初二数学辅助线专题.docx

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初二数学辅助线专题

辅助线专题

常见辅助线的作法有以下几种：

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5）．

特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

作辅助线的方法

一：

中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：

垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：

边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心，因题而异，有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四：

面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

五、截长法与补短法，

具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目

构造全等三角形几种方法

一、延长中线构造全等三角形

例1.如图1，AD是△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形

例2.如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。

求证：

AB＋BD＝AC。

三、作平行线构造全等三角形

例3.如图5，△ABC中，AB＝AC。

E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。

求证：

EF＝FD。

四、作垂线构造全等三角形

例4.如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。

M是AC边的中点。

AD⊥BM交BC于D，交BM于E。

求证：

∠AMB＝∠DMC。

五、沿高线翻折构造全等三角形

例5.如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。

求证：

AB＞AC。

六、绕点旋转构造全等三角形

例6.如图11，正方形ABCD中，∠1＝∠2，Q在DC上，P在BC上。

求证：

PA＝PB＋DQ。

例7.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是cm.

8．如图，两个边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕

点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）

A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大D．不断增大

七、截长法与补短法，

例7：

如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求证：

CD=AD+BC。

练习

12．（4分）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则点B到AC的距离是（　　）

A．

5

B．

C．

D．

考点：

全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

专题：

计算题．

分析：

过A作AD⊥l3于D，过B作BF⊥AC于F，过C作CE⊥l3于E，则BF的长就是点B到AC的距离，根据AAS证△DAB≌△EBC，求出BE=3，根据勾股定理求出BC、AB、AC，根据三角形的面积即可求出答案．

解答：

解：

过A作AD⊥l3于D，过B作BF⊥AC于F，过C作CE⊥l3于E，则BF的长就是点B到AC的距离

∵AD⊥l3，CE⊥l3，

∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°，

∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，

∴∠DAB=∠CBE，

在△DAB和△EBC中

，

∴△DAB≌△EBC，

∴AD=BE=3，

∵CE=3+1=4，

在△CEB中，由勾股定理得：

AB=BC=5，AC=5

，

由三角形的面积公式得：

S△ABC=

AB×BC=

AC×BF，

即5×5=5

BF，

即BF=

，

故选C．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰直角三角形，勾股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后能求出BE、AB、BC、AC的长，主要考查了学生的推理能力和计算能力．

18．（4分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　

　．

考点：

等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

专题：

压轴题．

分析：

过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=

AC即可．

解答：

解：

过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP=PF=AF，

∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ．

∵在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD，

∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DE=

AC，

∵AC=1，

∴DE=

．

故答案为：

．

18．如图，在△ABC中，BC=2

，∠ABC=45°=2∠ECB，BD⊥CD，则（2BD）2=　16﹣8

　．

【考点】勾股定理．

【分析】延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于G．根据中垂线的性质和等腰直角三角形的判定和性质得到CF=2

，BG=CG=2，根据线段的和差求得FG=2

﹣2，

在Rt△BGF中，根据勾股定理即可求解．

【解答】解：

延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于G．

∵BD⊥CD，DF=BD，

∴CF=CB=2

，∠DCF=∠ECB，

∵∠ABC=45°=2∠ECB，

∴∠BCG=45°，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∵BC=2

，

∴BG=CG=

BC=2，

∴FG=2

﹣2，

在Rt△BGF中，（2BD）2=BF2=BG2+FG2=22+（2

﹣2）2=16﹣8

．

故答案为：

16﹣8

．

【点评】考查了勾股定理，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题关键是作出辅助线构造直角三角形，难度较大．

24．正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交

AE于G点，连结GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点.

（1）求证：

△ABE≌△BCF；

（2）若正方形边长为4，AH=

，求△AGD的面积.

24.证明：

（1）正方形ABCD中，∠ABE=90°，

∴∠1+∠2=90°，

又AE⊥BF，

∴∠3+∠2=90°，

则∠1=∠3（2分）

又∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABE

=∠BCF=90°，AB=BC

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（ASA）（5分）

（2）延长BF交AD延长线于M点，∴∠MDF=90°（6分）

由

（1）知△ABE≌△BCF，∴CF=BE

∵E点是BC中点，∴BE=

BC，即CF=

CD=FD，

在△BCF和△MDF中，

∴△BCF≌△MDF（ASA）

∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中点（8分）

又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，

∴GD=

AM=AD

又正方形边长为4，∴GD=4

S△AGD=

GD·AH=

×4×

=

1、在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD,连接BE。

（1）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，求证：

CE=2EF.

（2）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E,求证：

24．如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．

（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；

（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：

BF=

DE；

（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】

（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=

AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，由勾股定理求出AB，得出BC，即可得出结果；

（2）连接AF，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出△ABD是等腰直角三角形，得出∠DAB=∠DBA=45°，∠3=22.5°，由ASA证明△ADF≌△BDF，得出AF=BF，∠2=∠3=22.5°，证出△AEF是等腰直角三角形，得出AF=

AE，即可得出结论；

（3）作DH⊥DE交BE于H，先证明△ADE≌△BDH，得出DH=DE，AE=BH，证出△DHE是等腰直角三角形，得出∠DEH=45°，∠3=45°，由翻折的性质得出DE=GE，∠3=∠4=45°，证出DH=GE，DH∥GE，证出四边形DHEG是平行四边形，得出DG=EH，即可得出结论．

【解答】

（1）解：

如图1所示：

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AE=CE，∠AEB=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴DE=

AC=AE，

∴AC=2DE=2，AE=1，

∴AB=

=

，

∴BC=

，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2

+2；

（2）证明：

连接AF，如图2所示：

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴∠3=∠4，

∵∠ADC=90°，AD=BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠3=22.5°，

∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°，

∴∠1=∠3=22.5°，

∵DF平分∠ABD，

∴∠ADF=∠BDF，

在△ADF和△BDF中，

，

∴△ADF≌△BDF（SAS），

∴AF=BF，∠2=∠3=22.5°，

∴∠EAF=∠1+∠2=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=

AE，

∵DE=AE，

∴BF=

DE；

（3）解：

BE=DG+AE；理由如下：

作DH⊥DE交BE于H，如图3所示：

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，

∴∠1=∠2，

∴∠ADE=90°﹣∠ADH=∠BDH，

在△ADE和△BDH中，

，

∴△ADE≌△BDH（ASA），

∴DH=DE，AE=BH，

∴△DHE是等腰直角三角形，

∴∠DEH=45°，

∴∠3=90°﹣∠DEH=45°，

∵△ACD翻折至△ACG，

∴DE=GE，∠3=∠4=45°，

∴∠DEG=∠EDH=90°，DH=GE，

∴DH∥GE，

∴四边形DHEG是平行四边形，

∴DG=EH，

∴BE=EH+BH=DG+AE．

2、已知：

正方形

中，

，

绕点

顺时针旋转，它的两边分别交

（或它们的延长线）于点

．

当

绕点

旋转到

时（如图1），易证

．

（1）当

绕点

旋转到

时（如图2），线段

和

之间有怎样的数量关系？

写出猜想，并加以证明．

（2）当

绕点

旋转到如图3的位置时，线段

和

之间又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想．