用图像处理实验数据和误差分析之胡克定律相关实验高三物理一轮复习专题.docx

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用图像处理实验数据和误差分析之胡克定律相关实验高三物理一轮复习专题

一.实验原理与描绘图像

〔一〕对胡克定律的理解

内容

在弹性限度内，弹簧弹力的大小F跟弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比

公式

F＝kx

定

律

理

解

成立

条件

在弹性限度内

对x的

认识

x是弹簧的形变量，不是弹簧形变后的长度，可能为伸长量（l－l0），也可能为缩短量（l0－l）

对k的

认识

k为弹簧的劲度系数，只与弹簧本身有关，由弹簧本身的材料、长度、粗细、匝数等因素决定．它反映了弹簧的软硬程度，k值越大，弹簧越硬，其长度越难改变

F－x图像

一条过原点的倾斜直线

直线的斜率表示弹簧的劲度系数k

推论

弹簧弹力的变化量ΔF与弹簧的形变量的变化量Δx也成正比，即ΔF＝kΔx

由F1＝kx1，F2＝kx2推导而来

〔二〕实验步骤

1.安装实验仪器（如下图）。

2．测量弹簧的伸长量（或总长）及所受的拉力（或所挂钩码的质量），列表作出记录，要尽可能多测几组数据。

3．根据所测数据在坐标纸上描点，以力为纵坐标，以弹簧的伸长量为横坐标。

4．按照在图中所绘点的分布与走向，作出一条平滑的曲线（包括直线），使尽可能多的点落在线上，不能落在线上的点均匀分布在线的两侧，离线较远的点舍弃。

5．以弹簧的伸长量为自变量，写出曲线所代表的函数，首先尝试一次函数，如果不行再考虑二次函数。

〔三〕相关实验数据处理与分析

1．列表分析法：

分析列表中弹簧拉力F与对应弹簧的形变量Δx的关系，可以先考虑F和Δx的乘积，再考虑F和Δx的比值，也可以考虑F和（Δx）2的关系或F和

的关系等，结论：

为常数．

2．图象分析法：

作出F－Δx图象，如下图．此图象是过坐标原点的一条直线，即F和Δx成正比关系．

作图的规那么：

（1）要在坐标轴上标明轴名、单位，恰当地选取纵轴、横轴的标度，并根据数据特点正确确定坐标起点，使所作出的图象尽可能占满整个坐标图纸．假设弹簧原长较长，那么横坐标的起点可以不从零开始．

（2）作图线时，尽可能使直线通过较多坐标描点，不在直线上的点也要尽可能均匀分布在直线的两侧（假设有个别点偏离太远，那么是因偶然误差太大所致，应舍去）．

（3）要注意坐标轴代表的物理量的意义，注意分析图象的斜率、截距的意义．

二.用图像处理实验数据和进行误差分析的方法

分析处理图像信息前，要根据胡克定律等规律推导出横纵坐标所表示的物理量间的关系式〔函数解析式〕。

然后，根据解析式，明确直线的斜率和截距表示的物理意义。

最后.根据实验目的和原理，结合图像解决设问。

三.例题精讲

题型一：

常规题

例1　一个实验小组做“探究弹簧弹力与弹簧伸长关系〞的实验。

（1）甲采用如图a所示装置，质量不计的弹簧下端挂一个小盘，在小盘中增添砝码，改变弹簧的弹力，实验中作出小盘中砝码重力随弹簧伸长量x变化的图像如图b所示。

（重力加速度g＝10m/s2）

①利用图b中图像，可求得该弹簧的劲度系数为________N/m。

②利用图b中图像，可求得小盘的质量为________kg，小盘的质量会导致弹簧劲度系数的测量结果与真实值相比________（选填“偏大〞“偏小〞或“相同〞）。

（2）为了制作一个弹簧测力计，乙同学选了A、B两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图c所示的图像，为了制作一个量程较大的弹簧测力计，应选弹簧________（填“A〞或“B〞）；为了制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧________（填“A〞或“B〞）。

解答　

（1）①200__②0.1相同2）BA。

（1）①由图b中图像可知，弹簧的劲度系数：

k＝

＝

N/cm＝2N/cm＝200N/m。

②由图b中图像可知：

mg＝kx1，解得小盘质量：

m＝

＝

kg＝0.1kg；应用图像法处理实验数据，小盘的质量不会影响弹簧劲度系数的测量结果，即测量结果与真实值相同。

（2）由图c可知，弹簧A所受拉力超过4N那么超过弹性限度，弹簧B所受拉力超过8N那么超过弹性限度，故为了制作一个量程较大的弹簧测力计，应选弹簧B；由图c可知，在相同拉力作用下，弹簧A的伸长量大，那么为了制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧A。

题型二：

创新题

例2．（·全国卷Ⅱ）某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度（圈数）的关系。

实验装置如图a所示：

一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度。

设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100kg的砝码时，各指针的位置记为x。

测量及局部计算结果如下表所示（n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80m/s2）。

实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88cm。

P1

P2

P3

P4

P5

P6

x0（cm）

2.04

4.06

6.06

8.05

10.03

12.01

x（cm）

2.64

5.26

7.81

10.30

12.93

15.41

n

10

20

30

40

50

60

k（N/m）

163

①

56.0

43.6

33.8

28.8

（m/N）

0.0061

②

0.0179

0.0229

0.0296

0.0347

（1）将表中数据补充完整：

①________，②________。

（2）以n为横坐标，

为纵坐标，在图b给出的坐标纸上画出

n的图象。

（3）图b中画出的直线可近似认为通过原点。

假设从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k＝________N/m；该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0（单位为m）的关系的表达式为k＝________N/m。

答案　

（1）①81.7　②0.0122　

（2）

n图象如下图

（3）

解析　

（1）由胡克定律有k＝

＝

N/m＝81.7N/m，故有

＝0.0122m/N。

（2）作图过程略，图见答案。

（3）因

n图线是一条过原点的直线，由图可得图线的斜率

＝5.71×10－4m/N，故有

＝5.71×10－4×nm/N，即k＝

（N/m），由题知，n＝60时l0＝11.88cm，可知n＝

l0，代入得k＝

（N/m）。

四.举一反三，稳固练习

1　在“探究弹簧弹力和弹簧伸长量的关系〞的实验中。

（1）某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹簧弹力与弹簧长度的图像如下图。

以下表述正确的选项是________。

A．a的原长比b的长

B．a的劲度系数比b的大

C．a的劲度系数比b的小

D．测得的弹簧弹力与弹簧的长度成正比

（2）为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码。

实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出。

作出ml的关系图线。

弹簧的劲度系数为________N/m（结果保存三位有效数字）。

（3）假设悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，那么实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏________。

2.某同学用如图甲所示装置测量一轻弹簧的劲度系数，器材如下：

一端有挡板、长为l的光滑木板，一把刻度尺，一个质量为m的重物，一待测轻弹簧。

实验步骤如下：

（1）将木板水平放置，弹簧的左端固定在挡板上；

（2）将重物贴近弹簧右端；

（3）将木板的右端缓慢抬高不同的高度，测出弹簧的长度x1、x2……和此时木板右端到水平面的高度h1、h2……。

以x为纵轴，________

为横轴，作出的图像如图乙所示，其图像斜率为K。

该弹簧的劲度系数为________，图像纵轴截距的物理意义是________。

3．某同学在研究性学习中，利用所学的知识解决了如下问题：

把一开口向右、内壁光滑、深度为h＝0.25m的小圆筒水平固定在桌面上，同时把一轻弹簧一端固定于小圆筒内部左端，没有外力作用时弹簧的另一端位于筒内。

如图甲所示，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒外弹簧的长度l，现要测出弹簧的原长l0和弹簧的劲度系数，该同学通过改变所挂钩码的个数来改变l，作出Fl图线如图乙所示。

（1）由此图线可得出的结论是____________________。

（2）弹簧的劲度系数为________N/m，弹簧的原长l0＝________m。

（3）该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧竖直悬挂放置相比拟，优点在于________________________。

4.在探究弹簧的伸长量x与所受拉力F之间的关系实验中，某实验小组根据实验数据获得如图7所示的图象，那么：

图7

（1）该弹簧的劲度系数是________N/m.

（2）实验中，操作者从弹簧的原长用力缓慢地拉伸到伸长量为x＝40cm时，拉力对弹簧做功________J，此时弹簧的弹性势能是________J.

5．某同学为研究橡皮筋伸长与所受拉力的关系，做了如下实验：

①如下图，将白纸固定在制图板上，橡皮筋一端固定在O点，另一端A系一小段轻绳（带绳结），将制图板竖直固定在铁架台上．

②将质量为m＝100g的钩码挂在绳结上，静止时描下橡皮筋下端点的位置A0；用水平力拉A点，使A点在新的位置静止，描下此时橡皮筋下端点的位置A1；逐渐增大水平力，重复5次……

③取下制图板，量出A1、A2……各点到O的距离l1、l2……量出各次橡皮筋与OA0之间的夹角α1、α2……

④在坐标纸上作出

l的图象如下图．

完成以下填空：

（1）重力加速度为g，当橡皮筋与OA0间的夹角为α时，

橡皮筋所受的拉力大小为（用g、m、α表示）．

（2）取g＝10m/s2，由图象可得橡皮筋的劲度系数k＝

N/m，橡皮筋的原长l0＝m．（结果均保存两位有效数字）

五.举一反三，稳固练习参考答案

1　在“探究弹簧弹力和弹簧伸长量的关系〞的实验中。

（1）某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹簧弹力与弹簧长度的图像如下图。

以下表述正确的选项是________。

A．a的原长比b的长

B．a的劲度系数比b的大

C．a的劲度系数比b的小

D．测得的弹簧弹力与弹簧的长度成正比

（2）为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码。

实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出。

作出ml的关系图线。

弹簧的劲度系数为________N/m（结果保存三位有效数字）。

（3）假设悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，那么实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏________。

答案　

（1）B

（2）图线如下图　0.255（0.248～0.262均正确）

（3）大

解析　

（1）在Fl图像中，图线与l轴交点的横坐标表示弹簧原长，故a的原长比b的短，A错误；题图图线的斜率表示弹簧的劲度系数，所以a的劲度系数比b的大，B正确，C错误；由于图像没有通过原点，弹簧的长度等于原长加变化量，弹力和弹簧的长度不成正比，D错误。

（2）由胡克定律F＝kx得：

k＝

＝

＝g·k斜＝0.255N/m。

（3）因钩码所标数值比实际质量偏大，且所用钩码越多，偏差越大，因此所作出的ml图线比实际情况下的图线斜率大，测得的劲度系数偏大。

2.某同学用如图甲所示装置测量一轻弹簧的劲度系数，器材如下：

一端有挡板、长为l的光滑木板，一把刻度尺，一个质量为m的重物，一待测轻弹簧。

实验步骤如下：

（1）将木板水平放置，弹簧的左端固定在挡板上；

（2）将重物贴近弹簧右端；

（3）将木板的右端缓慢抬高不同的高度，测出弹簧的长度x1、x2……和此时木板右端到水平面的高度h1、h2……。

以x为纵轴，________

为横轴，作出的图像如图乙所示，其图像斜率为K。

该弹簧的劲度系数为________，图像纵轴截距的物理意义是________。

答案　h　－

　弹簧原长。

解析设木板与水平面的夹角为θ，弹簧劲度系数为k，原长为x0，根据题意，有：

mgsinθ＝k（x0－x），sinθ＝

，那么：

x＝x0－

h，因此图乙所示图像以h为横轴。

又因为K＝－

，故有：

k＝－

，图像纵轴的截距的物理意义为x0，即弹簧原长。

3．某同学在研究性学习中，利用所学的知识解决了如下问题：

把一开口向右、内壁光滑、深度为h＝0.25m的小圆筒水平固定在桌面上，同时把一轻弹簧一端固定于小圆筒内部左端，没有外力作用时弹簧的另一端位于筒内。

如图甲所示，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒外弹簧的长度l，现要测出弹簧的原长l0和弹簧的劲度系数，该同学通过改变所挂钩码的个数来改变l，作出Fl图线如图乙所示。

（1）由此图线可得出的结论是____________________。

（2）弹簧的劲度系数为________N/m，弹簧的原长l0＝________m。

（3）该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧竖直悬挂放置相比拟，优点在于________________________。

答案　

（1）在弹性限度内，弹力的大小和弹簧的伸长量成正比

（2）100　0.15

（3）可防止弹簧自身所受重力对实验的影响

解析　

（1）由Fl图像可知，在弹性限度内，弹力的大小和弹簧的伸长量成正比。

（2）弹簧原长为l0，根据胡克定律有：

F＝k（h＋l－l0）＝kl＋k（h－l0），由此可知，图线的斜率表示弹簧的劲度系数，故k＝

N/m＝100N/m；h＝0.25m，当l＝0时，F＝10N，将数据代入解得：

l0＝15cm＝0.15m。

（3）该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧竖直悬挂放置相比拟，优点在于可防止弹簧自身所受重力对实验的影响。

4.在探究弹簧的伸长量x与所受拉力F之间的关系实验中，某实验小组根据实验数据获得如图7所示的图象，那么：

图7

（1）该弹簧的劲度系数是________N/m.

（2）实验中，操作者从弹簧的原长用力缓慢地拉伸到伸长量为x＝40cm时，拉力对弹簧做功________J，此时弹簧的弹性势能是________J.

答案　

（1）200　

（2）16　16

解析　

（1）由题图根据数学知识可知，该图象代表的函数关系为F＝200x（其中x代表弹簧的形变量）．图象斜率的大小表示劲度系数大小，故有k＝200N/m.

（2）根据W＝Fx，F－x图象与x轴所围的面积等于拉力F做的功，W＝

×80×0.4J＝16J；根据功能关系，此时弹簧的弹性势能等于拉力对弹簧所做的功，为16J.

5．某同学为研究橡皮筋伸长与所受拉力的关系，做了如下实验：

①如下图，将白纸固定在制图板上，橡皮筋一端固定在O点，另一端A系一小段轻绳（带绳结），将制图板竖直固定在铁架台上．

②将质量为m＝100g的钩码挂在绳结上，静止时描下橡皮筋下端点的位置A0；用水平力拉A点，使A点在新的位置静止，描下此时橡皮筋下端点的位置A1；逐渐增大水平力，重复5次……

③取下制图板，量出A1、A2……各点到O的距离l1、l2……量出各次橡皮筋与OA0之间的夹角α1、α2……

④在坐标纸上作出

l的图象如下图．

完成以下填空：

（1）重力加速度为g，当橡皮筋与OA0间的夹角为α时，

橡皮筋所受的拉力大小为（用g、m、α表示）．

（2）取g＝10m/s2，由图象可得橡皮筋的劲度系数k＝

N/m，橡皮筋的原长l0＝m．（结果均保存两位有效数字）

答案：

；1.0×102N/m；0.21m.

解析：

（1）对结点及钩码，由平衡条件得，橡皮筋所受的拉力FT＝

.

（2）橡皮筋所受的拉力FT＝

＝k（l－l0），那么

＝

·l－

·l0，图象的斜率

＝

，那么橡皮筋的劲度系数k＝1.0×102N/m，图象在横轴上的截距即为橡皮筋的原长，那么原长l0＝0.21m.