解析几何多选题01.docx
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解析几何多选题01
2020解析几何多选题（Ol）
1.[2020年新髙考全国卷I数学髙考试题（山东）】已知曲线c-.mx2+ny2=∖.（）
A.若m>n>O,则C是椭圆，苴焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆，其半径为丽
C.若加”<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=
D.若m=0,∕ι>0,则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A,若fn>n>O.
则WLV2+ny2=1可化为T+T
因为In>n>O9所以丄V丄，即曲线C表示焦点在轴上的椭圆，故A正确：
InH
对于B,若m=n>0,则nix2+ny1=1可化为x2+y2=-i此时曲线C表示圆心在原点，半径为逝
的圆，故B不正确;
∆l+22=ι
对于C,若mn<0>则∕7∕√+n/=1可化为TT">此时曲线C表示双曲线，2+ny2=0
InH
可得y=故C正确;
对于D,若〃2=0∕>0,则≡2+nv2=1可化为J2=-,y=±业,此时曲线C表示平行于X轴n'U
的两条直线，故D正确:
故选：
ACD.
2.【山东省青岛r∏2020届髙三第三次模拟数学试题】在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-AiBlClDi
中，点P在侧而BCC且所在的平而上运动，则下列命题中正确的（）
A
D
A・若点P总满足PA丄则动点P的轨迹是一条直线
B.若点P到点A的距离为血，则动点P的轨迹是一个周长为2；T的圆
C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆
D.若点P到直线AD与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线
【答案】ABD
【解析】A•在正方体AC中，AC丄BOBB】丄平而ABCD.所以Bd丄AC,BBi∏BD=B9所
以AC丄平而BBlDlD,BPU平而BBIDID9所以AC丄BDIf
同理Ad丄BDrABlQAC=Af所以Bq丄平而ABICf而点P在侧而BCCIBI所在的平而上运动,
且阳丄BD19所以点P的轨迹就是直线B1C,故A正确:
B•点P的轨迹是以A为球心・半径为的球而与平而BCCIBl的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为广，球心A到平的距离为1,则厂==1，所以小圆周长
I=2πr=2π,故B正确：
C.点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平而BCCIBI内的点P满足
∖PB∖+∖PC∖=1=∖BC∖,
即满足条件的点P的轨迹就是线段BC,不是椭圆，故C不正确：
D.如图，过P分别做PM丄BC于点M,PE丄CCI于点E＞则PM丄平面ABCD,所以PM丄AD^
过M做MV丄ADt连结PN,PMCMN=M,所以AD丄平而PMV,所以PN丄ADt如图建
立平而直角坐标系，设P（X,y）,
PM=y,则PN2=i+y2,PE2=（1-λ）2,RP1+/=（1-x）2,整理为：
（x-l）'—尸=1,则动点P的轨迹是双曲线，故D正确.
故选：
ABD
3.【山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练
（二）】已知抛物线b=2∕X（P>0）的焦点为F,过点F的直线/交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交$轴于M、N两点，设线段AB的中点为P,贝U（）
A.OAOB=--P2
4
B.若∖AF∖-∖BF∖≈4p2,则直线AB的斜率为J亍
C.若抛物线上存在一点E（2√）到焦点F的距离等于3,则抛物线的方程为y2=4x
D.若点F到抛物线准线的距离为2,贝'ISinZPMN的最小值为+
【答案】ACD
y1-Ipmy-p2=Q9yλ+y2=2pm,yχy1=^p2,
222C
对于A：
04・OB=XiX.+y}y.=屮_孕+牙”=E十p?
故A正确:
2pIp44
IAFIIBFl=^+⅛+f）
对于B：
根据焦半径公式可知PI鬥=召+牛∖BF∖=χ2+L9厶厶
=（Wyl+v2+P）=m2yly2+PIn（yi+y2）+∕r
=→w2/r+2p2m2+PI=Iy（∕π2+1）,由条件可知，加2+]=4,解得：
加=±JJ,直线/的斜率
k=-=±^.故B不正确:
m
3
对于C：
由题意可知2+彳=3,解得：
p=2,则抛物线方程是y2=4χ,故C正确；
2
对于D：
由题意可知P=2,所以y1+y2=4/h,由圆的几何性质可知SinZPMN=£,〃是点P到
y轴的距离"宁…竽=上|H由分析可知W+伊W垮’且
y1+y2=2pm,yχy1=^p∖得J=2m2+∖>r=2∕√+2>所以
X=I,故D正确.
故选ACD.
4.【山东省荷泽市荷泽第一中学八一路校区2019-2020学年髙三上学期12月月考】已知椭圆
22
⅛+^=l（f∕>∕7>0）的左，右焦点是仆Λ,P是椭圆上一点，若∖PFi∖=2∖PF2∖,则椭圆的离心
率可以是（）
1112
A.—B.—C.—D.—
4323
【答案】BCD
【解析】由椭圆的定义，可得IP可+1PEl=2d,又由∖PFi∖=2∖PF1∖,解得IHq=d，|P朽I=詁，
2厂]
又由在APF1F2中，『可一|丹勺《斤鬥I,可得→∕≤2ct所以e=-≥q,即椭圆的簡心率"的取值范用是[亍J]
故选：
BCD・
5.【山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（三）】设M,N是抛物线y2=χ±的两个不同的点，O是坐标原点.若直线OM与QV的斜率之积为-；，则（）.
2
A.IOM∖+∖ONl≥4√2B.以MN为直径的圆的面积大于4〃
【答案】CD
【解析】不妨设M为第一象限内的点，
1当直线MN丄X轴时，koM=-koN,由得%,=亘,&W=一並，所以直线
222
OM,QV的方程分别为：
y=.与抛物线方程联立，得M（2,√Σ）,N（2,-Q）,
22
所以直线MN的方程为x=2,此时IOM∖+∖ONI=2√6,以MN为直径的圆的面积S=2兀,故A、
B不正确.
2当直线MN与X轴不垂直时，设直线A/N的方程为y=kx+m,与抛物线方程联立消去兀，得
fjjI
ky2-y+m=0,则△=】-4km>0・设M（Xl,y1）,W（X2,儿），则〉i〉‘2=Y・因为絡韌•心V=——，k2
所以=•则2儿y∖=-χ2x∖=一，则X儿=一2，所以Y=-2,即m=-2k,所以直
州-^2厶K
线MN的方程为y=kx-2k,即y=k（x-2）.综上可知，直线MV为恒过立点2（2,0）的动直线，
故C正确；
易知当OQ丄Λ∕N时，原点0到直线MN的距离最大，最大距离为2,
即原点0到直线MN的距离不大于2.故D正确.
故选：
CD
6.【山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（三）】设M、N是抛物线√=4y±的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为-；，则下列结论正确的是（）
4
A.IoMI+∣O∕V∣≥5
B.以A/N为直径的圆而枳的最小值为4龙
C.直线MN过抛物线X2=4y的焦点
D.点0到直线A/N的距离不大于1
【答案】BCD
【解析】对于A：
若MN与轴垂直，设直线MN为y=α（d>0）,则M（2屈町，N（―2辰切，
•■-k（）M=-γ^,%=-£’-詈=一'「.a='，即M（2,l）、N（-2,l）,此时
IOMI+∣O7V∣=2√5<5,A选项错误：
y=kx+ιn
对于B、C：
由题意可知直线MN斜率存在，设直线AZN的方程为y=∣^+mt则由<冷川，得Jr=4y
X-4k.x-4m=0,由厶=16/+16加>0,得疋+加>0.设点Λ√（x1,y1）.2,>j2）,贝IJ
Xl+x,=4k,X1X9=-4/?
?
.VkυMkoN==2∙∙==~~7=~~7^.∙.也=1，此时直线
■xlx2IoxlX21644
MN的方程为y=b∙+l,恒过定点（0,1）,C选项正确；
因为IMNl=Jl+k'•卜厂yI=Jl+.Jg+xj'_4丫内=4（1+£‘）24,所以，以AfN为直径的圆而积的最小值为4疋，B选项正确：
对于D：
点0到直线MN的距离为d==SI,D选项正确.
√F+1
故选：
BCD.
7.【山东省日照市第一中学2020届髙三下学期模拟】已知点F是抛物线/=2px（∕9>0）的焦点，AB.CD
是经过点F的弦且AB丄CD•
的斜率为R，且k>0,CA两点在X轴上方•则下列结论中一左
D.四边形ABCD面积最小值为16p2
成立的是（）
V=RX_!
_
2丿可得，Ar2x2-p（k2+2）x-^-k2p2=Of
Λ4
）厂=2PX
p（k2+2）
比+占=—
・IC
1O
⅛γ2=-∕r
对于B：
若∣AF∣∙∣βF∣=∣∕72,由（召
”警“嗒=护解得故B错;
况预"討，故刃•面后•而，C正确:
对于D：
因为AB丄CD.所以四边形ABCDm积
S昨胡MICDI斗誓也∙2"（1+Q=斗二丄=2屛宀占+2卜昕当且仅ZKK∖KJ
当疋=丄，即k=l时，等号成立：
故D错：
IC
故选AC.
22
8.【山东省济宁市嘉祥县第一中学2020届髙三下学期第四模拟】设双曲线cΛ-⅛=ιω>0^>0）的左,CrIr
右焦点分别为斥，F2，过Fl的直线I分别与双曲线左右两支交于M,N两点，以MN为直径的圆过FI,
且巫•顾社顾2,则以下结论正确的是（）
A.ZRMF2=120°；B.双曲线C的离心率为JJ：
C.双曲线C∙的渐近线方程为y=±√2x;D.直线/的斜率为1.
【答案】BC
【解析】如图，作丄MN于D,
=2I『，所以IMDI=IlI,所以D是MN中点，从而∖F2M∖=∖F1N∖,
对于A：
根据双曲线定义IMElTM用=2GIN可一|NEl=2d,所闵NFl∖-∖NF2∖=∖MN∖=4a.又以MN为直径的圆过竹，所以M禺丄NF2，ZMNF2=ZNMF2=45°,于是Z^MF2=135o,A错；
对于B：
又得IM佗I=INdl=2√L,∣7Vfj∣=（2√2+2∖/,由余弦泄理，
I^El2=∣7V^∣2+∣Λ^Λ∣2-2∣^∣∣^∣cos45o,得4c2=（2√2^/）2+（2^2+2）2a2-2×2√2t∕×（2√2+2>×-.化简得2=3,所以^=-=√3,B正确：
2Cra
对于C：
由2=匕二伫=3得代=2,即-=√2>所以渐近线方程为y=±^2x,C正确；
CrCrCra
对于D：
易知ZNF1F2故选：
BC.
9•【山东省2020届髙三第一次仿真联考数学试题】已知双曲线■-二=1（a>0,b>0）的右焦点为
F（2√6,θ）,点P的坐标为（0,1）,点O为双曲线C左支上的动点，且AP0F的周长不小于14,
则双曲线C的离心率可能为（）
A.√3B.2√3C.√5D.3
【答案】AC
【解析】设双曲线C的左焦点为F，则IQF∖-∖QF,∖=2a^∖QF∖=∖QFf∖+2a,故
IeFl+∣Pβ∣=∖QF↑+∣Pβ∣+2a≥∖PF,∖+2a.^题意可得IPFl=IPFl=阿丁1=5,所以
IP0+∣QFI+1PF∣≥2∣PF∣+2dX14,所以α≥2∙则双曲线C的离心率“£=还M屈因为小.
UU
所以双曲线C的离心率的取值范囤为（1,√6].
故选：
AC
10.【山东省泰安市2020届髙三第五次模拟】已知椭圆C:
罕+*=l（">b>0）的右焦点为F,点P在椭圆C上，点0在圆Eι（x+3）2+（y-4）2=4±,且圆E上的所有点均在椭圆C外，^IPeI-IPFI的最小值为2√5-6>且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（）A.椭圆C的焦距为2B.椭圆C的短轴长为J亍
C.∣P0+pF∣的最小值为2$D.过点F的圆E的切线斜率为二
【答案】AD
【解析】圆E的圆心为£（-3,4）,半径长为2.由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则
2d=4,可得α=2,
设椭圆的左焦点为点片,由椭圆的定义可得IPFI+P用=2d=4,∙∙∙∣PF∣=4-∣P用,
所以，IPQl_（4_阿I）=IP可+∣PQI_4卅∣+∣PEl_2_4半可_6=2点_6,当且仅当P、Q、E、片四点共线，且当P、0分别为线段E斤与椭圆C、圆E的交点时，等号成立，贝IJI^I=λ∕（-3+c）2+（4-0）2=λ∕（c-3）2+16=2√5.vθb2=U2-C2=3故椭鬪方程为——=1.
43
对于A：
椭圆C的焦距为2c=2,A选项正确：
对于B：
椭圆C的短轴长为2/9==2√3>B选项错误；
对于C：
∖PQ∖+∖PF∖≥∖PE∖+∖PF∖-2≥∖EF∖-2=y∣（-3-i）2+（4-0）2-2=4√^-2,
当且仅当P、Q、E、F四点共线，且当P、。
分别为线段EF与椭圆C、圆E的交点时，等号成立，C选项错误；
对于D：
若所求切线的斜率不存在，则直线方程为x=l,圆心E到该直线的距离为∣-3-l∣=4>2,则宜线X=I与圆E相离，不合乎题意：
若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为y=H∙v一1），即卜3k_4_刈4∣Zr+l∣
总一y—k=0.由题意可得一r====2,整理得3∕+8k+3=0,解得
y∣k2+∖y∣k2+i
k=_4=6D选项正确.
3
故选：
AD.
22
11.（2020届山东省泰安市髙三第二轮复习质量检测】已知双曲线g-*r=l（α>O">O）的一条渐近线方程为x-2y=0,双曲线的左焦点在直线χ+y+√5=0±,A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PΛ,PB的斜率分别为k^k2,则kl+k2的取值可能为（）
34
A.-B.1C.-D.2
43
【答案】CD
K1丫2
【解析】根据题意知：
-=C=F^a=2./7=1,双曲线方程为—-y2=l,则4（—2,0）,
a24
巩2,0）,设卩（30）,则普_儿2=］从>0,儿>0,心2=才^+吉=逬=佥,
根据渐近线方程知:
故选：
CD.
12.［2020届山东省泰安市高三第二轮复习质量检测】在平面直角坐标系XOy中，如图放苣的边长为2的
正方形ABCD沿X轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B（x,y）的轨迹方程是
y=∕（χ）,则对函数y=f（χ）的判断正确的是（）
A.函数g（x）=∕（x）-2√Σ在［-3,9］上有两个零点B.函数y=f（x）是偶函数
C.函数y=∕（x）在［-8,—6］上单调递增D.对任意的XWR,都有/（x+4）=—沽J
【答案】AB
【解析】当以A点为中心滚动时，B点轨迹为（-2,0）为圆心，2为半径的土圆弧；
当以D点为中心滚动时，3点轨迹为（0,0）为圆心，2√Σ为半径的扌圆弧：
当以C点为中心滚动时，B点轨迹为（2,0）为圆心，2为半径的扌圆弧：
当以B点为中心滚动时，B点不动，然后周期循环，周期为8∙
画出函数图像，如图所示：
^（0）=∕（0）-2√2=0,^（8）=∕（8）-2√2=∕（0）-2√2=0,A正确：
根据图像和周期知B正确：
函数y=f（x）在［0,2］上单调递减，故在［-8,-6］上单调递减,C错误；
取X=
-2,易知/
（2）≠/（_2），故D错误•
故选：
AB.
A・函数y=√是圆O的一个太极函数
B.圆0的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
C.函数3=Sinx是圆0的一个太极函数
D.函数.f（x）的图象关于原点对称是/'（X）为圆0的太极函数的充要条件
【答案】AC
【解析】选项A：
因为/（-X）=（-X）3=-√=-∕（x）,所以函数y=?
是奇函数，它的图象关于原
选项B:
如下图所示：
函数y=g（χ）是偶函数，y=gM也是圆0的一个太极函数，故本说法不正
选项C:
因为y=sinx是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆X2+F=1也关于原点对称，如下图所示：
因此函数3'=sinχ是圆O的一个太极函数，故本说法是正确的：
选项D：
根据选项B的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一泄关于原点对称，故本说法不正确.故选：
AC
16.【山东省滨州市2020届高三三模考】已知曲线C-.x1+y2=2∖x∖+2∖y∖,则曲线C的图形满足（）
A.关于X轴对称B.关于）'轴对称
C.关于原点对称D.所围成图形的而积为8+4;T
【答案】ABCD
【解析】设（x,y）是曲线上任意一点，由于曲线方程为x2+y2=2∣x∣+2∣y∣,所以
（x,y）,（x,—y）,（—x,y）,（-x,—y）都满足曲线方程，所以曲线C的图形满足关于X轴对称、关于A轴对称、关于原点对称，故ABC选项正确.当x>O,y>0时，曲线方程为A∙2÷y2=2x+2y,即（X-I）2+（y-l）2=2,是圆心为（1,1）,半径为J∑的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示.
阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其而积为∣×2×2+∣×λ∙×（√2）2=2÷λ∙,根据对称性可知，曲线C所用成图形的面积为（2+λ∙）×4=8÷4λ∙.故D选项正确.
故选：
ABCD
17.【山东省威海市2020届高三三模】已知抛物线y2=2px（p>0）上三点心,χ）,B（l,2）,C⅛y2）,
F为抛物线的焦点，则（）
A.抛物线的准线方程为J=-I
B.~FA+FB+FC=O>则网IF科，|疋|成等差数列
c.若a,F，C三点共线，则y1y2=-i
D.若IACl=6,则AC的中点到V轴距离的最小值为2
【答案】ABD
【解析】对于A：
把点3（1,2）代入抛物线y2=2px,得p=2,所以抛物线的准线方程为X=-I,
故A正确：
对于B：
因为A（X},yl）,B（1,2）,C（x25y2）,F（L0）,所以FA=（X1-Ly1）>帀=（0,2），
FC=U2-l,y2）,又由FA+FB+FC=6^得x1+x2=2,
所以∣M∣+∣FC∣=x1+l+x2+l=4=2∣Fβ∣,即网，∖fb∖,鬥成等差数列，故B正确;
对于C：
因为A.F.C三点共线,所以直线斜率心F=紇…即丄T=
XlT
=人所亡r吃j4y,'1科一1
化简得，Xy2故C不正确;
对于D：
设AQ的中点为o），因为∣AF∣+∣CF∣≥∣AC∣t∣AF∣+∣CF∣=x1+l+x2+l=2⅞÷2f
所以2x0+2≥6,得⅞≥2,
即AC的中点到）'轴距离的最小值为2,故D正确.
故选：
ABD.
•>2
仮【海南省≡）届高三年级第五次模拟考试】设椭畤+「I的右焦点为F,直线…（OSV
与椭圆交于儿B两点，贝IJ（）
B.MBF的周长的取值范用是[6,12]
A.∖AF∖+∖BF∖为定值
C.当m=^~时，AABF为直角三角形D.当也=1时，的面积为品
【答案】ACD
【解析】设椭圆的左焦点为F',则IAFz∣=∖BF∖,ΛIAFI+IBFI=∖AF∖+∖AFf∖=6为定值,A正确:
的周长为∖AB∖+∖AF∖+∖BF∖9因为∖AF∖+∖BF∖为定值6,：
.\AB\的范围是（0,6）,
-ABF的周长的范羽是（M2）,B错误:
•乔•丽=
时0
+
S
2
=0,・•.△初F为直角三角形，C正确:
；2
2丿
<2J
又VΓ（√6,θ）,
将y=l与椭圆方程联立，解得a（-W,1）,b（√6,1）,.∙.5uβf=1×2√6×1=√6,D正确.
2
故选：
ACD
19.【山东省潍坊市2020届髙三6月髙考模拟考试】已知椭圆C:
—+y=l（^>∕7>0）的左、右焦点分
别为林，厲且IAAl=2,点P（l,l）在椭圆内部，点。
在椭圆上，则以下说法正确的是（）
A.|0用+∣0Pl的最小值为2a-∖
B.椭圆C的短轴长可能为2
√5-∏
c.椭圆C的离心率的取值范围为°，七一
Z
D.若PFl=FiQ,则椭圆C的长轴长为√5+√Π
【答案】ACD
【解析】对于A・因为I昭1=2,所以坊（U））,阳=1,所以
∖QFl∖+∖QP∖=2a-∖QF1∖+∖QP∖≥2a-∖PF2∖=2a-∖,当Q、F“P,三点共线时，取等号，故正确:
V*\厂
B・若椭圆C的短轴长为2,则b=ta=2.所以椭圆方程为一+—=1,-+->1,则点P在椭圆
外，故错误：
C.因为点P（IJ）在椭圆内部，所以-+yaha«-1
/-3d+l>0,解得心3+巧_6+2厉_（1+石），所以血所以e=丄VQZ1,
所以椭圆C的离心率的取值范用为
Z91
D•若PFi=FlQ.则Fl为线段P0的中点，所以Q（―3,—1）,所以-+-=H又a-b=∖9即
/—110+9=0,解得「11+届_22+2届_（石+庐）,所以需=百卫7,所以椭
2442
圆C的长轴长为√5+√17,故正确•
故选：
ACD
22
20.【海南省海南中学2020届髙三数学第九次月考】已知双曲线G∆l-4=l（a>O.h>O）的焦点与
抛物线√=4y的焦点之间的距离为2,且C的离心率为、疗，则下列说法正确的有（）.
2
A.C的渐近线方程为J=±y∕2xB・C的标准方程为X2-—=1
CQ的顶点到渐近线的距离>4D.曲线经过Q的-个焦点
【答案】ABD
【解析】设抛物线X2=4y的焦点为F（0,1）,双曲线C的一个焦点坐
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