北工商《概率论与数理统计》期末考试试题A.docx
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北工商《概率论与数理统计》期末考试试题A
《概率论与数理统计》期末考试试题A
一、填空题(每题3分,共15分)
1、已知随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,且随机变量Z=2X-2,则EZi=
2、设A、B是随机事件,PA]=0.7,PA-B]=0.3,贝UPABV-
3、设二维随机变量X,Y的分布列为
—
1
2
3
1
1
1
1
6
9
18
2
1
3
a
若X与Y相互独立,则八]的值分别为。
4、设D(X)=4,D(Y)=1,R(X,Y)=0.6,贝UD(X—Y尸
n
5、设Xi,X2,川,Xn是取自总体N(・i,;「2)的样本,则统计量AfXi」)2服从
iA
分布•
、选择题(每题3分,共15分)
1、一盒产品中有a只正品,b只次品,有放回地任取两次,第二次取到正品的概率为【】
(A)——;(B)旳一1);(C)亠;(D).
a+b_1(a+b)(a+b_1)a+b(a+b丿
2、设事件A与B互不相容,且PA-0,PB"0,则下面结论正确的是【】
(A)A与B互不相容;(B)P(BA)a0;
(C)PAB=PAPB;(D)PAB=PA.
3、设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N0,1和N1,1,则【】
1“1
(A)PXY乞0=-;(B)PXY乞1=-;
22
j1
(C)PXY乞0;
4、如果X,Y满足D(XDX-Y,则必有【】
(A)X与Y独立;(B)X与丫不相关;(C)DY=O;(D)DX=0
X的分布律为
5、设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律,且则随机变量Z二maxX,Y的分布律为【】
X
01
P
11
22
11
(A)Pz=0,Pz";(B)Pz=0=1,Pz=1=0;
22
(C)Pz"J'P"1电;(D)Pz=°电'PzE€。
4444
三、解答题(共30分)
1.(本题满分8分)两台机床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02,已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,加工出来的零件放
在一起,求:
任意取出的零件是合格品(A)的概率•
2.(本题满分8分)将一枚硬币连掷三次,X表示三次中出现正面的次数,Y表示三次中出
现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,求:
(1)(X,Y)的联合概率分布;
(2)P「Y.X?
.
3.(本题满分10分)设随机变量X~N0,1,Y=X2T,试求随机变量Y的密度函数.
四、(8分)设X的密度函数为f(x)-leYR,x・(」:
,*)
2
1求X的数学期望E(X)和方差D(X);
2求X与X的协方差和相关系数,并讨论X与X是否相关?
五、(本题满分8分)二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求:
(1)系数A;
(2)X,Y的边缘密度函数;
22
六、(本题满分12分)设总体X~NT二,二,其中丄是已知参数,-0是未知
参数.X2,…,Xn是从该总体中抽取的一个样本,
22
⑴•求未知参数匚的极大似然估计量:
?
;
⑵.判断C?
2是否为未知参数/的无偏估计.
七、(本题满分8分)设总体X~N1L,二2,其中且」与二2都未知,7:
:
:
」:
:
:
;
2
匚0•现从总体X中抽取容量n=16的样本观测值%,X2,…,为6,算出
1161162
xxi=503.75,sxi-x6.2022,试在置信水平1=0.95下,
16ia15id
求丛的置信区间.(已知:
t0.05(15)=1.7531,t0.05(16)=1.7459,t0.025(15)=2.1315,
t°Q2516=2.1199)•
八、(本题满分8分)某厂生产的某种产品,由以往经验知其强力标准差为7.5kg且强力
服从正态分布,改用新原料后,从新产品中抽取25件作强力试验,算
I135
s-一£(码-=95kg
得,「二,问新产品的强力标准差是否有显著变化?
(分别取二.丄和0.01,已知1厂」;〉-
《概率论与数理统计》期末考试试题参考答案
21一2
、填空题:
1、2;2、0.4;3.,;4、2.6;5、忆(n)
99
二、选择题:
1、C;2、D;3、B;4、B;5、C
三、1.解:
设Bi=取出的零件由第i台加工”(i=1,2)
21
PM-PB1PAB1PB2PAB2A0.970.98=0.973
33
2.解:
由题意知,X的可能取值为:
0,1,2,3;Y的可能取值为:
1,3.
p,:
x=0,丫=3‘=2=8,P牧=1,y=*=c311=8,
28
*
1
3
0
0
1
8
1
3
8
0
2
3
8
0
3
0
1
8
(2)pVX^P'X=0,Y=3'=~
8
3.解:
随机变量X的密度函数为
f(x)=^^e
12兀
设随机变量Y的分布函数为Fyy,则有
Fyy「丫乞y;=P?
X21辽y;=P〈X2乞y
1.如果y-1乞0,即八1,则有Fyy=0;
2.如果y•1,则有
Fyy=P?
X2乞y_仁=pl.y_1乞X乞.y_1?
■u'Rx2
e2dx
1
2-r
・2沪
e2dxy1
0
0
所以,
X2
fYy二Fyy二、2二
2
x
2-:
:
:
X:
:
:
y乞1
2上
e2y1
2jy-1
y-1
rJ
=尹y1
-1
四、解:
D(X)=
2
二x
E(X
Qx
2
I0
y-1
1xl
E(X)x—e^dx
J^o2
二0
2)-[E(X)]2
①
1e」dx=2
2
■-:
2
dx—0=2x
②Cov(X,X)=E(XX)-E(X)E(X)=
所以X与X不相关•
五、(本题满分10分)
解:
(1)由仁.;,:
f(x,y)dxdy=「「Ae"2y)dxdy
=A0e^dx0e°ydy=1A所以A=2
-He
1-x
edx-0二0
2
(2)X的边缘密度函数:
fX(x)=「「f(x,y)dy=«
e」
L0,
2eJy
0,
(3)因f(x,y)二fx(x)fy(y),所以X,Y是独立的六、解:
⑴.当
n
2
y的边缘密度函数:
fY(y)=广f(x,y)dx=*
-^0
x0
其他
y0
其他
L(o2)=(2兀Q2Pexp』—
-20为未知,
1n
2、X
i=i
1
因而InL二21=-°ln2■-2
2
所以InL;「2二
c(^2)
n
解得二2=丄7Xj_.二:
2
nim
n
2;「2
而-:
:
:
:
:
■「:
:
•:
:
为已知参数时,似然函数为
)
2"
1n21
\x」2二=0
2y匚
1
因此,匚2的极大似然估计量为:
?
2Xj-」2
ni#
⑵.因为Xi~N,,匚2iu=1,
X|〜N0,1I=1,2,
a
E〔X|-心0,DXi-—2
—町1=Ex—卩*+dX
-1
所以
所以
所以ElXI
因此,E?
2二E-、Xj-」2
十2十2
n;-
n
2,
I=1,2,,n,
-21=1,2,,n
n
所以,;?
2二丄Xj—I2是未知参数C2的无偏估计nv
七、解:
由于正态总体N]L,c2中期望
CS-S、
「祁严1)乂计严鋼•
得t°.025(15)=2.1315.
Of
由:
=0.05,n=16,得0.025•查表,
2
「一X2&022
15y
116
由样本观测值,得X=1a人=503.75,s=
16y
所以,X-St-.n-1=503.75-6.20222.1315=500.445,
Jn2£16
s6.2022
x——t-n—1=503.752.131550.7)55
、;n2
因此所求置信区间为500.445,507.055
八、解:
要检验的假设为
匚:
亍_于一…;W、--
25x9^
7.53
=4011
在二.丄时,i--■二--■-】
故在二.丄时,拒绝‘亠」认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大
当二…1时,「一一--_..-.;:
故在二...1下接受-.1,认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异。