高中数学第二章数列23等差数列的前n项和1教案新人教A版必修5.docx

高中数学第二章数列23等差数列的前n项和1教案新人教A版必修5.docx

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高中数学第二章数列23等差数列的前n项和1教案新人教A版必修5

2.3.1　等差数列的前n项和

（一）

项目

内容

课题

2.3.1　等差数列的前n项和

（一）

（共1课时）

修改与创新

教学

目标

一、知识与技能

掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

二、过程与方法

通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

三、情感态度与价值观

通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.

教学重、

难点

教学重点等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.

教学难点灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.

教学

准备

多媒体课件

教学过程

导入新课

教师出示投影胶片1：

印度泰姬陵（TajMahal）是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（如下图），奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？

（这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段）

生只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.

师对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？

这里还有一段故事.

教师出示投影胶片2：

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：

“现在给大家出道题目：

1+2+…100=?

”

过了两分钟，正当大家在：

1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1+2+3+…+100=5050.”

教师问：

“你是如何算出答案的？

”

高斯回答说：

因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5050.

师这个故事告诉我们什么信息？

高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？

生高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：

1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5050.

师对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.

高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.

作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.

师问：

数列1，2，3，…，100是什么数列？

而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？

生这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.

师对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.

推进新课

［合作探究］

师我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?

生这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.

师高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?

生有!

我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是

.

师妙得很!

这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!

我将他的几何法写成式子就是：

1+2+3+…+21，

21+20+19+…+1，

对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序）

这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.

现在我将求和问题一般化：

（1）求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+（n-1）+n.（注：

这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决）

（2）如何求等差数列{an}的前n项的和Sn?

生1对于问题

（2），我这样来求：

因为Sn=a1+a2+a3+…+an，

Sn=an+an-1+…+a2+a1，

再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：

若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，

所以

.（Ⅰ）

生2对于问题

（2），我是这样来求的：

因为Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+（a1+3d）+…+［a1+（n-1）×d］，

所以Sn=na1+［1+2+3+…+（n-1）］d=na1+

d,

即Sn=na1+

d.（Ⅱ）

［教师精讲］

两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式（Ⅰ）是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆.

［方法引导］

师如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式（Ⅰ）来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式（Ⅱ）来进行.

引导学生总结：

这些公式中出现了几个量？

生每个公式中都是5个量.

师如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?

生已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二）.

师当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.

［知识应用］

【例1】（直接代公式）计算：

（1）1+2+3+…+n；

（2）1+3+5+…+（2n-1）；

（3）2+4+6+…+2n；

（4）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n.

（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）请同学们先完成

（1）～（3），并请一位同学回答.

生

（1）1+2+3+…+n=

；

（2）1+3+5+…+（2n-1）=

=n2；（3）2+4+6+…+2n=

=n（n+1）.

师第（4）小题数列共有几项？

是否为等差数列？

能否直接运用Sn公式求解？

若不能，那应如何解答？

（小组讨论后，让学生发言解答）

生（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式=[1+3+5+…+（2n-1）]-（2+4+6+…+2n）=n2-n（n+1）=-n.

生上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：

原式=（-1）+（-1）+（-1）+…+（-1）=-n.

师很好！

在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.

【例2】（课本第49页例1）

分析：

这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗?

生由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a1，公差为50，记为d，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.

师这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.（按课本解答示范格式）

【例3】（课本第50页例2）已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？

分析：

若要确定其前n项求和公式，则必须确定什么？

生必须要确定首项a1与公差d.

师首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？

生由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于a1和d的关系式，组成方程组便可从中求得.

（解答见课本第50页）

师通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二）.运用方程思想来解决问题.

［合作探究］

师请同学们阅读课本第50页的例3，阅读后我们来互相进行交流.

（给出一定的时间让学生对本题加以理解）

师本题是给出了一个数列的前n项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?

生从所给的和的公式出发去求出通项.

师对的，通项与前n项的和公式有何种关系?

生当n=1时，a1=S1，而当n＞1时，an=Sn-Sn-1.

师回答的真好!

由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1，

即an=S1（n=1）,

Sn-Sn-1（n≥2）.这种已知数列的Sn来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项an=2n-

，我们从中知它是等差数列，这时当n=1也是满足的，但是不是所有已知Sn求an的问题都能使n=1时，an=Sn-Sn-1满足呢?

请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.

生1这题中当n=1时，S1=a1=p+q+r；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2pn-p+q，由n=1代入的结果为p+q，要使n=1时也适合，必须有r=0.

生2当r=0时，这个数列是等差数列，当r≠0时，这个数列不是等差数列.

生3这里的p≠0也是必要的，若p=0，则当n≥2时，an=Sn-Sn-1=q+r，则变为常数列了，r≠0也还是等差数列.

师如果一个数列的前n项和公式是常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.

课堂练习

等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？

（学生板演）

解：

设题中的等差数列为{an}，前n项和为Sn,

则a1=-10,d=（-6）-（-10）=4,Sn=54,

由公式可得-10n+

×4=54.

解之,得n1=9,n2=-3（舍去）.

所以等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.

（教师对学生的解答给出评价）

课堂小结

师同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?

生①等差数列的前n项和公式1：

②等差数列的前n项和公式2：

.

师通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?

生①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.

②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.

师本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?

生如果一个数列的前n项和公式中的常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.

布置作业

课本第52页习题2.3A组第2、3题.

板书设计

等差数列的前n项和

（一）

公式：

推导过程例

教学反思