届人教B版立体几何检测卷5.docx

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届人教B版立体几何检测卷5

第七章　

一、选择题

1．（2016·海淀模拟）若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则（　D　）

A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直

[解析]　对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；易知D正确，故选D．

2．（2017·新疆哈密地区第二中学期末数学试题）已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（　C　）

A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

[解析]　作两个相交平面，交线为n，使得直线m⊥α，假设β内一定存在直线α与m平行，因为m⊥α，而α∥m，所以直线a⊥α，而α⊂β，所以α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾，所以β内不一定存在直线a与m平行，因为直线m⊥α，n⊂β，所以m⊥n，所以在β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直，故选C．

3．（2016·杭州模拟）已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（　C　）

A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件

C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件

D．“l⊥m”是“α⊥β”的即不充分也不必要条件

[解析]　对于A中命题由“l⊥β”可得“α⊥β”，但反之不一定，故A中命题正确；对于B中命题，“l⊥m”不一定有“l⊥β”，但反之成立，故B中命题正确；对于C中命题，因为m∥α⇒l∥m或l与m为异面直线，所以“m⊥α”

l∥m，故C错误；对于D中命题，“l⊥m”

“α⊥β”，反之亦然，故D中命题正确，故选C．

4．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是（　C　）

A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂β

C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α

[解析]　对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.

5．（2016·南昌模拟）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（　D　）

A．不存在B．有且只有一对

C．有且只有两对D．有无数对

[解析]　过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α，故选D．

6.（教材改编题）已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是（　C　）

A．PA⊥BCB．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PBD．PC⊥BC

[解析]　AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC．故选C．

7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E中AC的中点，则下列命题中正确的是（　C　）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

[解析]　因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同量，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C．

8.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有（　A　）

A．AH⊥△EFH所在平面

B．AG⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面

D．HG⊥△AEF所在平面

[解析]　∵AD⊥DF，AB⊥BE，又∵B，C，D重合记为H，∴AH⊥HF，AH⊥HE.∴AH⊥平面EFH.

二、填空题

9．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_AB、BC、AC__；与AP垂直的直线有_AB__.

[解析]　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB．

10．在正三棱锥（底面为正三角形且侧棱相等）P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：

①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为_①②__.

[解析]　如图，∵P－ABC为正三棱锥，

∴PB⊥AC；

又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，

∴AC∥平面PDE.故①②正确．

11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

[解析]　画出图形，如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝

＝

.

三、解答题

12．（2017·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三上学期期末数学试题）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE.

[解析]　

（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似

（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE.

解：

（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，

∵AD⊂平面ABC，

∴AD⊥CC1

又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴AD⊥平面BCC1B1，

∵AD⊂平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点

∴A1F⊥B1C1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，

∴A1F⊥CC1

又∵B1C1、CC1交于点C1，∴A1F⊥面BCC1B1，

又∵AD⊥面BCC1B1，∴A1F∥AD，

又A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴A1F∥面ADE.

13．（2016·山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（1）已知AB＝BC，AE＝EC．求证：

AC⊥FB；

（2）已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：

GH∥平面ABC．

[解析]　

（1）因为EF∥DB，

所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.

因为AE＝EC，D为AC的中点，

所以DE⊥AC．

同理可得BD⊥AC．

又BD∩DE＝D，

所以AC⊥平面BDEF，

因为FB⊂平面BDEF，

所以AC⊥FB．

（2）设FC的中点为I，连接GI，HI.

在△CEF中，因为G是CE的中点，

所以GI∥EF.

又EF∥BD，所以GI∥DB．

在△CFB中，因为H是FB的中点，

所以HI∥BC，

又HI∩GI＝I，

所以平面GHI∥平面ABC．

因为GH⊂平面GHI，

所以GH∥平面ABC．

1．（2016·衡水模拟）设l是直线，α，β是两个不同的平面（　B　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

[解析]　对于A，若l∥α，l∥β，则α，β可能相交；对于B，若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β.选项C，l可能平行于β或l在平面β内；选项D，l还可能平行于β或在平面β内．

2.（2016·沧州七校联考）如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的是（　D　）

A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD

[解析]　A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D．

3．（2016·天津模拟）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC．

其中正确的是（　B　）

A．①②④B．①②③

C．②③④D．①③④

[解析]　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错，故选B．

4．（2016·泉州模拟）点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：

①三棱锥A－D1PC的体积不变；

②A1P∥平面ACD1；

③DP⊥BC1；

④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的命题序号是_①②④__.

[解析]　对于①VA－D1PC＝VP－AD1C点P到面AD1C的距离即为线BC1与面AD1的距离，为定值故①正确，对于②，因为面A1C1B∥面AD1C1所以线A1P∥面AD1C对于③，DB与BC1就成60°角，故③错，对于④由于B1D⊥面ACD1，所以面B1DP⊥面ACD1.

5.（2016·天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝

，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点.

（1）求证：

FG∥平面BED：

（2）求证：

平面BED⊥平面AED；

（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

[解析]　

（1）取BD的中点O，连接OE，OG.在△BCD中，因为G是BC中点，所以OG∥DC且OG＝

DC＝1，又因为EF∥AB，AB∥DC，所以EF∥OG且EF＝OG，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.

又FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，

所以，FG∥平面BED．

（2）在△ABD中，AD＝1，AB＝2，

∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝

，

进而∠ADB＝90°，即BD⊥AD．

又因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED．

又因为BD⊂平面BED，所以平面BED⊥平面AED．

（3）因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角．

过点A作AH⊥DE于点H，连接BH.

又平面BED∩平面AED＝ED，由

（2）知AH⊥平面BED．

所以直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.

在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝

，

由余弦定理得cos∠ADE＝

，

所以sin∠ADE＝

，

因此，AH＝AD·sin∠ADE＝

.

在Rt△AHB中，sin∠ABH＝

＝

.

所以，直线EF与平面BED所成角的正弦值为

.