第六章定积分的应用.docx

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第六章定积分的应用

第六章定积分的应用

第一节定积分的元素法

教学目的:

理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法教学S点：

元素法的思想教学难点，元素法的正确运用教学内容:

再论曲边梯形面积计算

设/（X）在区间S■切上连续，且/（x）＞0＞求以曲线y=/（X）为曲边，底为S"]的曲边梯形的而枳A°

1•化整为零

用任意一组分点4=兀0＜召＜・・・＜兀・|＜壬V…=b将区间分成n个小区间其长度为

=Xj—-Vj_|=1,2.•••9打）

并记/l=max{△^|,心2,…，心"}相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第/个窄曲边梯形的而枳记为

于是A=Y^iI-）

2•以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零"的近似值

M€［兀"召"=12…曲）

3.积零为整，给出“整"的近似值

4.取极限，使近似值向精确值转化

上述做法蕴含有如下两个实质性的问题:

（1）若将⑷切分成部分区间a」xj（i=12…,则A相应地分成部分量

这表明：

所求量A对于区间［仏切具有可加性。

（2）用/©）山;近似AA「误差应是心f的高阶无穷小。

只有这样，和式土畑》的极限方才是精确值A。

故关键是确卫I-）

MX/©）工（*一/©）*=心））

通过对求曲边梯形而积问题的回顾、分析、提炼，我们可以给出用世积分讣算某个量的条件与步骤。

二元素法

1•能用;^积分il•算的量"，应满足下列三个条件

仃）U与变量X的变化区间有关:

（2）"对于区间具有可加性;

⑶U部分近似地表示成

2.写出计算U的定积分表达式步骤

（1）根据问题，选取一个变量X为积分变量,并确企它的变化区间［a,b］z

（2）设想将区间［a,b］分成若干小区间，取幷中的任一小区间［x,x+dx］.

求出它所对应的部分MAt/的近似值

At/f（x）dx（/（X）为leb］卜一连续函数）

则称fMdx为量U的元素•且记作dU=f{x）cixo

（3）以U的元素〃C/作被枳表达式，以［a,b］为积分区间，得

U=jf（x）dx

a

这个方法叫做元素法，：

rt实质是找出U的元素dtZ的微分表达式

因此，也称此法为微元法。

小结：

元素法的提出、思想、步骤

（注意微元法的本质）

作业：

作业卡

教学目的:

学会用元素法计算平面图形的面积教学重点：

直角坐标系下平面图形的面积计算教学难点:

面积元素的选取教学内容:

一、宜角坐标的情形

由曲线y=/（x）（/（x）>0）及直线x=a^x=b（a

所用成的曲边梯形而积A°

b

A=〕/（x）〃兀其中：

f（x）dx为而积元素。

a

f{x）>g（x）所围成的图形而积A。

hh

A=J/（X）dx-^^（x）dx=J[/（X）一g（x）]dx

oaa

苴中：

lf（x）-g（x）]cix为而积元素。

例1il•算抛物线r=2x与直线>=%-4所囤成的图形而积。

解：

K先画所用的图形简图

{

^2_2Y

y=",得交点:

（2-2）和（&4）。

y=x-4

2.选择积分变量并定区间

选取X为积分变量•则0

3.给出而积元素

在2

iiA=[V57-（X-4）]

=（4+y/2x-x}（ix

4.列窪积分表达式

2K

A=J2j2xdx+J[4+J2x—x]dx（>

4后I=乂2

3

=18

另解:

若选取y为积分变量，则-2

dA=[（y+4}--y^]dy

4J

A=J（y+4-—）2）心-2Z

4

■2_+4y—2_

-2

2丿6

=18

显然,解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。

例2求椭圆^+22=1所用成的而枳（“>0上>0）。

“•h-

解：

据椭圆图形的对称性，整个椭圆而积应为位于第一象限内而积的4倍。

取X为积分变量，贝I]0

dA=ydx=/?

Jlydx

Va-

aa\

故A=4jydx=4j/?

Jl-

00V

作变量替换x=ncosr

0

A=町（〃sin0（-0sint}dt

.（2-1）!

!

兀

=AabsmP/r=Aab

J2!

!

2

二、极坐标情形

设平而图形是由曲线r=0（&）及射线0=a,0=0所围成的曲边扇形。

取极角&为积分变量，则a

极角变化区间为［0.0+de｝的窄曲边扇形。

△4的而积可近似地用半径为r=0（&）,中心角为的窄圆边扇形的面枳来代替，即

从而得到了曲边梯形的而积元素〃4=一［0（&）］2〃&

2

从而

例3il•算心脏线F=d（l+COSe）（d>0）所崗成的图形而枳。

解：

由于心脏线关于极轴对称,

A=2j丄“（1+cos0）2〃&=/jf2COS"—de

（）20V2,

JT

Hp7

=4"jcos"—〃&令（"cos%”

02b

。

2（4-1）!

!

兀32"

&/=—aJi

4!

!

22

小结：

求在直角坐标系下、极坐标系下平而图形的而积.作业：

作业卡P67~P68

教学目的：

掌握用定积分的元素法计算体积教学重点:

体积的计算教学难点，体积元素的选取教学内容:

一、旋转体的体积

旋转体是由一个平而图形绕该平面内一条ik直线旋转一周而生成的立体，该世直线称为旋转轴。

计算由曲线y=/（%）直线x=a.x=b及x轴所用成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的立体的体积。

取X为积分变量，则对于区间[a.b][：

的任一区间[x.x+dx]■它所对应的窄曲边梯形绕X轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f（x）为底半径，d・x•为高的圆柱体体枳。

即：

体积元素为

JV=7r[f（x）Fdx

所求的旋转体的体积为

r

例1求由曲线＞'=-•%及直线x=0＞X=加力＞0）和X轴所围成的三角形绕X轴旋转而b

生成的立体的体枳。

解：

取为积分变童则xe[OJ（]

h/\2

V=J"—Xdx=

0

二、平行截面面积为已知的立体的体积（截面法）

由旋转体体积的讣算过程可以发现:

如果知逍该立体上垂直于一宦轴的各个截而的而积,那么这个立体的体积也可以用；4^枳分来计算.

从）

取圧轴为X轴，且设该立体在过点x=a.x=h且垂直于X轴的两个平而之内，以

A（x）表示过点X且垂宜于X轴的截而而积。

取X为枳分变量，它的变化区间为［/切。

立体中柑应于上任一小区间［x.x+dx］的一薄片的体积近似于底而积为A（x），高为c/・X•的扁圆柱体的体积。

Rib体积元素为dV=A（x}dx于是，该立体的体积为V=JA（x}clx例2计算椭圆4+4=1所闱成的图形绕X轴旋转而成的立体体积。

解：

这个旋转体可看作是由上半个椭圆y丄及X轴所用成的图形绕丄•轴旋转所

a

生成的立体。

在X处（-a

A（x）=兀•（2J/—F）2

a

a,2A

V=JA（x}dx=—J（rt"_X"）dx=—加沪—a"—a

例3il•算摆线的一拱

x=a（t—sint）

（0

y=a（l-cos/）

以及y=0所帀成的平面图形绕y轴旋转而生成的立体的体积。

2a2a

解Jv=J;r・x；（y）dy-J;r・X]2（y）〃y

00

龙/r

=71fz7^（z-sinr）"•asinfdf-

2/r0

2才

=一殛2J（f_sin/）2sintdt

0

=6;r怙'

2/r

请自行计算定积分J（z-sinO"sinzJz

0

小结：

旋转体体积

平行截面已知的立体的体积

作业：

作业卡P69

第四节平面曲线的弧长

教学目的：

掌握用定积分元素法计算平面曲线的弧长,教学重点:

平面曲线弧长的il•算教学难点:

弧长元素的选取教学内容:

一、宜角坐标情形

设函数/（x）在区间［仏®I:

具有一阶连续的导数•计算曲线y=/（X）的长度

X

取X为积分变量，则xe在［a切上任取一小区间［x.x+clx］.那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度心可以用它的弧微分c/s来近似。

于是，弧长元素为

ds=Ji+Lra）F厶

弧长为

b

$=JJi+Lr（x）fdx

a

例1汁算曲线y=^x^（a

解Jds=yfl+（長）2dx=a/I+xdx

b22

S=JJl+xdx=—（1+X）2

a

二.参数方程的情形

若曲线由参数方程

fx=0（/）

:

、g<0）

ly=0（0

给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成

〃$=J（dx）2+（dy）2=7E0（f）F+0（/）F〃/

的形式•从而有

例2i|•算半径为7•的圆周长度。

解：

圆的参数方程为

X=广cos/

（0

y=rsiii/

ds=^（―rsin/）?

+（rcosf）"dt=rdt

三、极坐标情形

若曲线由极坐标方程

r=r（0）（a<0<0）

给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长汁算公式即可。

曲线的参数方程为

X=n&）cos&

y=『（&）sin0（*&"）

此时&变成了参数,且弧长元素为

ds=J（〃x）2+（dy）2

=J（r'cos&-"in0）2（"0）2+O"sin&+rcosG）""。

）'

=肿+严de

从而有

例3计算心脏线r=a（l+cos0）（0<0<2兀）的弧长。

解Jds=^«"（1+COS0"+{—asin0}^d0

小结:

作业:

e

=2"cos—dQ

2

2龙

=J2n

0

n

cos

COS0dcp

0

"2n

=4-a[JcOS（jpd

0兰

7

=8d

平面曲线弧长的概念

弧微分的概念

求弧长的公式直角坐标系下参数方程极坐标系下

作业卡P70

第五节功.水压力和引力

教学目的:

理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题

功，水压力和引力

教学重点：

如何将物理问题抽象成数学问题教学难点：

元素法的正确运用教学内容:

一、变力沿直线所作的功

例1半径为尸的球沉入水中，球的上部与水而相切，球的比重为1，现将这球从水

中取出，需作多少功？

解：

建立如图所示的坐标系

2r

将髙为r的球缺取出水面，所需的力F（x）为：

F（x）=G-斥字其中:

G=—\g是球的重力，件孚表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。

y

由球缺公式V=一一）有

43r4X

—龙•r—）•1•e

33

从而F（x）=;r-x-（r-y）g（xe[0.2r]）

十分明显，F（x）表示取出水面的球缺的重力。

即:

仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。

从水中将球取出所作的功等于变力F（x）从0改变至2r时所作的功。

取X为枳分变或则xe［0,2rb对于［0・2r］上的任一小区间［“+厶］，变力F（x）从0到x+c/x这段距离内所作的功。

dW=F（x）Jx=;r-x-（r--）g

这就是功元素■并且功为

另解：

建立如图所示的坐标系

取X为枳分变量，则Xe[0,2r]o在[0,2r]上任取一个小区间[x^v+Jx],则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为

兀（Jr2_（F-x）2）2dx

由于球的比重为1,故此薄片质量约为

dm=;r（r"-（r-%）"]Jx-1

将此薄片取出水而所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水而需移动距离为%O

故功元素为

dW=cbn•g・X=;zg（r"-（r一x）"]xdx

W=J驾”2-（r-X）"]x

00

二水压力

在水深为力处的压强为p=yh,这里/是水的比重。

如果有一而积为A的平板水平地放置在水深"处，那未，平板一侧所受的水压力为

P=A=yhA

若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。

此时，平板一侧所受的水压力就必须使用；4^积分来计算。

例2边长为d和b的矩形薄板，与水而成a角斜沉于水中，长边平行于水而而位于水深力

处。

设a>b,水的比重为y,试求薄板所受的水压力

解:

由于薄板与水而成a角斜放直于水中，则它位于水中最深的位置是

h+hsma

取X为积分变量，则xe［hji+h^shya］（注意：

兀表示水深）在［bji+b^sina］中任取一小区间［XK+厶］，与此小区间柑对应的薄板上一个小窄条形的而积是

dx

sina

它所承受的水压力约为

dx

7•X•a

sina

于是•压力元素为

心工2斗

sina

——[（/;+Z?

sinor）"-/?

"]

2sina

———（2/?

/?

sina+h^sin"a）

2sina

=ahh/+—ah（hsina）/

这一结果的实际意义十分明显，abh/iE好是薄板水平放宜在深度为/?

的水中时所受到的压力，而Lah{hs^a}r是将薄板斜放置所产生的压力■它相当于将薄板水平放置在深度为

处所受的水压力。

三.引力

由物理学知道:

质量为叫叫,相距为厂的两质点间的引力大小为

r

£为引力系数。

引力的方向沿着两质点的连线方向。

如果要讣算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的.且齐点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作il•算了。

例3设有一半径为R,中心角为0的圆弧形细棒，其线密度为常数在圆心处有一质量为川的质点M,试求这细棒对质点M的引力.

解决这类问题，一般来说,应选择一个适当的坐标系。

r

解：

建立如图所示的坐标系，质点M位于坐标原点，该圆弧的参方程为

x=RcosB（p（p

b=Rsin&（一厂&近）

在圆弧细棒上截取一小段，其长度为"S,它的质量为八/$，到原点的距离为尖夹角为0,它对质点M的引力的大小约为

在水平方向（即X轴）上的分力的近似值为

而ds=J仏）2+（如=Rde于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力竹的元素,

£

}kmpaa2kmp.（p=—cos&/0=sin—

打RR2

类似地

2

F=fclF=f如sin创&=0

'L\R

"y"7

因此，引力的大小为爷sin导而方向指向圆弧的中心

小结利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题