意B、W、R并不是三色旗的个数，它们只是一个移动的指标；什幺时候移动结束呢？
一开始时未处理的R指标会是等于旗子的总数，当R的索引数减至少于W的索引数时，表示接下来的旗子就都是红色了，此时就可以结束移动，如下所示：
#include
#include
#include
#defineBLUE'b'
#defineWHITE'w'
#defineRED'r'
#defineSWAP（x,y）{chartemp;\
temp=color[x];\
color[x]=color[y];\
color[y]=temp;}
intmain（）{
charcolor[]={'r','w','b','w','w',
'b','r','b','w','r','\0'};
intwFlag=0;
intbFlag=0;
intrFlag=strlen（color）-1;
inti;
for（i=0;iprintf（"%c",color[i]）;
printf（"\n"）;
while（wFlag<=rFlag）{
if（color[wFlag]==WHITE）
wFlag++;
elseif（color[wFlag]==BLUE）{
SWAP（bFlag,wFlag）;
bFlag++;wFlag++;
}
else{
while（wFlagrFlag--;
SWAP（rFlag,wFlag）;
rFlag--;
}
}
for（i=0;iprintf（"%c",color[i]）;
printf（"\n"）;
return0;
}
5.AlgorithmGossip:
老鼠走迷官
（一）
说明老鼠走迷宫是递回求解的基本题型，我们在二维阵列中使用2表示迷宫墙壁，使用1来表示老鼠的行走路径，试以程式求出由入口至出口的路径。
解法老鼠的走法有上、左、下、右四个方向，在每前进一格之后就选一个方向前进，无法前进时退回选择下一个可前进方向，如此在阵列中依序测试四个方向，直到走到出口为止，这是递回的基本题，请直接看程式应就可以理解。
#include
#include
intvisit（int,int）;
intmaze[7][7]={{2,2,2,2,2,2,2},
{2,0,0,0,0,0,2},
{2,0,2,0,2,0,2},
{2,0,0,2,0,2,2},
{2,2,0,2,0,2,2},
{2,0,0,0,0,0,2},
{2,2,2,2,2,2,2}};
intstartI=1,startJ=1;//入口
intendI=5,endJ=5;//出口
intsuccess=0;
intmain（void）{
inti,j;
printf（"显示迷宫：
\n"）;
for（i=0;i<7;i++）{
for（j=0;j<7;j++）
if（maze[i][j]==2）
printf（"█"）;
else
printf（""）;
printf（"\n"）;
}
if（visit（startI,startJ）==0）
printf（"\n没有找到出口！
\n"）;
else{
printf（"\n显示路径：
\n"）;
for（i=0;i<7;i++）{
for（j=0;j<7;j++）{
if（maze[i][j]==2）
printf（"█"）;
elseif（maze[i][j]==1）
printf（"◇"）;
else
printf（""）;
}
printf（"\n"）;
}
}
return0;
}
intvisit（inti,intj）{
maze[i][j]=1;
if（i==endI&&j==endJ）
success=1;
if（success!
=1&&maze[i][j+1]==0）visit（i,j+1）;
if（success!
=1&&maze[i+1][j]==0）visit（i+1,j）;
if（success!
=1&&maze[i][j-1]==0）visit（i,j-1）;
if（success!
=1&&maze[i-1][j]==0）visit（i-1,j）;
if（success!
=1）
maze[i][j]=0;
returnsuccess;
}
6.AlgorithmGossip:
老鼠走迷官
（二）
说明由于迷宫的设计，老鼠走迷宫的入口至出口路径可能不只一条，如何求出所有的路径呢？
解法求所有路径看起来复杂但其实更简单，只要在老鼠走至出口时显示经过的路径，然后退回上一格重新选择下一个位置继续递回就可以了，比求出单一路径还简单，我们的程式只要作一点修改就可以了。
#include
#include
voidvisit（int,int）;
intmaze[9][9]={{2,2,2,2,2,2,2,2,2},
{2,0,0,0,0,0,0,0,2},
{2,0,2,2,0,2,2,0,2},
{2,0,2,0,0,2,0,0,2},
{2,0,2,0,2,0,2,0,2},
{2,0,0,0,0,0,2,0,2},
{2,2,0,2,2,0,2,2,2},
{2,0,0,0,0,0,0,0,2},
{2,2,2,2,2,2,2,2,2}};
intstartI=1,startJ=1;//入口
intendI=7,endJ=7;//出口
intmain（void）{
inti,j;
printf（"显示迷宫：
\n"）;
for（i=0;i<7;i++）{
for（j=0;j<7;j++）
if（maze[i][j]==2）printf（"█"）;
elseprintf（""）;
printf（"\n"）;
}
visit（startI,startJ）;
return0;
}
voidvisit（inti,intj）{
intm,n;
maze[i][j]=1;
if（i==endI&&j==endJ）{
printf（"\n显示路径：
\n"）;
for（m=0;m<9;m++）{
for（n=0;n<9;n++）
if（maze[m][n]==2）
printf（"█"）;
elseif（maze[m][n]==1）
printf（"◇"）;
else
printf（""）;
printf（"\n"）;
}
}
if（maze[i][j+1]==0）visit（i,j+1）;
if（maze[i+1][j]==0）visit（i+1,j）;
if（maze[i][j-1]==0）visit（i,j-1）;
if（maze[i-1][j]==0）visit（i-1,j）;
maze[i][j]=0;
}
7.AlgorithmGossip:
骑士走棋盘
说明骑士旅游（Knighttour）在十八世纪初倍受数学家与拼图迷的注意，它什么时候被提出已不可考，骑士的走法为西洋棋的走法，骑士可以由任一个位置出发，它要如何走完[所有的位置？
解法骑士的走法，基本上可以使用递回来解决，但是纯綷的递回在维度大时相当没有效率，一个聪明的解法由J.C.Warnsdorff在1823年提出，简单的说，先将最难的位置走完，接下来的路就宽广了，骑士所要走的下一步，「为下一步再选择时，所能走的步数最少的一步。
」，使用这个方法，在不使用递回的情况下，可以有较高的机率找出走法（找不到走法的机会也是有的）。
#include
intboard[8][8]={0};
intmain（void）{
intstartx,starty;
inti,j;
printf（"输入起始点：
"）;
scanf（"%d%d",&startx,&starty）;
if（travel（startx,starty））{
printf（"游历完成！
\n"）;
}
else{
printf（"游历失败！
\n"）;
}
for（i=0;i<8;i++）{
for（j=0;j<8;j++）{
printf（"%2d",board[i][j]）;
}
putchar（'\n'）;
}
return0;
}
inttravel（intx,inty）{
//对应骑士可走的八个方向
intktmove1[8]={-2,-1,1,2,2,1,-1,-2};
intktmove2[8]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
//测试下一步的出路
intnexti[8]={0};
intnextj[8]={0};
//记录出路的个数
intexists[8]={0};
inti,j,k,m,l;
inttmpi,tmpj;
intcount,min,tmp;
i=x;
j=y;
board[i][j]=1;
for（m=2;m<=64;m++）{
for（l=0;l<8;l++）
exists[l]=0;
l=0;
//试探八个方向
for（k=0;k<8;k++）{
tmpi=i+ktmove1[k];
tmpj=j+ktmove2[k];
//如果是边界了，不可走
if（tmpi<0||tmpj<0||tmpi>7||tmpj>7）
continue;
//如果这个方向可走，记录下来
if（board[tmpi][tmpj]==0）{
nexti[l]=tmpi;
nextj[l]=tmpj;
//可走的方向加一个
l++;
}
}
count=l;
//如果可走的方向为0个，返回
if（count==0）{
return0;
}
elseif（count==1）{
//只有一个可走的方向
//所以直接是最少出路的方向
min=0;
}
else{
//找出下一个位置的出路数
for（l=0;lfor（k=0;k<8;k++）{
tmpi=nexti[l]+ktmove1[k];
tmpj=nextj[l]+ktmove2[k];
if（tmpi<0||tmpj<0||
tmpi>7||tmpj>7）{
continue;
}
if（board[tmpi][tmpj]==0）
exists[l]++;
}
}
tmp=exists[0];
min=0;
//从可走的方向中寻找最少出路的方向
for（l=1;lif（exists[l]tmp=exists[l];
min=l;
}
}
}
//走最少出路的方向
i=nexti[min];
j=nextj[min];
board[i][j]=m;
}
return1;
}
8.AlgorithmGossip:
八皇后
说明西洋棋中的皇后可以直线前进，吃掉遇到的所有棋子，如果棋盘上有八个皇后，则这八个皇后如何相安无事的放置在棋盘上，1970年与1971年，E.W.Dijkstra与N.Wirth曾经用这个问题来讲解程式设计之技巧。
解法关于棋盘的问题，都可以用递回求解，然而如何减少递回的次数？
在八个皇后的问题中，不必要所有的格子都检查过，例如若某列检查过，该该列的其它格子就不用再检查了，这个方法称为分支修剪。
#include
#include
#defineN8
intcolumn[N+1];//同栏是否有皇后，1表示有
intrup[2*N+1];//右上至左下是否有皇后
intlup[2*N+1];//左上至右下是否有皇后
intqueen[N+1]={0};
intnum;//解答编号
voidbacktrack（int）;//递回求解
intmain（void）{
inti;
num=0;
for（i=1;i<=N;i++）
column[i]=1;
for（i=1;i<=2*N;i++）
rup[i]=lup[i]=1;
backtrack
（1）;
return0;
}
voidshowAnswer（）{
intx,y;
printf（"\n解答%d\n",++num）;
for（y=1;y<=N;y++）{
for（x=1;x<=N;x++）{
if（queen[y]==x）{
printf（"Q"）;
}
else{
printf（"."）;
}
}
printf（"\n"）;
}
}
voidbacktrack（inti）{
intj;
if（i>N）{
showAnswer（）;
}
else{
for（j=1;j<=N;j++）{
if（column[j]==1&&
rup[i+j]==1&&
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