计时双基练45.docx
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计时双基练45
计时双基练四十五 垂直关系
A组 基础必做
1.给出下列四个命题:
①垂直于同一平面的两条直线相互平行;
②垂直于同一平面的两个平面相互平行;
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面。
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2C.3 D.4
解析 由直线与平面垂直的性质,可知①正确;正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面,而不平行,故②错;③中两平面有可能相交,故③错;由直线与平面垂直的定义知④正确。
答案 B
2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下面命题正确的是( )
A.m⊥α,nβ,m⊥n⇒α⊥β
B.α⊥β,m⊥α,n⊥β⇒m⊥n
C.α⊥β,m⊥α,n∥β⇒m∥n
D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m⇒n⊥β
解析 对于选项A,α与β还可能平行,选项A错;对于选项B,设α∩β=l,在β内作c⊥l,则c⊥α,所以m∥c,且n⊥c,所以m⊥n,选项B正确;而对于选项C和D,容易举出反例来否定。
答案 B
3.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是( )
A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,aα,bβ
C.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α
解析 对于选项C,在平面α内存在m∥b,因为a⊥α,所以a⊥m,故a⊥b;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出a∥b。
答案 C
4.(2016·南昌模拟)设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“aα,bβ,且α⊥β”的平面α,β( )
A.不存在B.有且只有一对
C.有且只有两对D.有无数对
解析 过直线a的平面α有无数个,当平面α与直线b平行时,两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α,当平面α与b相交时,过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α。
故选D。
答案 D
5.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
解析 由AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面ABC1。
又∵AC平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC。
∴C1在面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上。
答案 A
6.如图所示,AB是⊙O的直径,VA垂直于⊙O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN∥AB
B.MN与BC所成的角为45°
C.OC⊥平面VAC
D.平面VAC⊥平面VBC
解析 对于A,MN与AB异面,故A错,对于B,可证BC⊥平面VAC,故BC⊥MN,所以所成的角为90°,因此B错;对于C,OC与AC不垂直,所以OC不可能垂直平面VAC,故C错;对于D,由于BC⊥AC,因为VA⊥平面ABC,BC平面ABC,所以VA⊥BC,因为AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC,BC平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,故D正确。
答案 D
7.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________;与AP垂直的直线有________。
解析 ∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC。
∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,
∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥PA。
与AP垂直的直线是AB。
答案 AB,BC,AC AB
8.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)。
①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABD⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE。
解析 由AB=CB,AD=CD知AC⊥DE,AC⊥BE,从而AC⊥平面BDE,故③正确。
答案 ③
9.(2016·盐城模拟)已知平面α,β,γ,直线l,m满足α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么:
①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β。
由上述条件可推出的结论有________(写出全部正确结论的序号)。
解析 由条件知α⊥γ,γ∩α=m,lγ,l⊥m,则根据面面垂直的性质定理有l⊥α,即②成立;又lβ,根据面面垂直的判定定理有α⊥β,即④成立。
答案 ②④
10.(2016·哈尔滨模拟)如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD。
(1)证明:
PA⊥BD;
(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高。
解
(1)证明:
因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=
AD,
从而AB2=AD2+BD2,故AD⊥BD,
又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,
又PD平面PAD,AD平面PAD,PD∩AD=D,
所以BD⊥平面PAD,
又PA平面PAD,故PA⊥BD。
(2)如图,作DE⊥PB,垂足为E。
已知PD⊥底面ABCD,则PD⊥BC。
由
(1)知BD⊥AD,又BC∥AD,
∴BC⊥BD。
又PD,BD平面PBD,PD∩BD=D,
故BC⊥平面PBD,
又DE平面PBD,所以BC⊥DE。
又BC,PB平面PBC,BC∩PB=B,则DE⊥平面PBC。
∵AD=1,AB=2,∠DAB=60°。
∴BD=
。
又PD=1,∴PB=2。
根据DE·PB=PD·BD,得DE=
,
即棱锥D-PBC的高为
。
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点。
(1)求证:
平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:
C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥E-ABC的体积。
解
(1)证明:
在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC。
所以BB1⊥AB。
又因为AB⊥BC,
所以AB⊥平面B1BCC1。
因为AB平面ABE。
所以平面ABE⊥平面B1BCC1。
(2)证明:
取AB的中点G,连接EG,FG。
因为E,F分别是A1C1,BC的中点,
所以FG∥AC,且FG=
AC。
因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1。
所以四边形FGEC1为平行四边形。
所以C1F∥EG。
又因为EG平面ABE,C1F⃘平面ABE,
所以C1F∥平面ABE。
(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,
所以AB=
=
。
所以三棱锥E-ABC的体积V=
S△ABC·AA1=
×
×
×1×2=
。
B组 培优演练
1.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E。
要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )
A.
B.1
C.
D.2
解析 设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1⊥DF。
由已知可以得A1B1=
,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=
h。
又2×
=h
,所以h=
,DE=
。
在Rt△DB1E中,B1E=
=
。
由等面积法得
×
=
x,得x=
。
答案 A
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=________。
解析 ∵B1C1⊥平面ABB1A1,MN平面ABB1A1。
∴MN⊥B1C1。
又MN⊥B1M,B1M∩B1C1=B1,
∴MN⊥平面B1C1M,又MC1平面B1C1M,
∴MN⊥MC1即∠C1MN=90°。
答案 90°
3.(2016·天津模拟)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC。
其中正确的是________。
解析 由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错。
答案 ①②③
4.(2015·湖北卷)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。
如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE。
(1)证明:
PB⊥平面DEF。
试判断四面体DBEF是否为鳖臑。
若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;
(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
,求
的值。
解 解法一:
(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC。
由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,
所以BC⊥平面PCD。
而DE平面PCD,所以BC⊥DE。
又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC。
而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC。
而PB平面PBC,所以PB⊥DE。
又PB⊥EF,DE∩EF=E,
所以PB⊥平面DEF。
由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,
可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,
即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB。
(2)如图1,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,连接DG,
图1
则DG是平面DEF与平面ABCD的交线。
由
(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG。
又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG。
而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD。
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,
设PD=DC=1,BC=λ,有BD=
,
在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DPF=∠FDB=
,
则tan
=tan∠DPF=
=
=
,解得λ=
。
所以
=
=
。
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
时,
=
。
解法二:
(1)如图2,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系。
图2
设PD=DC=1,BC=λ,
则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),
=(λ,1,-1),
点E是PC的中点,所以E
,
=
,于是
·
=0,即PB⊥DE。
又已知EF⊥PB,而DE∩EF=E,
所以PB⊥平面DEF。
因
=(0,1,-1),
·
=0,
则DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC。
由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,
可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,
即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB。
(2)由PD⊥平面ABCD,所以
=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量;
由
(1)知,PB⊥平面DEF,所以
=(-λ,-1,1)是平面DEF的一个法向量。
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
,
则cos
=
=
=
,
解得λ=
,所以
=
=
。
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
时,
=
。