数学分析读书报告.docx
《数学分析读书报告.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析读书报告.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学分析读书报告
云南大学
数学分析习作课读书报告
题目：
一元函数与二元函数连续性的对比
学院：
数学与统计学院专业：
数学与应用数学姓名、学号：
任课教师：
时间：
摘要
讨论一元、二元函数连续性的对比，首先我们要讨论一元函数与二元函数的连续性的联系，从函数连续性的定义和一些性质中找出与一元函数与二元函数连续性的关系，再从函数连续性与极限、导数、微分的联系来分析一元函数与二元函数连续性的不同。
如同极限一样，二元函数的连续性问题要比一元函数要求更高，处理起来也更复杂，但是，一切从基本概念出发，熟知连续性的定义和定理，参考一元函数连续性问题的解决方法，二元函数连续性问题就不难解决。
关键词：
函数在一点的连续性
函数的左、右连续
间断点
导数
极限
偏导数
积分
以下为正文部分：
小标题四号宋体字，其余均为小四号宋体字。
撰写时请删除！
一、函数的连续性
函数在一点的连续性
（一）函数在x。
连续，满足三个条件：
（1）函数?
（x）在x。
点点某领域u（x。
，δ）内有定义
（2）lim?
（x）存在
△x→x。
（3）lim?
（x）=?
（x。
）
△x→x。
用增量形式表示连续性：
lim[?
（x。
+△x）-?
（x。
）]=lim△y=0
△x→0△x→0
定义：
设?
（x）在x。
及其领域内有定义，如果对于任意的ε﹥0，都有δ=δ（x。
，ε）﹥0，使当|x-x。
|﹤δ时，有|?
（x）-?
（x。
）|﹤ε成立，即lim?
（x）=?
（x。
），则称函数?
（x）在x=x。
（或点x。
）处连续。
x→x。
?
（x）在点x。
出处有定义，且?
（x）在分界点x。
的极限lim?
（x）存在
x→x。
lim?
（x）=（x。
）
x→x。
所有初等函数在它的定义域内都连续
一个连续而另一个不连续的函数，其和、差一定不连续，但其积不然
例1．例设函数?
（x）在（a,b）内每一点处的左、右极限都存在，又?
x,y∈（a,b）,有
?
（x?
y
2）≤[?
（x）+?
（y）]
（1）21
证明?
在（a,b）内连续
分析若想证明?
（x）在（a,b）内连续，由题设即证
?
x。
∈（a,b），lim?
（x）=lim?
（x）=?
（x。
）
（2）
x→x-。
x→x+。
即可，在式
（1）中先令某一变量为x。
（这是想当然的，因为定要考察?
在x。
处的情况，不妨设x=x。
），则得
?
（x。
?
y
2）≤[?
（x。
）+?
（y）]（3）21
如果y在x0的左侧，即y<x0.则有
y﹤
即y与x。
?
y
2
x。
?
y
2x。
?
y2﹤x。
x。
?
y2均在x。
的左侧。
如此，y→x-。
时，→x-。
亦成立。
在式（3）中自然要想到令y→x-。
，则得lim?
（）≤[?
（x。
）+lim?
（y）]（4）21
y→x-。
y→x-。
令
a=lim?
（y）
y→x-。
则
lim?
（x。
?
y
2）=a
y→x-。
则式（4）表明
a≤?
（x。
）（5）同样，若在式（3）中令y→x+。
，则当记b=lim?
（y）时，便有不等式y→x-。
b≤1
2?
（x。
）+
21在式
（1）中如果想办法令2x?
yb?
b≤?
（x。
）（6）=x。
，这样x。
便成为x与y中间的点了，在式
（1）
中令x?
x。
、y?
y。
，便会得到另一个不等式，为此，不妨令x=x。
-h,y=y。
+h,h>0.则式
（1）成为
?
（x。
）≤[?
（x。
-h）+?
（x。
+h）]（7）21
令h?
0.则式（7）成为
?
（x。
）≤
联立式（5）、（6）、（8）便得
a=b=?
（x。
）
问题获证。
（二）、函数在一点的左（右）连续
1、函数?
（x）在点x。
左连续,满足三个条件:
12?
?
（a+b）（8）
（1）函数?
（x）在x。
点点某领域uˉ（x。
，δ）=（x。
-δ,x。
）内有定义
（2）lim?
（x）存在
△x→x-。
（3）lim?
（x）=?
（x。
）
△x→x-。
用增量形式表示左连续性：
lim[?
（x。
+△x）-?
（x。
）]=lim△y=0
△x→0-△x→0-
2、函数?
（x）在点x。
右连续,满足三个条件:
（1）函数?
（x）在x。
点点某领域u+（x。
+δ，x。
）有定义
（2）lim?
（x）存在
△x→x+。
（3）lim?
（x）=?
（x。
）
△x→x+。
用增量形式表示连续性：
lim[?
（x。
+△x）-?
（x。
）]=lim△y=0
△x→0+△x→0+分段函数是刻画左右连续的最好例证
例2设
?
sin2x,?
?
xf（x）?
?
2?
3x?
2x?
k,?
?
limx?
0,x?
0,问k为何值时，?
（x）在其定义域内事连续的？
解：
当x。
?
0时，x?
x。
?
（x）=?
（x。
），所以，在x?
0处，?
（x）是连续的。
当x?
0
时，由于?
（0）=k；且
lim
?
lim?
（x）=x?
0?
x?
0
lim
x?
0?
f（x）?
limx?
0?
（3xsin2xx2?
2;?
2x?
k）?
k,
所以，令k=2,则?
（x）在x?
0处连续。
（三）、间断点及其分类
1、函数?
（x）在x。
间断，必出现如下三种情形之一；篇二：
数学分析读书报告
数学读书报告
对数学分析六个基本定理的感想
课程名称数学文化学生姓名代广武学生学号2009303630____专业应用物理学所在院系理学院
我的专业是应用物理学，所以我对数学专业所学的数学分析具有浓厚兴趣，重点研究了数学分析的六大基本定理。
他们互推互证构成的循环让我十分惊奇。
大体上讲，数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。
它是在极限理论基础上，以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。
追溯历史，早在17世纪，newton和lebniz就各自独立地发明了微积分，当时是出于解决具体问题的需要。
不过，那时的理论很不完善，诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义，由此引发出许多问题和矛盾。
后来，cauchy和weierstrass等人引入严格的分析语言，为分析学奠定了牢固的根基。
他们的工作已经成为经典，成为数学系本科生的入门知识。
再次附上这六个大名鼎鼎的定理，他们是数学分析的逻辑基础，个人认为要掌握他们难度还是不小的。
1.实数基本定理的陈述
实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。
因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。
为了方便起见，我们先叙述实数理论的8个基本定理。
定理1（确界原理）非空有上（下）界数集，必有上（下）确界。
定理2（单调有界原理）任何单调有界数列必有极限。
定理3（cantor区间套定理）若{[an,bn]}是一个区间套,则存在唯一一点?
，使得?
?
[an,bn],n?
1,2,?
。
定理4（heine-borel有限覆盖定理）设[a,b]是一个闭区间，?
为[a,b]上的一个开覆盖，则在?
中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。
定理5（weierstrass聚点原理）直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
定理6（bolzano致密性定理）有界无穷数列必有收敛子列。
定理7（cauchy收敛准则）数列{an}收敛?
对任给的正数?
n，使得?
m,n?
n时，都有|am?
an|?
?
。
，总
我个人对区间套定理比较熟悉，而且我对这个定理也比较感兴趣。
一．什么是闭区间：
数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：
有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。
（开区间同理）
区间套最后可以确定实数轴上唯一的一点，这为研究密度无穷大的实数轴提供了一个很好的办法，而且用他可以证明确界原理，单调有界原理证明其他原理个人也比较习惯。
这里附上区间套定理证明其他原理的片段。
1.区间套定理证明单调有界原理证明：
设数列?
xn?
递增有上界.
取闭区间?
a1,b1?
，使a1不是数列?
xn?
的上界，b1是数列?
xn?
的上界.显然在闭区间?
a1,b1?
内含有数列?
xn?
的无穷多项，而在?
a1,b1?
外仅含有数列?
xn?
的有限项.
对分?
a1,b1?
，取?
a2,b2?
，使其具有?
a1,b1?
的性质.故在闭区间?
a2,b2?
内含有数列?
xn?
的无穷多项，而在?
a2,b2?
外仅含有数列?
xn?
的有限项.以此方法，得区间列?
?
an,bn?
?
.
*
由区间套定理，?
是所有区间的唯一公共点.
显然，在?
的任何邻域内有数列?
xn?
的无穷多项，即?
?
＞0，?
n?
n，当n＞n时，有xn?
?
＜?
.
所以limxn?
?
定理得证.
n?
?
[1]
2.区间套定理证明致密性定理
证明：
设?
yn?
为有界数列，即存在两个数a,b，使a?
yn?
b.等分区间?
a,b?
为两个区间，则至少有一个区间含有?
yn?
中的无穷个数.把这个区间记为?
a1,b1?
，如果两个区间都含有无穷个yn，则任取其一作为?
a1,b1?
.再等分区间?
a1,b1?
为两半，记含有无穷个yn的区间为?
a2,b2?
.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列?
个区间列显然适合下面两个条件：
（1）?
a,b?
?
?
a1,b1?
?
?
a2,b2?
?
…
（2）bn?
an?
b?
a2
n
?
an,bn?
?
，这
?
0
于是由区间套定理，必存在唯一点?
?
?
a,b?
使an?
?
bn?
?
，且?
?
?
ak,bk?
（k?
1,2,3…）.
每一?
ak,bk?
中均含有?
yn?
的无穷个元素.
在?
a1,b1?
中任取?
yn?
的一项，记为yn，即?
yn?
的第n1项.由于?
a2,b2?
也含有无穷个yn，
1
则它必含有yn以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为yn，则n1＜n2.继续在每
1
2
一?
ak,bk?
中都这样取出一个数yn，即得?
yn?
的一个子列?
yn
k
k
k
?
，其中n
k
1
＜n2＜…＜nk
＜…，且ak?
yn?
bk.令k?
?
，由于ak?
?
bk?
?
故yn?
?
.这就是定理所要的结果.
二有限覆盖定理1.有限覆盖定理
若开区间所组成的区间集e覆盖一个闭区间[a,b],则总可以从e中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a,b].个人对它的直观理解
无限多个开区间的并覆盖了一个闭区间
则从这无限个开区间中，一定能选取出有限个开区间的并就能覆盖这个闭区间。
如果把被覆盖的改成开区间，则命题不成立
比如：
（0,1/2）∪（0,1-（1/2）^2）∪（0,1-（1/2）^3）∪（0,1-（1/2）^4）∪......覆盖了（0,1）
但是上述任意有限个开区间都不能覆盖（0,1）
如果把无限多个开区间改成无限多个闭区间，命题也不成立
比如：
[1,2]∪[0,1/2]∪[0,1-（1/2）^2]∪[0,1-（1/2）^3]∪[0,1-（1/2）^4]∪......覆盖了[0,2]
但是上述任意有限个闭区间都不能覆盖[0,2]
从这个方面理解可以对此问题有一定深入的认识吧。
这里附上有限覆盖定理对其他部分定理的证明。
2.1有限覆盖定理证明确界定理
证明：
在这里我们只说明定理的上确界部分.
设不为空集的区间e?
r，?
x?
e,有x?
m,任取一点x0?
e，假设e无上确界，那
么?
x?
[x0,m]:
ⅰ）当x为e的上界时，必有更小的上界x1＜x,因而x存在一开邻域?
为e的上界，称其为第一类区间；
ⅱ）当x不是e的上界时，则有x2?
e使x2＞x,那么x存在一开邻域?
不是e的上界，称其为第二类区间.
xx
，其中每一点均
，其中每点均
?
当x取遍[x0,m
显然?
x
]上每一点找出一个邻域?
x
.
不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[x0,m]的一个开覆盖，
由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[x0,m].显然m所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间?
所以?
x?
?
?
x?
?
x
x
有公共点.
x
x
，x均为e的上界.而与?
相邻接的开区间?
x
有公共点，所以
，x均为e的上界.
依此类推，x0所在的开区间也是第一类区间，则x0为e的上界.又?
x0?
e，?
e为常数集.由此矛盾引出.得证.
同理，e有下确界.
2.2有限覆盖定理证明致密性定理
证明：
设?
xn?
是一有界数列，现在证明?
xn?
有收敛子列.
（1）如果?
xn?
仅由有限个数组成，那么至少有一个数?
要重复无限多次，即?
=xn?
xn?
…=xn?
…因而子列?
xn
1
2
k
k
?
收敛于?
.
（2）如果?
xn?
是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间?
a,b?
，使对一切自然数n都有a＜xn＜b
在?
a,b?
内至少存在一点x0，使对于任意的正数?
，在?
x0?
?
x0?
?
?
内都含有?
xn?
中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于?
a,b?
中每一点x，都有?
x＞0，在?
x?
?
x,x?
?
x?
内，仅有?
xn?
中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：
?
?
?
?
x?
?
x,x?
?
x?
?
，
?
完全覆盖了闭区间?
a,b?
，依有限覆盖定理，存在?
中的有限多个区间.
?
1?
x1?
?
x1,x1?
?
x1，…，?
n?
xn?
?
xn,xn?
?
xn，他们也覆盖了?
a,b?
，并且在每
?
?
?
?
一个?
i（i?
1,2,…,n）中都只含?
xn?
中的有限多个数.因此?
xn?
也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾.
我对其他定理理解不如这两个，在中国科技大学出版的《高等数学导论》中，个人认为对着两个定理的描述比较好，因此我对这两个定理比较喜欢，所以在此一叙。
可以算作是对这本书前边部分的读书报告吧。
篇三：
数学分析读书报告
读
书
报
告
院系：
数学与统计学院班级：
09级本一班
学号：
0501090132
姓名：
蒋旭辉读书时间：
2010.03-2010
我的《数学分析》观
数科一斑蒋旭辉、
大一开学以后，我们就接触了《数学分析》，经过了一学年的学习，对它也有了初步的了解，实话实说，我的这些了解也只是皮毛而已，俗话说的好：
“仰之弥高，钻之弥深。
”又说：
“温故而知新，可以为师矣》”下面就对我的《数学分析.做一个系统性的总结。
《数学分析》是数学专业课中最重要的基础课之一，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。
该课程的特点是：
学习时间的跨度很大，内容极为丰富。
我们学时为四个学期。
课程的目的是通过四个学期学习和系统的数学训练，使我们逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使我们的数学思维能力得到根本的提高。
我们已经学习数学分析一年了，我对它也有了一些了解，开始学习感觉非常的难。
学习成绩不太理想。
但是老师说，学习数学分析需要长期的坚持和积累，我们在探索中得以提高。
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。
学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。
数学分析的学习,可以按照它各部分內容的特点,把基本理論的学习与基本训练的过程紧密地結合起来,以便很好地掌握。
我学了一年的数学分析，现在感觉就是一定要把概念弄清，千万不要背，要理解，每一个题做完了都要看看琢磨一下。
当你做到这点后就是不断去做练习了，但是请记住，不能去看答案，实在做不出来的可以先不做。
总之请尽量不要看答案。
我们刚上大一，我们就要尽量的忘记高中时学习数学的方法，忘记高中的数学知识，因为初等数学是离散的与具体的,数学分析是连续的与抽象的，所以请不要把你以前学高中数学的方法放在数分上，我们要把它当作一门新学科来学习。
数学分析说白了就是证明的多，我们老师说多看题，看看别人的思路。
相信自己，只要用心，就能学好。
从前面推一下，推到感觉和问题不同后，从后面推回前面，一般很容易就可以推到相同点！
数分跟其它课都不同，一开始学习时，我还怀疑自己不是学习数学的材料，感觉《数学分析》比高中的数学学习起来更加的困难。
后来我还是坚持继续看数分，现在虽然还不算学有所成，但是已经可以自己做一些题，还可以自己证明一些简单的推论或者定理了。
作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。
数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。
同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。
这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
数学分析课程有一个特点是重要、枯燥。
重要是显而易见的，数学分析作为专业基础课程，对其它后继课程的学习至关重要；同时它又是枯燥乏味的，这似乎是一对矛盾，要处理这对矛盾，就要解决一个数学分析学习当中的技巧性问题和心
理问题。
当然不可能人人都能把数学分析学好，由于各人的性向不同，有的人倾向于人文学科，有的人倾向于逻辑思维，有的人倾向于空间思维，有的人则倾向于动手能力?
.各人的倾向性不一样，擅长的方面也各不相同，对数学分析能达到的程度也不一样。
一.数学分析中关于概念的问题
概念的形成需要一个过程。
与人生哲理等概念不同，数学分析概念具有叠加性，也就是说新概念是在旧概念叠加的基础上来认识的。
概念是数学分析中的一个根本问题，不是靠背，而是在不断地运用中逐渐形成的，须经过比较、实践、摸索、总结、归纳等过程，最后建立一个完整的概念。
这个过程甚至可以说是痛苦的，漫长的一个阶段。
概念具有长期性。
每个概念都有一个失败—认识—再失败的过程，伴随着你对这个概念的错误理解，在挫折中不断加深的。
概念是随着一个人知识的增加而不断深入的。
学数学分析对一个人建立完整的思维方式很重要，随着对不同数学分析概念的深入理解，人们处理问题的方式可以越来越趋于严谨。
要建立一个数学分析的概念网。
数学分析是一个个概念的点阵，所有的相关的、从属的概念要在头脑中形成一个网络。
学概念要把不能纳入其中的或相关概念认识清楚。
总概念中各相关概念是怎样发展的要有一个清晰的脉络。
从不同的层面上来理解一个数学概念。
有比较才有认识，对于一个数学分析概念要擅于从正面、侧面、上面、下面等各个层面上来认识它。
对于相似的、类似的概念或概念的内部关系认识不清，不利于理解概念，这说明数学分析末学深入。
二.运算能力
符号化、模式化是数学分析的一大特点，对这点我们应该有深刻的认识。
1.模式化。
数学分析的一些定理、原理、公理都有一定的模式，“因为?
?
所以?
”即最简单的一种模式，对各种数学模式的理解认识也是对人的逻辑思维能力的训练。
符号化。
数学分析的符号与表达性符号不同，文学艺术中的表达性符号是需要我们仔细体会其中的含义的；而数学分析中的符号是一种替代性符号，它无需我们想其含义，作用就在于推导，它只是一个替身，帮助我们进行数学思维，所以我们不可以在它的含义上耗费太多的精力。
数学就是符号游戏，我们对符号必须精通，才能进行迅速变形。
三.做题技巧
从做题方式来分，平时作业可分为硬作业和软作业两种：
硬作业是指每天需要认认真真做的作业，这类作业要按正规的步骤一丝不苟地做，旨在训练自己的笔头功夫和书写能力；软作业是指每日需抽出一定的时间来浏览若干习题，这类题主要是用来锻炼自己的思维能力的，具体做法是无需动笔，眼睛看着习题，大脑中迅速掠过这道题的思路、做法，整个过程有点类似空对空。
所以在平日做题中两种方式要搭配使用，认真做的题和浏览的题要相济并用。
做题要有节奏，难易结合。
做题要讲质量，不能把精力都放在做偏、难、怪的题型上，若平时将重心放在难题上，基础知识难免会偏失，所以平时适度地做一些中等难度的题即可，关键是要学好基础知识，循序渐进。
做题要留下体会，留下痕迹，学习分为三个过程：
模仿、品味、迁移。
模仿是初始阶段经常作用的一种方式，以老师或教科书为参照，按部就班地做。
经过一次次地模仿，我们自己对这些记忆中的题型在大脑中进一步地加工、体会，形
成自己对这类题的成型的理解。
经过前两个阶段的积累，最后达到将原知识体系与现有知识的相互融合，就实现了对新、旧知识的最新体会。
四.数学分析学习方法
常见的数学方法有如下几种：
化归法。
将复杂化问题化为若干个简单的问题的一种思想。
注意经常对知识进行归纳、整理、总结，促进学过的知识更加般。
系统化、条理化，解题时就能比较顺利地将内在关系理顺。
函数及其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。
微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。
是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。
中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。
从而能把握住函数图象的各种几何特征。
在极值问题上也有重要的实际应用。
微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具。
它包括：
（1）拉格朗日定理
内容：
如果函数f（x）满足：
1）在闭区间[a,b]上连续；
2）在开区间（a,b）内可导。
那么：
在（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b），使等式f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立。
[中值定理]分为：
微分中值定理和积分中值定理:
f（x）在a到b上的积分等于a-b分之一倍的（f（a）-f（b））ξ
（2）罗尔定理
升级会员 