高考理科数学试题及答案详细解析全国卷123卷.docx
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高考理科数学试题及答案详细解析全国卷123卷
-1-2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1
理科数学本试题卷共6页23题含选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项
1、本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第II卷非选择题两部分.第Ⅰ卷1至3页第II
卷3至5页.
2、答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3、
全部答案在答题卡上完成答在本试题上无效.
4、考试结束后将本试题和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题本大题共12小题每小题5分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的.
1.设1
2
1
i
zi
i
则z
A.0B.1
2C.1D.2
解析2
(1)
2
2
i
zii
所以|z|1
故答案为C.
2.已知集合
220Axxx则RCA
A.
12xxB.12xx
C.
2|1|xxxxD.2|1|xxxx
解析由220
xx得
(1)
(2)0xx所以2x或1x所以RCA12xx故答案为B.
3.某地区经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该
地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得
-2-到如下饼图
则下列结论中丌正确的是
A.新农村建设后种植收入减少
B.新农村建设后其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后养殖收入不第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析由已知条件经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番37%274%
所以尽管种植收入所占的比例小了但比以往的收入却是增加了.故答案
为
A.
4.设nS为等差数列
na的前n项和若3243SSS12a则5a
A.12
B.10C.10D.12
解析由3243sss
得322143
3(32=2242
222
ddd
即3(63)127
dd所以3d52410ad52410ad故答案
为B.
5.设函数321
fxxaxax若fx为奇函数则曲线yfx在点0,0处的
切线方程为
A.2
yxB.yxC.2yxD.yx
解析由fx为奇函数得1
a2()31,fxx
所以切线的方程
为yx
.故答案为D.
6.在ABC
中AD为BC边上的中线E为AD的中点则EB
-3-A.AC
AB
4
1
4
3
B.ACAB
4
3
4
1
C.ACAB
4
1
4
3
D.ACAB
4
3
4
1
解析11131
()
22244
EBABAEABADABABACABAC
故答案为A.7.某圆柱的高为2底面周长为16其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B
则在此圆柱侧面上从M到N的路径中最短路径的长度为A.17
2B.52C.3D.2
解析如图画出圆柱的侧面展开图在展开图中线段MN的长度5
2即为最短长度故答案
为B.
8.设抛物线x
yC4:
2的焦点为F过点0,2且斜率为3
2的直线不C交于N
M,两点则FNFM
A.5B.6C.7D.8
解析联立直线与抛物线的方程得M(12),N(4,4)所以
FNFM8故答案为D.
9.已知函数
,0,
ln,0,xex
fx
xx
gxfxxa
.若gx存在2个零点则a的取值
范围是
A.
1,0B.0,C.1,D.1,
解析∵()()
gxfxxa存在2个零点即()yfx与yxa有两个交点)(xf的图象如M
N
2
4
-4-图要使得yxa
与)(xf有两个交点则有1a即1a故答案为C.
10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成三个半圆
的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边AC
AB,.ABC的
三边所围成的区域记为Ⅰ黑色部分记为Ⅱ其余部分记为Ⅲ在整个
图形中随机取一点此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为3
21,,ppp则
A.2
1ppB.31ppC.32ppD.321ppp解析取2ABAC,则22BC
∴区域Ⅰ的面积为11
222
2
S区域Ⅲ的面积为2
31
(2)22
2
S
区域Ⅱ的面积为2
2312
SS故12pp.故答案为A.11.已知双曲线1
3
:
2
2
y
x
CO为坐标原点F为C的右焦点过F的直线不C的两条
渐近线的交点分别为N
M,.若OMN为直角三角形则MN
A.2
3B.3C.3
2D.4
解析渐近线方程为2
20
3
x
y即3
3
yx
∵OMN
为直角三角形假设2
ONM如图
∴3
NMk直线MN方程为3
(2)
yx.联立3
3
3
(2)
yx
yx
∴33
(,)
22
N即3
ON∴3
MON
∴3MN故答案为B.12.已知正方体的棱长为1每条棱所在的直线不平面所成的角都相等则截此正方体
所得截面面积的最大值为
-5-A.4
33B.332C.423D.23
解析由于截面与每条棱所成的角都相等所以
平面中存在平面与平面11ABD平行如图而
在与平面11ABD平行的所有平面中面积最大的
为由各棱的中点构成的截面EFGHMN而平面EFGHMN的面积122333
6
22224
S.
故答案为A.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题每个试题考生都必须作答.第
(22)~(23)题为选考题考生根据要求作答.
二、填空题本题共4小题每小题5分.
13.若xy满足约束条件220
10
0
xy
xy
y
则32
zxy的最大值为_______________.
解析
画出可行域如图所示可知目
标函数过点(2,0)时取得最大
值max32206
z.故答案为6.
14.记nS为数列
na的前n项和
若21nnSa
则6S_______________.
解析由已知得1121,
21,nnnnSaSa
作差得12nnaa所以{}na为公比为2的等比数列
-6-又因为11121
aSa所以11a所以12n
na所以6
61(12)
63
12
S
故答案为-63.
15.从2位女生4位男生中选3人参加科技比赛且至少有1位女生入选则丌同的选法共有
__________种。
用数字填写答案
解析分2
类恰有1位女生有12
2412
CC种
恰有2位女生有21
244
CC种∴不同的选法共有12416种.故答案为16.
16.已知函数2sinsin2
fxxx则fx的最小值是______________________.
解析∵()2sinsin2
fxxx∴()fx最小正周期为2T∴2'()2(coscos2)2(2coscos1)fxxxxx令'()0fx即22coscos10xx∴1
cos
2
x或cos1
x.
∴当1
cos
2
为函数的极小值点即3
x或5
3
x,
当cos1,
x
x
∴53
()3
32
f.3
()3
32
f(0)
(2)0
ff()0f
∴()
fx最小值为3
3
2
.故答案为33
2
.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17本小题满分12分
在平面四边形ABCD中90
ADC45A2AB5BD.
1求cosADB
2若22
DC求BC.
-7-解1在ABD
中由正弦定理得52
sin45sinADB
,∴2
sin
5
ADB,
∵90
ADB,∴
223
cos1sin
5
ADBADB.22
ADBBDC,∴coscos()sin
2
BDCADBADB∴coscos()sin
2
BDCADBADB,∴222cos
2
DCBDBC
BDC
BDDC
,∴22825
5
2522
BC
.∴5
BC.18本小题满分12分
如图四边形ABCD为正方形,
EF分别为,ADBC的中点以DF为折痕把DFC折
起使点C到达点P的位置且PFBF
.
1证明平面PEF平面ABFD
2求DP不平面ABFD所成角的正弦值.解1,
EF分别为,ADBC的中点则//EFAB∴EFBF又PFBFEFPFF∴BF平面PEFBE平面ABFD∴平面PEF平面ABFD.
2PFBF
//BFED∴PFED
又PFPD
EDDPD∴PF平面PED∴PFPE
设4
AB则4EF2PF∴23PE
过P作PHEF
交EF于H点
由平面PEF平面ABFD
∴PH平面ABFD连结DH则PDH
即为直线DP与平面ABFD所成的角
由PEPFEFPH
∴232
3
4
PH
而4
PD∴3
sin
4
PH
PDH
PD
∴DP与平面ABFD所成角的正弦值3
4.
-8-19本小题满分12分
设椭圆2
2:
1
2
x
Cy的右焦点为F过F的直线l不C交于,AB两点点M的坐标为2,0.
1当l不x轴垂直时求直线AM的方程
2设O为坐标原点证明OMAOMB
.解1如图所示将1x代入椭圆方程得21
1
2
y得2
2
y∴2
(1,)
2
A
∴2
2AMk∴直线AM的方程为2
(2)
2
yx.
2证明当l斜率不存在时由1可知
结论成立当l斜率存在时设其方程
(1)
ykx1122(,),(,)AxyBxy联立椭圆
方程有2
2
(1)
1
2
ykx
x
y
即为2222(21)4220
kxkxk∴2
12
2421
k
xx
k
2
12
22221
k
xx
k
121212
1212[(23()4]22
(2)
(2)AMBMyykxxxx
kk
xxxx
22
22
124412
(4)
2121
0
(2)
(2)
kk
k
kk
xx
∴AMBMkk
∴OMAOMB.20本小题满分12分
某工厂的某种产品成箱包装每箱200件每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验如
-9-检验出丌合格品则更换为合格品。
检验时先从这箱产品中任取20件作检验再根据检验
结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为丌合格品的概率都为)
10(pp且
各件产品是否为丌合格品相互独立。
1记20件产品中恰有2件丌合格品的概率为)
(pf,求)(pf的最大值点0p
2现对一箱产品检验了20件结果恰有2件丌合格品以1中确定的0p作为p的值。
已知每件产品的检验费用为2元若有丌合格品进入用户手中则工厂要对每件丌合格品支
付25元的赔偿费用。
i若丌对该箱余下的产品作检验这一箱产品的检验费用不赔偿费用的和记为X求EX;
ii以检验费用不赔偿费用的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验解1由题意2218
20()
(1)
fpCpp01p.
∴218217217
2020()[2
(1)18
(1)
(1)]2
(1)(110)
fpCppppCppp
∴当1
(0,)
10
p时()0
fp
即()fp在1
(0,)
10上递增当1
(,1)
10
p时()0
fp
即()
fp在1
(,1)
10上递减.
∴()
fp在点1
10
p处取得最大值即01
10
p.
2i设余下产品中不合格品数量为Y则4025
XY由题可知1
(180,)
10
YB∴1
18018
10
EYnp.
∴(4025)4025402518490
EXEYEY元.
ii由i可知一箱产品若全部检验只需花费400元若余下的不检验则要490元所以应该对余下的产品作检验.21本小题满分12分
已知函数
1
lnfxxax
x
.
1讨论fx的单调性
2若fx存在两个极值点12,
xx证明12
122
fxfx
a
xx
.
-10-解1①∵1
()lnfxxax
x
∴2
21
'()
xax
fx
x
∴当22
a时0'()0fx∴此时()fx在(0,)上为单调递增.
②∵0
即2a或2a此时方程210xax两根为22
1244
22
aaaa
xx
当2
a时此时两根均为负∴'()fx在(0,)上单调递减.当2a时0此时()fx在24
(0,)
2
aa上单调递减()fx在2244
(,)
22
aaaa上单调递增()fx在24
(,)
2
aa
上单调递减.∴综上
可得2
a时()fx在(0,)上单调递减2a时()fx在24
(0,)
2
aa24
(,)
2
aa
上单调递减()
fx在2244
(,)
22
aaaa上单调递增.
2由1可得210
xax两根12,xx得2a1212,1xxaxx令120xx
∴1
21
x
x
121122
1211
()()ln(ln)fxfxxaxxax
xx
21122()(lnln)
xxaxx.∴1212
1212()()lnln
2
fxfxxx
a
xxxx
要证12
12()()
2
fxfx
a
xx
成立即要证12
12lnln
1
xx
xx
成立∴1
12
2
2
12ln
0
(1)
x
xx
x
x
xx
22
2
121
2ln
0
xx
x
xx
即要证22
21
2ln0xx
x
(21
x)
令1
()2ln
(1)gxxxx
x
可得()
gx在(1,)上为增函数∴()
(1)0gxg
∴12
12lnln
1
xx
xx
成立即12
12()()
2
fxfx
a
xx
成立.
-11-请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22本小题满分10分选修4-4坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中曲线1C的方程为2
ykx.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴
建立极坐标系曲线2C的极坐标方程为22cos30.
1求2C的直角坐标方程
2若1C不2C有且仅有三个公共点求1C的方程.解1由22cos30可得22230
xyx化为22
(1)4xy.
21C与2C有且仅有三个公共点说明直线2(0)
ykxk与圆2C相切圆2C圆
心为(1,0)
半径为2则22
2
1
k
k
解得4
3
k故1C的方程为42
3
yx.23本小题满分10分选修4-5不等式选讲
已知11
fxxax.
1当1
a时求丌等式1fx的解集
2若0,1
x时丌等式fxx成立求a的取值范围.解1当1a时21
()|1||1|211
21
x
fxxxxx
x
∴()1
fx的解集为1
{|}
2
xx.
2当0
a时()|1|1fxx当(0,1)x时()fxx不成立.
当0
a时(0,1)x∴()1
(1)
(1)fxxaxaxx不符合题意.
当01
a时(0,1)x()1
(1)
(1)fxxaxaxx成立.
当1
a时1
(1),1
()
1
(1)2,
axx
a
fx
axx
a
∴
(1)121
a即2a.
-12-综上所述a的取值范围为(0,2].
2018年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷2理科数学注意事项
1答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2作答时将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题本题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的。
112i
12i
A43
i
55
B43i
55
C34i
55
D34i
55
解析212i(12)34
12(12)(12)5
ii
iii
34
i
55
故答案为D.
2已知集合223
AxyxyxyZZ≤则A中元素的个数为
A9B8C5D4
解析由于223,
xy所以23x因为xz所以1,0,1x。
当1,
x时1,0,1y当0x时1,0,1y当1x时1,0,1y。
所以集合A共
有9个元素故答案为A.
3函数2eexxfx
x
的图像大致为
-13-
解析0
x时()()fxfx()fx为奇函数所以A不正确又1
(1)0fe
e
所
以D不正确又
x时()
fx所以B正确故答案为B.
4已知向量ab满足||1
a1ab则
(2)aab
A4B3C2D0
解析
5双曲线22
221(0,0)
xy
ab
ab
的离心率为3则其渐近线方程为
A2
yxB3yxC2
2
yxD3
2
yx
解析因为231(),
b
e
a
所以2,
b
a
所以渐近线的方程为2
b
yxx
a
故答
案为A.
6在ABC
△中5
cos
25
C
1
BC5AC则AB
A42B30C29D25
解析因为2253
cos2cos12()1
255
C
C所以222
2coscababC3
125215()32
5
42,
c故答案为A.
7为计算11111
1
23499100
S…设计了右侧的程序框图
则在空白中框应填入
A1
ii
B2
ii
C3
ii
D
4ii开始
0,0NT
SNT
S输出
1i
100i
1
NN
i
1
1
TT
i
结束
是否
-14-解析由11111
1
23499100
S…及所给程序框图知先对奇数项累加、偶数项累加
再对和作差故在空白框内应填入2
ii故答案为B.
8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每
个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”
如30723
在不超过30的素数中随机选
取两个不同的数其和等于30的概率是
A1
12B114C115D118
解析不超过30的素数有2,3,5,711,13,17,19,23,29共有10个随机选取两个不同的数共有2
1045
C种取法因为7+23=11+19=13+17=30其中和为30的共有3个利用古典概型的概
率计算公式得所求概率为31
4515
故答案为C.
9在长方体1111ABCDABCD
中1ABBC13AA则