07曲线积分与曲面积分.docx
《07曲线积分与曲面积分.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《07曲线积分与曲面积分.docx（39页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
07曲线积分与曲面积分
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
第七章曲线积分与曲面积分（仅数学一）
【大纲要求】：
1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.
2.掌握两类曲线积分的计算方法.
3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分函数的原函数.
4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握利用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.
5．了解散度、旋度的概念，并会计算.
6．会用曲线积分及曲面积分计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、体积、曲面的面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）.
一、曲线积分
1．第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
（1）【定义7.1】设曲线是平面上的分段光滑曲线，是定义在xoy）yx,f（L曲线上的有界函数，则在曲线上的第一类曲线积分为）yf（x,LLn?
?
?
lim?
）ds（（x,,）?
syff?
iiiL?
0?
1i?
其中表示第个小弧段长度，为这个小弧段长度的最大值.?
s?
nii
（2）性质
性质1设为常数，则?
?
.
?
?
?
?
ds）x,?
y）dsygxg（,y）]ds?
（f（x,[xf（,y）?
?
?
?
LLL性质2设由和两段光滑曲线组成（记为），则?
LLL?
LLL2121?
?
?
.）dsyf（xf（x,y）ds?
f（x,y）ds?
LLL?
L1212性质3设在有，则L?
?
））?
g（x,yxf（,yds）x,）ds?
yg（（fx,yLL性质4（中值定理）设函数在光滑曲线上连续，则在上必存在一）yf（x,LL点，使?
?
）,（?
?
?
s）f）ds?
（?
yxf（,L其中是曲线的长度.Ls性质5对称性
学习札记
171
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
关于坐标轴的对称性
（1）曲线L轴对称，则有①若曲线关于xL?
是偶函数xy）关于）ds,f（x,2f（x,y?
?
L?
ds,y）f（x?
?
1L?
0，f（x,y）关于x是奇函数?
其中为在轴上方部分.LxL1②曲线关于轴对称，则有yL?
2f（x,y）ds,f（x,y）关于y是偶函数?
?
Lf（x,y）ds?
?
?
1L?
0，f（x,y）关于y是奇函数?
其中为在轴右方部分.
LyL1
（2）积分关于积分变量的对称性
若在曲线的方程中，与对调后方程不变，则有xyL.ds）,xds?
f（yf（x,y）?
?
LL（3）计算方法
①直接计算法（参数方程法）
x?
x（t）,?
，则ⅰ）如果曲线的方程为?
?
）（?
t?
L?
）,ty（y?
?
?
22?
?
?
?
dt（（t）?
y?
）f[x（t）,y（t]xt）xf（,y）ds?
Lⅱ）如果曲线的方程为，则b?
ax?
y?
y（x）,Lb2?
?
?
dx（x）[fx,y（x）]1?
xf（,y）ds?
yaLⅲ）如果曲线的方程为，则d?
c?
y?
xx（y）,Ld2?
?
?
dyy?
]1x）（）,dsxf（,y）?
[fx（yycL，则ⅳ）如果曲线的方程为?
?
?
?
?
r?
r（）,?
L?
22?
?
?
?
?
?
?
?
d）sinr）r（（）?
?
f（xy）dsrf（cosr,?
L注意：
以上计算中要注意两点：
①曲线的方程的参数形式已知（参数L可以不同），即一定要把曲线的方程化为参数方程；②积分的下限一定要小L于上限即积分限必须由小到大（与起点终点大小无关）。
②利用积分曲线与积分变量的对称性计算.
【题型一】第一类曲线积分的计算
【例1】求，其中为.
2222y?
xy?
2?
ds?
I?
yxC?
C【解答】：
学习札记
172
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
22yx.
【例在第一象限的部分】求，是椭圆21?
?
xydsI?
L?
34L【解答】：
2x3】求，【例其中是，222221?
?
（y1）?
dsx（I?
xsinx?
y?
?
4y?
7y）L?
4L周长为.
a【解答】：
【例4】求，其中是点到点的直线段222）1,3（2,）2（1,?
1,ds?
z）（I?
xy?
L?
L【解答】：
2222?
y0z?
4a,yx?
?
z?
?
：
，其中【例.5】求0a?
ds?
IL?
?
2Lx?
【解答】：
学习札记且的L.
2222z?
y?
ax?
y2x?
?
173
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
9?
222?
y?
zx?
?
.
，其中【例：
6】计算222LdsI?
（xz?
y）?
?
2?
L?
1z?
x?
?
【解答】：
2．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（1）【定义7.2】设曲线为平面上从点到点的有向光滑曲线，xoyBAL为曲线上的有界函数，则沿曲线的第二类曲线积）yQ（x,P（x,y）,yP（x,）,Q（x,y）LL分为
?
?
?
?
?
?
lim?
y）dy?
）dxQ（（x,）?
y],P（x,y[P（,?
）?
xQ?
iiiiiiL?
0?
1?
i其中为这个小弧段长度的最大值.
?
n
（2）性质
性质1设L是有向曲线弧,
是与L方向相反的有向曲线弧，则L?
；?
?
dy）（x,y,P（xy）dx?
dydxP（x,y）?
Q（x,y）?
?
QL?
L即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.
性质2如由和两段光滑曲线组成，则LLL21.
?
?
?
Qdy?
?
Qdy?
PdxPdx?
Qdy?
PdxLLL12（3）计算方法
①直接计算法（参数方程法）：
如果曲线的参数方程为Ly?
y（）,tx（x?
?
.
?
?
?
?
dtytytxQ）xtytxP?
{[（）,（）]（t?
[（）,（）]（t）}dyxP（（Q?
dxy,）y,x）?
L
学习札记则）,t
174
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
的终点值（它可以由小到大，也是指参数的的起点值到参数其中?
?
tt?
终点值）。
可以由大到小。
必须强调的是：
它是的起点值t?
a,终点为起点为b，则如果曲线的方程为L）,y?
y（xb?
?
?
.）}ydx（x,?
Q[xy（xQdyPdx?
?
）]{P[x,y（x）]aL如果曲线的方程为起点为c,终点为d，则）,（yx?
xLd?
?
?
.dy）,y]}?
Q[x（y{P[x（y）,y]x（y）Pdx?
Qdy?
cL②间接计算法（利用格林公式，与路径无关，求原函数法）
ⅰ）格林公式（格林定理）：
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有）P（x,y）yQ（x,?
?
P?
?
Q?
?
dxdyPdx?
Qdy?
?
?
?
?
?
?
Ly?
x?
?
?
D其中L是D的取正向的边界曲线.
?
Q?
P在上连续；②）公式使用条件：
①注意：
1和，）（Qx,yP（x,y）,Dyx?
?
向为正方向，即某人沿着的方向行走时，区域始终在他的左手边（可简DL单的理解为外边界是逆时针方向，内边界是顺时针方向）③必须是封闭的L2）结论：
把第二类曲线积分转化为二重积分的计算.
3）用法技巧：
①条件不满足时，创造条件（连续、正向、封闭）尽可能使用格林公式；②常用技巧：
补线，挖洞、换曲线（当积分值与路径无关时）。
ⅱ）曲线积分与路径无关的定理：
设开区域是一个单连通域，函数D及在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
）P（x,y）yQ（x,D（）曲线积分在内与路径无关；aD?
QdyPdx?
L（）表达式为某二元函数的全微分；b）,y?
Qdyu（xPdx?
P?
Q在内恒成立；）（cD?
?
y?
x（）对内任一闭曲线，.
d?
0QdyPdx?
?
LDL
学习札记L的方
.175
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
Q?
?
注意：
①利用线积分与路径无关解题条件：
和，）y）,Q（x,P（x,y?
x?
连通区域上连续；②结论：
在单连通的条件下：
D?
P?
Q在（）内与路径无关（判别与路径无关的充要?
?
aD?
QdyPdx?
x?
y?
L.
条件）Q?
?
P使得（）存在函数?
?
?
）ydF（x,Pdx?
Qdy?
）x,yF（bxy?
?
B）（x,yB）（x,yPdx?
Qdy?
F?
22）,yA（xA11?
P?
Q在内与路径无关）选择路径的一般经验是：
（?
?
?
cD?
QdyPdx?
x?
?
yL平行于坐标轴的路径（方便，简单）.
?
P?
Q存在函数使得，则的求法：
（）?
?
）,yPdx?
Qdy?
dF（x）y（x,F）F（x,yd?
y?
x（x,y）【方法一】线积分法：
Cdy?
y））dx?
Q（xF（x,y）?
P（x,y?
）（x,y00注意：
常常如下取：
xyCdy?
P（x,y）,y）?
P（x,y）dx?
F（x?
?
0yx00xy或C?
x,y）dyP（x,y）dx?
P（）F（x,y?
?
?
0yx00【方法二】偏导数法：
?
FF?
x，积分求出由，两边求导，由Q?
）（yAy）dx?
y）?
P（x,（?
P?
Fx?
?
yx?
x0进一步求出.）yF（x,【方法三】凑微分法：
利用凑微分，把.）yF（x,dF（x,y）?
Pdx?
Qdy?
3.空间曲线积分的计算dz,z）（dy?
Rx,y,yz）dx?
Q（x,y,z）P（x,?
L
（1）直接法（参数方程法）：
x?
x（t）?
?
，，则设曲线的方程为?
?
）y?
y（t]t?
[,LRdz?
?
QdyP（dx?
?
L?
z?
z（t）?
?
.
dtt）}t）]z'（tR?
[x（t）,y（）,z（（tttQ（tttP?
{[x（）,y（）,z（）]x't）?
[x（）,y（）,z（）]y't）?
?
（2）间接法—利用斯托克斯公式.
斯托克斯公式：
设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的?
?
?
分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，?
?
在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导?
）,（）,,,（）,,,（PxyzQxyzRxy,z
学习札记P在单
yy（A函数
）176
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
则有公式数?
?
?
?
?
P?
Q?
?
R?
QPR?
?
?
?
?
RdzPdx?
Qdy?
?
?
?
?
?
?
dxdy?
dydz?
?
?
dzdx?
?
?
?
?
?
?
x?
z?
z?
y?
x?
?
yL?
?
?
?
?
?
?
为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：
dydzdzdxdxdy?
?
?
?
Rdz?
Qdy?
Pdx?
?
?
?
zy?
x?
?
?
RQP注意：
①斯托克斯公式的作用：
把空间曲线积分与曲面积分的相互转化.
②使用公式的关键是：
有L后如何选取相应的曲面，可以选曲面，?
也可以选平面，一般选平面方便.
4.两类曲面积分的关系
?
?
ds）cos?
QcosPdx?
Qdy?
（P?
?
LL其中是有向曲线L的切线的方向余弦.
?
?
cos,cos值得注意的是，曲线积分给出的往往是L的法线方向，因此在计算中必须将法线的方向余弦转化为切线的方向余弦.
【题型二】第二类曲线积分的计算
【例1】求，其中是抛物线从到，再沿直22?
xdydx?
y?
Ix?
y）1,1A（）11,B（?
LL线到所形成的曲线.
）2,C（0【解答】：
dx?
dy，其中是到2【例】求，再到的折线段?
?
I）10）,（1,（A0?
）B10C（,Ly?
xL解答】：
【
学习札记..
177
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
【例3】求，其中是的直线再xx23?
dy3yme（y）e?
?
my）dx?
（?
I）12,?
0）B（A（1LL沿半圆周到的曲线.
）,0C（3【解答】：
xxeecoscos.其中是圆周【例4】求xx?
（I?
）dx?
dye?
e?
sin?
lnxy）（x?
2CxyC沿到的一段弧.
22（y?
2）?
）,）3B（31A（,1【解答】：
【例5】求线积分的最大值，其中是3322?
dy）xI?
y（dx?
3x?
x?
yR?
CC.
的正向：
解答【】
学习札记2?
20?
R（
）
178
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
xdyydx?
:
【例6】计算线积分，其中为?
L22y?
xL（.
1）圆周的正向；
（2）菱形边界的正向22）1y1）?
?
（（?
1x?
1x?
y?
【解答】：
（x?
y）dx?
（x?
y）dy，其中是由7【例】计算沿曲线?
?
?
?
?
Iy?
）,A（?
C22yx?
C的一段弧.
?
?
）,?
?
B（解答【】：
（x?
y）dx?
（x?
y）dy，其中曲线】求8【例是从沿?
?
I2x?
y?
）,?
A（20C22x?
yC.
的弧段）0,2（B【解答】：
学习札记到xcos到28?
179
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
xdy?
ydx（常数），9】已知曲线积分其中可导，且【例?
?
?
A?
?
I）（x2?
（x）?
yL是绕原点一周的任意正向闭曲线，试求及.
?
）（0,0）x（AL【解答】：
【例10】曲线与轴的两个交点分别为及x,A（tO（0,0））y?
x（t?
x（t?
0）曲线在点的切线交轴于，弧是从到的直线段，求的值，使得tyBABABAsiny?
dy）]?
1cosy?
ln（x?
?
y?
1）dx[x?
1（It）?
（?
x?
1AB弧为最小.
【解答】：
【例11】设为分段光滑简单闭曲线，为曲线的外法线方向，nCC所围成的闭区域，在上具有连续二阶偏导数，证）u,x（yD
学习札记1?
（1），又）0为CD明：
180
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
22uu?
?
u?
.?
?
?
?
）dxdyds（?
22xy?
?
Cn?
D【解答】：
【例12】求，其中为八分之一球面：
222222?
dzx）dy?
（I?
）（y?
z?
）dx?
（z?
xyCC的边界线，从球心看,为逆时针方向.
2220?
y?
0,z?
y?
z?
?
1,x0,xCC【解答】：
2222?
R?
?
zxy?
【例13】求，其中：
，的方向是由?
xdz?
ydx?
zdyI?
2CC?
Rz?
x?
C?
.
轴正向一致）是逆时针轴正向看去（即人眼与x【解答】：
学习札记
z
181
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
二、曲面积分
1．第一类曲面积分（对面积的曲面积分）
（1）【定义7.3】设曲面是光滑的,函数在上有界,把?
）（,zx,yf?
分成小块（同时也表示第i小块曲面的面积）,在上任取一点n?
?
?
S?
?
SS,（iiii乘积
）n,,,S（i12f（,,）?
?
?
?
?
?
?
iiiin这和式,如果当各小块曲面的直径的最大值时并作和?
?
?
?
f（?
?
S）?
0?
iiii1?
i的极限存在,则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面?
）,zf（x,y积分，记为
n?
?
?
?
lim（dS,,?
）?
Sy,z）f（x,f?
?
iiii?
0?
1i?
?
其中称为被积函数，称为积分曲面.
）f（x,y,z?
（2）性质
性质1第一类曲面积分与曲面的侧的方向无关.dSz）（fx,y,f（x,y,z）dS?
?
?
?
?
?
?
?
?
性质2.
dSz）,y,?
z）dS[g（x（yz）?
g（x,,z）]dS?
fx,y,,（[fx,y?
?
?
?
?
?
?
?
?
性质3.
dS）,zfk（x,yykf（x,,z）dS?
?
?
?
?
?
?
性质4.
dS）,zxdS?
f（,y,（dSyf（x,,z）?
fx,yz）?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2112性质5（对称性）
①若关于平面对称，关于变量有奇偶性，则有?
xoy）yxf（,,zz
学习札记任意?
作?
）,,ii，即
182
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
?
）,zf（x,yf（x,y,?
z）?
2f（x,y,z）dS,?
?
?
?
dS,y,z）f（x?
?
?
?
0?
）,z（x,y,y,?
z）?
?
f,0f（x?
?
其中是在平面上方部分.?
?
xoy0②若关于平面对称，关于变量有奇偶性，则有?
yxoz）,y,zf（x?
2f（x,y,z）dS,f（x,?
y,z）?
f（x,y,z）?
?
?
f（x,y,z）dS?
?
?
?
?
0?
0,f（x,?
y,z）?
?
f（x,y,z）?
?
其中是在平面右方部分.?
?
xoz0③若关于平面对称，关于变量有奇偶性，则有x?
yoz）,zf（x,y?
2f（x,y,z）dS,f（?
x,y,z）?
f（x,y,z）?
?
?
?
dS）y,zf（x,?
?
?
?
0?
0,f（?
x,y,z）?
?
f（x,y,z）?
?
其中是在平面前方部分.?
yoz?
0④（关于积分变量的对称性）：
若在曲面的方程中，某两个变量对调以?
后，方程不变，则在曲面积分中被积函数中的这两个变量对调后的两个曲面积分的值相等.
（3）计算方法
①直接计算法（化为二重积分法）
设曲面在平面上的投影区域为，在上连续，D?
xoy）zx,y）（x,y,f（a）z?
：
z?
（xy?
z在上有一阶连续偏导数，则有D）z（x,yxy22.）dxdy（x,yz（x,y）?
?
）dSzyf[x,y,z（x,）]1?
（fx,y,z?
?
?
?
yxD?
xy设曲面在平面上的投影区域为，在上连续，D?
xoz）y,zf（（b）x?
：
y?
y（,z）x,xz在上有一阶连续偏导数，则有D?
y）,zy（xxz22.dxdzz）?
y（x,?
）,z]1y（x,z）yf（x,,z）dS?
（f[x,yx,z?
?
?
?
zxD?
xz设曲面在平面上的投影区域为，在上连续，D?
yoz）,y,zf（x,?
：
x?
x（yz））（cyz在上有一阶连续偏导数，则有D）,zx?
x（yyz22.）dydzy,z（xy,z）?
x（）]）,（fzxf（,y,）dS?
[xy,zy,z1?
?
?
?
?
zyD?
yz②利用对称性（积分曲面的对称性和被积函数的对称性）计算.
【题型三】第一类曲面积分的计算
2【例1】求，其中是球面：
.
2222?
?
R?
z?
yx?
?
dS?
I（ax?
?
byczd）?
?
【解答】：
学习札记
183
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
xyzy4在第一卦限的部，】求其中是平面：
2【例?
?
dSI（z?
）?
2?
x?
1?
?
?
3432?
.
分：
】【解答
学习札记
184
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
被所截得3】求，其中是柱面【例222?
?
dSzI?
R?
yx?
?
1?
0,z?
0,z?
x?
0y?
的在第一卦限的部分.
【解答】：
2【例4】求，其中是正八面体的全表面?
?
1?
z?
yx?
?
dS）z?
43y?
?
I（ax2?
?
【解答】：
学习札记
.
185
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
【例5】球面被曲面分为三部分，试求这三部2222225?
?
zxy?
y?
?
13?
xz分曲面的面积之比.
【解答】：
2．第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）
（1）【定义7.4】设为光滑的有向曲面,?
）z,y,x（R）,z,y,x（Q）,z,y,x（P
学习札记在上?
186
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
有界，则dxdy,z）dxdz?
R（x,yy,z）dydz?
Q（x,y,z）P（x,?
?
?
n?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
],）?
Q（（,,,）?
lim?
[P（?
,?
）?
Rxyiiiiiiyzixzii?
0?
1?
i其中分别表示第个小有向曲面在坐标面?
?
?
?
,?
?
S?
xoy,yoz,xozixyyzxzi投影.
（2）性质
性质1Rdxdy?
?
QdxdzPdydz?
?
?
?
?
21.
Rdxdy?
?
QdxdzQdxdz?
Rdxdy?
Pdydz?
Pdydz?
?
?
?
?
?
?
21性质2Rdxdy?
?
QdxdzRdxdy?
?
PdydzPdydz?
Qdxdz?
?
?
?
?
?
?
?
?
这里表示曲面的两侧（如表示外侧，表示内侧）.?
?
?
?
?
?
?
?
（3）两类曲面积分之间的关系
?
?
?
.）?
RPcoscos?
QcosdSRdxdyPdydz?
Qdxdz?
?
（?
?
?
?
?
?
其中为曲面上点处法线的方向余弦.?
?
?
?
）cosz,y,cos（,cosx,（4）计算方法
①直接计算法（化为投影的二重积分）
设光滑曲面：
，与平行于轴的直线至多交于一点，它在）?
z（x,yzz?
上的投影区域为,则.
Dxydxdy）],yy,z（xzy,）dxdy?
?
R[x,R（x,?
?
?
?
?
Dyz【计算步骤】：
一投：
把向面投影得到投影区域；xOyD?
xy二代：
把被积函数中的中的用代入；）y（x,y,z）,zxR（z三定号：
确定投影的正负号，确定方法是：
若的法向量与轴正向的n?
z?
夹角为锐角时取“+”号，若为钝角时取“?
”号.
?
?
）（n（n^z）^z,的计算于此完全相同.
dxdz）,y,dydz,y,z）zQ（xP（x?
?
?
?
?
?
②向量点积法（投影轮换法）
设光滑曲面：
，它在面上的投影区域为,在上连续，?
R,）（z?
zx,yQ,PxOyD?
xy函数在上的一阶偏导数连续，则）,z（xyDxyRdxdy?
?
PdydzQdxdz?
?
?
学习札记上的面xOy
187
考研辅导讲义与笔记渤海大学数学系考研辅导中心
z?
?
zdxdy?
1}z（x,y）]）]（（x,y?
）?
R[x,y,y?
?
{P[x,y,z（x,）]（?
）?
Q[x,y,z?
?
y?
?
xDyz正负号的确定方法同前.
③间接法（利用高斯公式）
高斯定理：
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数?
P（?
、在上具有一阶连续偏导数，则有公式）,zR（x,yQ（x,y,z）?
?
?
R?
P?
Q?
?
?
dv?
Rdxdy?
?
Pdydz?
Qdzdx?
?
?
?
?
?
?
?
zy?
x?
?
?
?
?
?
?
?
R?
P?
Q?
或?
?
?
?
?
dv?
Rcos）dS?
?
（Pcos?
?
Qcos?
?
?
?
?
?
?
zy?
x?
?
?
?
?
?
这里是的整个边界曲面的外侧,是上点处的法
升级会员 