浙江远程教育工程数学作业答案.docx
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浙江远程教育工程数学作业答案
工程数学答案
1.1计算下列各式:
(2)、(a-bi)3
解(a-bi)3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3
=a3-3ab2+i(b3-3a2b);
(3)、;
解==
==
1.2、证明下列关于共轭复数的运算性质:
(1);
证()-i()
==
(2)
证=
=
=--
==()()
=--
即左边=右边,得证。
(3)=(Z2≠0)
证==()
==
==
1.4、将直线方程ax+by+c=0(a2+b2≠0)写成复数形式[提示:
记x+iy=z]
z+A+B=0,其中A=a+ib,B=2C(实数)。
解由x=,y=代入直线方程,得
()+()+c=0,
az+-bi()+2c=0,
(a-ib)z+(a+ib)+2c=0,
故z+A+B=0,其中A=a+ib,B=2C
1.5、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a≠0)写成复数形式(即用z与来表示,其中z=x+iy)
解:
x=,y=,x2+y2=z代入圆周方程,得
az+()+()+d=0,2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0
故Az++B+C=0,其中A=2a,C=2d均为实数,B=b+ic。
1.6求下列复数的模与辅角主值:
(1)、=2,
解
arg()=arctan=。
1.8将下列各复数写成三角表示式:
(2)、i;
解=1,arg()=arctan()=-a
故i=+i。
1.10、解方程:
Z3+1=0
解方程Z3+1=0,即Z3=-1,它的解是z=,由开方公式计算得
Z==+i,k=0,1,2
即Z0==+i,
Z1==1,
Z2=+i=i。
1.11指出下列不等式所确定的区域,并指明它是有界的还是无界的?
是单连通区域还是多连通区域?
(1)、2<<3;
解圆环、有界、多连域。
(3)、<argz<;
解圆环的一部分、单连域、有界。
(5)、Rez2<1;
解x2-y2<1无界、单连域。
(7)、<;
解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域;
2.2下列函数在何处可导?
何处不可导?
何处解析?
何处不解析?
(1)f(z)=z2;
解f(z)=z2=·z·z=·z=(x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+iy(x2+y2),
这里u(x,y)=x(x2+y2),v(x,y)=y(x2+y2)。
ux=x2+y2+2x2,vy=x2+y2+2y2,uy=2xy,vx=2xy。
要ux=vy,uy=-vx,当且仅当x=y=0,而ux,vy,uy,vx均连续,
故f(z)=·z2仅在z=0可导;z≠0不可导;复平面上处处不解析;
(2)、f(z)=x2+iy2;
解这里u=x2,v=y2,ux=2x,uy=0,vx=0,vy=2y,四个偏导数均连续,但ux=vy,uy=-vx仅在x=y处成立,故f(z)仅在x=y上可导,其余点均不可导,复平面上处处不解析;
2.3确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数:
(1)、;
解f(z)=是有理函数,除去分母为0的点外处处解析,故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f(z)的解析区域,奇点为z=±1,f(z)的导数为:
f’(z)=)’=则可推出==0,即u=C(常数)。
故f(z)必为D中常数。
2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv
(1)、u=(x-y)(x2+4xy+y2);
解因==3+6xy-3,所有v=dy
=+3x-+(x),又=6xy+3+’(x),而=3-3,所以’(x)=-3,则(x)=-+C。
故f(z)=u+iv=(x-y)(+4xy+)+i(-+C)
=(1-i)(x+iy)-(1-i)(x+iy)-2(1+i)-2x(1-i)+Ci
=z(1-i)()-2xyi·iz(1-i)+Ci=(1-i)z(-2xyi)+Ci
=(1-i)z3+Ci
(3)、u=2(x-1)y,f(0)=-i;
解因=2y,=2(x-1),由f(z)的解析性,有==2(x-1),v=dx=+(y),又==2y,而=’(y),所以’(y)=2y,(y)=+C,则v=++C,故f(z)=2y+i(++C),由f
(2)=i得f
(2)=i(1+C)=,推出C=0。
即f(z)=2y+i()=i(+2z)=i(1z)2
(4)、u=(x),f(0)=0;
解因=(x)+,=(-x),由f(z)的解析性,有==,==(x)+。
则v(x,y)=dx+dy+C
=+dy+C
=Xdy-dy+dy)+C
=+C
=x-+C,故f(z)=-i()+iC。
由f(0)=0知C=0
即f(z)=(x)+i()=zez。
2.13试解方程:
(1)、=1+i
解=1+i=2(+i)=2
=
(4)、+=0
解由题设知=-1,z=k-,k为整数。
2.14求下列各式的值:
(1)、
解==;
(3)、;
===·=·
=27(-i)。
第三章
3.1、计算机积分dz积分路径为
(1)自原点至1+i的直线段;
(2)自原点沿实轴至1,再由1沿直线向上至1+i;(3)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至1+i。
解
(1)dz=dt=i(1+i)=;
注:
直线段的参数方程为z=(1+i)t,0≤t≤1。
(2)C1:
y=0,dy=o,dz=dx,C2:
x=1,dx=o,dz=idy,
dz=+
=dx+idy=+i;
(3):
x=0,dz=idy;:
y=1,dz=dx。
dz=+
=dy+dx=
3.2、计算积分dz的值,其中C为
(1)=2;
(2)=4。
解令z=r,则dz==2i。
当r=2时,为4i;当r=4时,为8i。
3.6、计算dz,其中C为圆周=2;
解f(z)==在=2内有两个奇点z=0,1,分别作以0,1为中心的圆周C1,C2,C1与C2不相交,则dz=dz-dz=2i-2i=0
3.8计算下列积分值:
(1)、dz;
解dz=πi0=1-;
(3)、dz;
解dz=(3+)0i=3=3。
3.10计算下列积分:
(1)、dz;
解dz=2i=2i
(2)、dz;
解dz=2
(2)=4i
(4)、(r≠1);
解为0;r>1时n=1为2i,n≠1为0。
3.11、计算I=其中C是
(1)=1;
(2)=1;(3)=;(4)=3。
解
(1)被积函数在≤1内仅有一个奇点z=,故I=dz
=2()=i;
(2)被积函数在≤1内仅有一个奇点z=2,故I=dz=2()=i;
(3)被积函数在≤内处处解析,故I=0;
(4)、被积函数在≤3内有两个奇点z=,z=2由复合闭路原理,知I=+=dz+dz==i,其中C1为=1,C2为=1。
3.13计算下列积分:
(2)、dz;
解dz=2()’=2·=0
(3)、dz,其中:
=2,:
=3。
解dz=dz+dz
=2()”2()”
=(-1)(-1)=0
第四章
4.2下列级数是否收敛?
是否绝对收敛?
(1)、;
(2)、;
解
(1)因=发散。
故发散。
(2)=收敛;故绝对收敛。
4.4试确定下列幂级数的收敛半径:
(1)、;
(2)、;
解
(1)==1,故R=1。
(2)===e,
故R=
4.5将下列各函数展开为z的幂级数,并指出其收敛区域:
(1)、;(3)、;(5)、sin2z;
解
(1)===,原点到所有奇点的距离最小值为1,故<1。
(3)=·()’=()’
==,<1
(5)sin2z==
=,<∞。
4.7求下列函数在指定点z0处的泰勒展示:
(1)、,z0=1;
(2)、,z0=1;
解
(1)=()’=[]’==,<1
(2)==+
=+,<∞
4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数:
(1)、,0<<1,1<<+∞;(3)、,1<<2
(4)、,0<<+∞;
解
(1)0<<1时,=(1-)=,
当1<<+∞时,0<<1,=(1+)=(1+)
=+=+。
(3)==
=
=+,1<<2。
(4)0<<+∞时,=
=+==。
4.9将=在z=1处展开为洛朗级数
解f(z)==。
f(z)的奇点为z1=1,z2=2。
f(z)在0<<1与>1解析。
当0<<1时
f(z)===
=
当>1时0<<1,f(z)==+
=+
第五章
5.3、下列各函数有哪些奇点?
各属何类型(如是极点,指出它的阶数):
(1)、;
(2)、;(3)、;(4)、;(5)、;
(6)、-;
解
(1)令f(z)=,z=0,±2i为f(z)的奇点,因=,所以z=0为简单极点,又==,所以z=2i为二阶极点,同理z=亦为二阶极点。
(2)因==1,所以z=0为二阶极点。
(3)令f(z)==,则的零点为z=k-,k=0,±1,±2,…因()’=(
==0,所以都为简单极点。
(4)令f(z)=,=,则的零点为z=,k=0,±1,±2,…。
因=(z++…)=(1++…),z=0为的三阶零点,故f(z)的三阶极点。
又)’=(2z()+)0,故z=为的一阶零点,即为f(z)的简单极点。
(5)令f(z)=,z=0为其孤立奇点。
因==1,所以z=0为可去奇点。
(6)令f(z)=-=,z=0和()为其孤立奇点。
因===,所以z=0为可去奇点,又==(),所以z=(k=0,±1,±2,…)为的一阶零点,即为f(z)的简单极点。
5.5、如果与g(z)是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数,则=(或两端均为)。
[提示:
将写成的形式,再讨论。
]
证设为的m阶零点,为g(z)的n阶零点,则=,在0,m≥1,g(z)=,在0,n≥1。
因而
=,
==
当m=n时,
(1)式==
(2)式,当m>n时,
(1)式=
(2)式=0,
当m<n时,
(1)式=
(2)式=∞。
5.7求出下列函数在孤立奇点处的留数:
(1)、;
(2)、;(5)、;(6)、;
解
(1)令=,孤立奇点仅有0。
Res[,0]===0
(2)z=2为简单极点,z=±i为二阶极点。
Res[,2]===,Res[,i]===。
同理可计算Res[,-i]=。
(5)的孤立奇点为z=0,=kπ(k=±1,±2,…),其中,z=0为二阶极点,这是由于===,在z=0处解析。
且≠0所以Res[,0]==
==0,易知=kπ(k=±1,±2,…)为简单极点,所以Res[,kπ](k=±1,±2,…)为简单极点,所以Res[,kπ]===(k=±1,±2,…)。
(6)=在整个复平面上解析,无孤立奇点。
5.8利用留数计算下列积分:
(1)、=0;
(2)、dz=;
(4)、=-2
解
(1)=2Res[,0]=2
=2=2
=2=2=0
(2)dz=2Res[,1]=2=。
(4)=2=2=2
5.12求下列各积分之值:
(1)、();(3)、d();(4)、d;
解
(1)dz=dz
=dz。
令=,其中a=a,=+为实系数二次方程=0的两相异实根,显然>1,<1,被积函数在=1上无奇点,在单位圆内部又是一个简单极点z=故Res[,]=·==,即
=2Res[,]=
(3)=它共有两个二阶极点,且()在实轴上无奇点,在上半平面仅有二阶极点ai,所以=2Res[,]=2=2=
(4)不难验证=满足若尔当引理条件,函数有两个一阶极点-2+i,-2-i。
Res[,-2+i]===,
d=2Res[,-2+i]=()。
故d=
第八章
8.4求下列函数的傅氏变换,并证明所列的积分等式。
(1)、f(t)=;
(2)、f(t)=;
(3)、f(t)
解
(1)[f(t)]=dt=dt+dt
=dt+dt=2jdt==[1-]
(2)F()=dt=dt=dt
==
(3)F()=dt=dt
=dt-dt
=-2dt
=[]
=()[tdt]=()。
8.5求下列函数的傅氏变换,并证明所列的积分等式。
(2)、f(t)=证明d=
解
(2)F()=dt=dt
=dt=2jdt
=jdt
=j()=j()=
8.13证明下列各式:
(1)、f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t);
8.14、设f1(t)=f2(t)=求f1(t)*f2(t)。
解f1(t)*f2(t)=dt当t≤0时,f1(t)*f2(t)=0;当t>0时,f1(t)*f2(t)=dt==1故f1(t)*f2(t)=
8.15设F1()=F[f1(t)],F2)=[f2(t)],证明:
f1(t)·f2(t)]=F1()*F2)。
证F1()*F2)=du=dt]du
=du
=dt
=dt
=dt
=dt=f1(t)·f2(t)]
第九章
9.1求下列函数的拉氏变换:
(1)、f(t)=;
(2)、f(t)=
解
(1)F(s)=[f(t)]=dt=3dtdt
=+
(2)F(s)=[f(t)]=dt=3dt+dt
=+dt
=(1-)+dt
=(1-)+()=(1-)+()
(Res>0)
=(1-)+()=(1-)-
9.2求下列函数的拉氏变换:
(1)、;(4)、;
解
(1)[]=dt=dt
=[](Res>0)=
(4)[]=dt=dt=[t-dt]
=dt(Res>0)=
9.3求下列函数的拉氏变换:
(1)、t2+3t+2;(3)、;(5)、t;
解
(1)由=及[1]=有[]=++
(3)[]=[2t+]=+=
(5)由微积分性质有:
[t]=([]’)s=()=
9.4利用拉氏变换的性质,计算:
(1)、f(t)=t;
(2)、f(t)=t;
解
(1)[]==
[t]=[]==
(2)[]=[]=
[t]=()’=
9.5利用拉氏变换性质,计算:
(2)、=;(4)、=;
解
(2)=,令[]=f(t)
===()=(tf(t))=(-tf(t)),故
[]=f(t)=
(4)由于·=,由积分的像函数性质[]=dt=
9.6、利用像函数的积分性质,计算;
(1)、f(t)=;
(2)dt;
解
(1)()==,
[]=ds=d()=arctan
(2)[]=,
[dt]=[]=ds=
9.8求下列像函数F(s)的拉氏变换:
(5)、;(7)、;
解(5)=
(7)=+=t+(t-2)u(t-2)
=
9.11利用卷积定理证明下列等式:
(1)、[]=[f(t)*u(t)]=;
(2)、=(a≠0)。
证
(1)[f(t)*u(t)]=[f(t)]*[u(t)]=F(s)·,
[f(t)*u(t)]=[]=[]=[]
(2)F(s)==·由=,=有f(t)==*
=·dt=·]dt
=+=+[]
=
教材:
《常微分方程》第二版
P51第一章
2、验证函数y=cx+(c是常数)和y=2都是方程y=xy’+的解。
解证明:
y=cx+,y’=cxy’+=cx+=y。
Y=±2,y’=±xy’+=±2=y。
4、验证函数y=c1+c2(k、c1、c2是常数)是方程y”+k2y=0的解。
证明:
y=c1+c2y’=c1k+c2ky”=c1k2c2k2y”+k2y=c1k2c2k2+c1k2+c2k2。
6、dx+y;
解:
=及y±1。
8、y’=(1-y2)
解:
==+c=c
=ccos2xy=,y(0)==2c=y=。
9、求下列齐次方程的解;
解:
令y=ux,==
--=+c=cx=cx=cx
==c,及y=±x。
10、求下列齐次方程的解=(1+);
解:
=(1+),令y=uxx+u=u(1+)x=u
du=dx=+c=cx,u=,x>0y=x。
12、求下列齐次方程的解=2+,y
(1)=4;
解:
令y=ux,u≥0x+u=2+u=dx=+c=cx
=cx,y
(1)=4=c,c==x=2+。
13、求下列齐次方程的解xy’-y=,y
(1)=;
解:
令y=ux,x(x)-ux==若x>0,=arc=+c;若x<0,=arc=+c。
y
(1)==ux1=ux>0arc=+c,c=
arc=。
14、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解=;
解:
y’+y=,p(x)=,f(x)=,==
y=()=()=+。
15、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解+2xy+x=,y(0)=2;
解:
+2xy+x=-x,p(x)=2x,f(x)=-x,=
y==()
=(x-)=(c+x),y(0)=c=2c=-
17、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解--=0,y(0)=1;
解:
两边乘以y,y--=0,令z=
==x。
p(x)=,f(x)=x=
==,这里初值是x=0取<1。
z=()=(),=()。
y(0)=1>0。
y(0)==1
-1+c=1c=2y=。
19、验证下列方程为全微分方程或找出积分因子,然后求其解(5ydx+)+dx=0
解:
(5ydx+)+dx=0=,=是全微分方程,u(x,y)=+=-++-=+-=c+=c
20、验证下列方程为全微分方程或找出积分因子,然后求其解2(ydx+xdy)+xdx-5ydy=0,y(0)=1。
解:
(2y+x)dx+(2x-5y)dy=0=2,=2全微分方程,
u(x,y)=+
=x-+-+2xy-2x-+
=-+2xy--+=0-+4xy+=0
P106第二章
7、求下列方程的通解或特解y”-4y’=0
解:
-4λ=0,=0,=4,通解为y=+。
8、求下列方程的通解或特解y”+2y=0
解:
+2=0,=,=,通解为y=+c2。
9、求下列方程的通解或特解y”-2y’+y=0
解:
-2λ+1=0λ=1通解为y=(c1+c2x)。
10、求下列方程的通解或特解y”+4y’+13y=0
解:
+4λ+13=0,=-2+3i,=-2-3i,通解为(c1+c2)。
11、求下列方程的通解或特解y”-5y’+4y=0,y,y’。
解:
-5λ+4=0,=1,=4,则通解为y=+,于是我们有y’=+4,代入初始条件,于是有,那么解为:
y=4+
18、求下列方程的通解或特解y”+y=a(a是常数),y(0)=0,y’(0)=0;
解:
齐次方程的通解为=+c2,去特解=A,则A=a,所以y=+c2+a,y’=+,代入初值,得到,于是解为y=a+a
19、求下列方程的通解或特解y”+5y’+4y=20,y(0)=0,y’(0)=-2;
解:
齐次方程的通解为=+。
设特解为=A,
则A+5A+4A=20,代入初始条件,我们有,得到,那么解就为y=-4+2+2。
24、求下列方程的通解或特解y”+2y’+y=2
解:
齐次方程的通解为=(+),设特解为=A,于是有’=2AA,”=2A4A+A,则有A=1,
那么解为y=(++)。
26、求下列方程的通解或特解+x=,x=;
解:
齐次方程的通解为=+,
x’=++,代入初始条件就得到,
得到,于是解为x=-2
27、求下列方程的通解或特解+x=,a>0;
解:
当a=1时,设特解为=A,此时有=,可得A=,于是就有解为x=+。
当a1时,设特解为=A,此时有=A,可得A=。
于是就有解为x=++。
28、求下列方程的通解或特解+3=2+;
解:
齐次方程的通解为=,设特解为=A+B,
可得=AB=AB。
于是就可得到A=,B=。
那么y=++
31、求下列方程的通解或特解2y”+5y’=cos2x
解:
齐次方程的通解为=,因为cos2x=,则我们设特解为=Ax,=B,于是可得到A=,B=,那么解为
y=+++
33、求下列方程的通解或特解y”-2y’+2y=;
解:
齐次方程的通解为=(+)。
设特解为=A,则有’=A(),”=-2Ai,于是可得A=,那么解为y=(+)+()。
34、求下列方程的通解或特解y”+4y=x
解:
齐次方程的通解为=+,设特解为=x(Ax+B)。
则有”=[2A+4i(2Ax+B)-4(A+Bx)],于是可得A=,B=,那么解为y=++。