高考理科数学试题及答案详细解析全国卷123卷.docx

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高考理科数学试题及答案详细解析全国卷123卷

-1-2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1

理科数学本试题卷共6页23题含选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项

1、本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第II卷非选择题两部分.第Ⅰ卷1至3页第II

卷3至5页.

2、答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.

3、

全部答案在答题卡上完成答在本试题上无效.

4、考试结束后将本试题和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题本大题共12小题每小题5分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

题目要求的.

1.设1

2

1

i

zi

i





则z

A.0B.1

2C.1D.2

解析2

（1）

2

2

i

zii



所以|z|1

故答案为C.

2.已知集合

220Axxx则RCA

A.

12xxB.12xx

C.

2|1|xxxxD.2|1|xxxx

解析由220

xx得

（1）

（2）0xx所以2x或1x所以RCA12xx故答案为B.

3.某地区经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该

地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得

-2-到如下饼图

则下列结论中丌正确的是

A.新农村建设后种植收入减少

B.新农村建设后其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后养殖收入不第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析由已知条件经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番37%274%

所以尽管种植收入所占的比例小了但比以往的收入却是增加了.故答案

为

A.

4.设nS为等差数列

na的前n项和若3243SSS12a则5a

A.12

B.10C.10D.12

解析由3243sss

得322143

3（32=2242

222

ddd



即3（63）127

dd所以3d52410ad52410ad故答案

为B.

5.设函数321

fxxaxax若fx为奇函数则曲线yfx在点0,0处的

切线方程为

A.2

yxB.yxC.2yxD.yx

解析由fx为奇函数得1

a2（）31,fxx



所以切线的方程

为yx

.故答案为D.

6.在ABC

中AD为BC边上的中线E为AD的中点则EB

-3-A.AC

AB

4

1

4

3

B.ACAB

4

3

4

1

C.ACAB

4

1

4

3

D.ACAB

4

3

4

1



解析11131

（）

22244

EBABAEABADABABACABAC

故答案为A.7.某圆柱的高为2底面周长为16其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B

则在此圆柱侧面上从M到N的路径中最短路径的长度为A.17

2B.52C.3D.2

解析如图画出圆柱的侧面展开图在展开图中线段MN的长度5

2即为最短长度故答案

为B.

8.设抛物线x

yC4:

2的焦点为F过点0,2且斜率为3

2的直线不C交于N

M,两点则FNFM

A.5B.6C.7D.8

解析联立直线与抛物线的方程得M（12）,N（4,4）所以

FNFM8故答案为D.

9.已知函数

,0,

ln,0,xex

fx

xx











gxfxxa

.若gx存在2个零点则a的取值

范围是

A.

1,0B.0,C.1,D.1,

解析∵（）（）

gxfxxa存在2个零点即（）yfx与yxa有两个交点）（xf的图象如M

N

2

4

-4-图要使得yxa

与）（xf有两个交点则有1a即1a故答案为C.

10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成三个半圆

的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边AC

AB,.ABC的

三边所围成的区域记为Ⅰ黑色部分记为Ⅱ其余部分记为Ⅲ在整个

图形中随机取一点此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为3

21,,ppp则

A.2

1ppB.31ppC.32ppD.321ppp解析取2ABAC,则22BC

∴区域Ⅰ的面积为11

222

2

S区域Ⅲ的面积为2

31

（2）22

2

S

区域Ⅱ的面积为2

2312

SS故12pp.故答案为A.11.已知双曲线1

3

:

2

2

y

x

CO为坐标原点F为C的右焦点过F的直线不C的两条

渐近线的交点分别为N

M,.若OMN为直角三角形则MN

A.2

3B.3C.3

2D.4

解析渐近线方程为2

20

3

x

y即3

3

yx

∵OMN

为直角三角形假设2

ONM如图

∴3

NMk直线MN方程为3

（2）

yx.联立3

3

3

（2）

yx

yx













∴33

（,）

22

N即3

ON∴3

MON

∴3MN故答案为B.12.已知正方体的棱长为1每条棱所在的直线不平面所成的角都相等则截此正方体

所得截面面积的最大值为

-5-A.4

33B.332C.423D.23

解析由于截面与每条棱所成的角都相等所以

平面中存在平面与平面11ABD平行如图而

在与平面11ABD平行的所有平面中面积最大的

为由各棱的中点构成的截面EFGHMN而平面EFGHMN的面积122333

6

22224

S.

故答案为A.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）~（21）题为必考题每个试题考生都必须作答.第

（22）~（23）题为选考题考生根据要求作答.

二、填空题本题共4小题每小题5分.

13.若xy满足约束条件220

10

0

xy

xy

y















则32

zxy的最大值为_______________.

解析

画出可行域如图所示可知目

标函数过点（2,0）时取得最大

值max32206

z.故答案为6.

14.记nS为数列

na的前n项和

若21nnSa

则6S_______________.

解析由已知得1121,

21,nnnnSaSa







作差得12nnaa所以{}na为公比为2的等比数列

-6-又因为11121

aSa所以11a所以12n

na所以6

61（12）

63

12

S







故答案为-63.

15.从2位女生4位男生中选3人参加科技比赛且至少有1位女生入选则丌同的选法共有

__________种。

用数字填写答案

解析分2

类恰有1位女生有12

2412

CC种

恰有2位女生有21

244

CC种∴不同的选法共有12416种.故答案为16.

16.已知函数2sinsin2

fxxx则fx的最小值是______________________.

解析∵（）2sinsin2

fxxx∴（）fx最小正周期为2T∴2'（）2（coscos2）2（2coscos1）fxxxxx令'（）0fx即22coscos10xx∴1

cos

2

x或cos1

x.

∴当1

cos

2

为函数的极小值点即3

x或5

3

x,

当cos1,

x

x

∴53

（）3

32

f.3

（）3

32

f（0）

（2）0

ff（）0f

∴（）

fx最小值为3

3

2

.故答案为33

2

.

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17本小题满分12分

在平面四边形ABCD中90

ADC45A2AB5BD.

1求cosADB



2若22

DC求BC.

-7-解1在ABD

中由正弦定理得52

sin45sinADB



,∴2

sin

5

ADB,

∵90

ADB,∴

223

cos1sin

5

ADBADB.22

ADBBDC,∴coscos（）sin

2

BDCADBADB∴coscos（）sin

2

BDCADBADB,∴222cos

2

DCBDBC

BDC

BDDC





,∴22825

5

2522

BC



.∴5

BC.18本小题满分12分

如图四边形ABCD为正方形,

EF分别为,ADBC的中点以DF为折痕把DFC折

起使点C到达点P的位置且PFBF

.

1证明平面PEF平面ABFD

2求DP不平面ABFD所成角的正弦值.解1,

EF分别为,ADBC的中点则//EFAB∴EFBF又PFBFEFPFF∴BF平面PEFBE平面ABFD∴平面PEF平面ABFD.

2PFBF

//BFED∴PFED

又PFPD

EDDPD∴PF平面PED∴PFPE

设4

AB则4EF2PF∴23PE

过P作PHEF

交EF于H点

由平面PEF平面ABFD

∴PH平面ABFD连结DH则PDH

即为直线DP与平面ABFD所成的角

由PEPFEFPH

∴232

3

4

PH





而4

PD∴3

sin

4

PH

PDH

PD



∴DP与平面ABFD所成角的正弦值3

4.

-8-19本小题满分12分

设椭圆2

2:

1

2

x

Cy的右焦点为F过F的直线l不C交于,AB两点点M的坐标为2,0.

1当l不x轴垂直时求直线AM的方程

2设O为坐标原点证明OMAOMB

.解1如图所示将1x代入椭圆方程得21

1

2

y得2

2

y∴2

（1,）

2

A

∴2

2AMk∴直线AM的方程为2

（2）

2

yx.

2证明当l斜率不存在时由1可知

结论成立当l斜率存在时设其方程

（1）

ykx1122（,）,（,）AxyBxy联立椭圆

方程有2

2

（1）

1

2

ykx

x

y













即为2222（21）4220

kxkxk∴2

12

2421

k

xx

k



2

12

22221

k

xx

k





121212

1212[（23（）4]22

（2）

（2）AMBMyykxxxx

kk

xxxx





22

22

124412

（4）

2121

0

（2）

（2）

kk

k

kk

xx









∴AMBMkk

∴OMAOMB.20本小题满分12分

某工厂的某种产品成箱包装每箱200件每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验如

-9-检验出丌合格品则更换为合格品。

检验时先从这箱产品中任取20件作检验再根据检验

结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为丌合格品的概率都为）

10（pp且

各件产品是否为丌合格品相互独立。

1记20件产品中恰有2件丌合格品的概率为）

（pf,求）（pf的最大值点0p

2现对一箱产品检验了20件结果恰有2件丌合格品以1中确定的0p作为p的值。

已知每件产品的检验费用为2元若有丌合格品进入用户手中则工厂要对每件丌合格品支

付25元的赔偿费用。

i若丌对该箱余下的产品作检验这一箱产品的检验费用不赔偿费用的和记为X求EX;

ii以检验费用不赔偿费用的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验解1由题意2218

20（）

（1）

fpCpp01p.

∴218217217

2020（）[2

（1）18

（1）

（1）]2

（1）（110）

fpCppppCppp

∴当1

（0,）

10

p时（）0

fp



即（）fp在1

（0,）

10上递增当1

（,1）

10

p时（）0

fp





即（）

fp在1

（,1）

10上递减.

∴（）

fp在点1

10

p处取得最大值即01

10

p.

2i设余下产品中不合格品数量为Y则4025

XY由题可知1

（180,）

10

YB∴1

18018

10

EYnp.

∴（4025）4025402518490

EXEYEY元.

ii由i可知一箱产品若全部检验只需花费400元若余下的不检验则要490元所以应该对余下的产品作检验.21本小题满分12分

已知函数

1

lnfxxax

x

.

1讨论fx的单调性

2若fx存在两个极值点12,

xx证明12

122

fxfx

a

xx





.

-10-解1①∵1

（）lnfxxax

x

∴2

21

'（）

xax

fx

x



∴当22

a时0'（）0fx∴此时（）fx在（0,）上为单调递增.

②∵0

即2a或2a此时方程210xax两根为22

1244

22

aaaa

xx



当2

a时此时两根均为负∴'（）fx在（0,）上单调递减.当2a时0此时（）fx在24

（0,）

2

aa上单调递减（）fx在2244

（,）

22

aaaa上单调递增（）fx在24

（,）

2

aa

上单调递减.∴综上

可得2

a时（）fx在（0,）上单调递减2a时（）fx在24

（0,）

2

aa24

（,）

2

aa

上单调递减（）

fx在2244

（,）

22

aaaa上单调递增.

2由1可得210

xax两根12,xx得2a1212,1xxaxx令120xx

∴1

21

x

x

121122

1211

（）（）ln（ln）fxfxxaxxax

xx

21122（）（lnln）

xxaxx.∴1212

1212（）（）lnln

2

fxfxxx

a

xxxx





要证12

12（）（）

2

fxfx

a

xx





成立即要证12

12lnln

1

xx

xx





成立∴1

12

2

2

12ln

0

（1）

x

xx

x

x

xx





22

2

121

2ln

0

xx

x

xx







即要证22

21

2ln0xx

x

（21

x）

令1

（）2ln

（1）gxxxx

x

可得（）

gx在（1,）上为增函数∴（）

（1）0gxg

∴12

12lnln

1

xx

xx





成立即12

12（）（）

2

fxfx

a

xx





成立.

-11-请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22本小题满分10分选修4-4坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中曲线1C的方程为2

ykx.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴

建立极坐标系曲线2C的极坐标方程为22cos30.

1求2C的直角坐标方程

2若1C不2C有且仅有三个公共点求1C的方程.解1由22cos30可得22230

xyx化为22

（1）4xy.

21C与2C有且仅有三个公共点说明直线2（0）

ykxk与圆2C相切圆2C圆

心为（1,0）

半径为2则22

2

1

k

k





解得4

3

k故1C的方程为42

3

yx.23本小题满分10分选修4-5不等式选讲

已知11

fxxax.

1当1

a时求丌等式1fx的解集

2若0,1

x时丌等式fxx成立求a的取值范围.解1当1a时21

（）|1||1|211

21

x

fxxxxx

x

















∴（）1

fx的解集为1

{|}

2

xx.

2当0

a时（）|1|1fxx当（0,1）x时（）fxx不成立.

当0

a时（0,1）x∴（）1

（1）

（1）fxxaxaxx不符合题意.

当01

a时（0,1）x（）1

（1）

（1）fxxaxaxx成立.

当1

a时1

（1）,1

（）

1

（1）2,

axx

a

fx

axx

a



















∴

（1）121

a即2a.

-12-综上所述a的取值范围为（0,2].

2018年普通高等学校招生全国统一考试

全国卷2理科数学注意事项

1答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2作答时将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题本题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中只有一

项是符合题目要求的。

112i

12i







A43

i

55

B43i

55

C34i

55

D34i

55



解析212i（12）34

12（12）（12）5

ii

iii





34

i

55

故答案为D.

2已知集合223

AxyxyxyZZ≤则A中元素的个数为

A9B8C5D4

解析由于223,

xy所以23x因为xz所以1,0,1x。

当1,

x时1,0,1y当0x时1,0,1y当1x时1,0,1y。

所以集合A共

有9个元素故答案为A.

3函数2eexxfx

x

的图像大致为

-13-

解析0

x时（）（）fxfx（）fx为奇函数所以A不正确又1

（1）0fe

e

所

以D不正确又

x时（）

fx所以B正确故答案为B.

4已知向量ab满足||1

a1ab则

（2）aab

A4B3C2D0

解析

5双曲线22

221（0,0）

xy

ab

ab

的离心率为3则其渐近线方程为

A2

yxB3yxC2

2

yxD3

2

yx

解析因为231（）,

b

e

a

所以2,

b

a

所以渐近线的方程为2

b

yxx

a

故答

案为A.

6在ABC

△中5

cos

25

C

1

BC5AC则AB

A42B30C29D25

解析因为2253

cos2cos12（）1

255

C

C所以222

2coscababC3

125215（）32

5

42,

c故答案为A.

7为计算11111

1

23499100

S…设计了右侧的程序框图

则在空白中框应填入

A1

ii

B2

ii

C3

ii

D

4ii开始

0,0NT

SNT

S输出

1i

100i

1

NN

i



1

1

TT

i





结束

是否

-14-解析由11111

1

23499100

S…及所给程序框图知先对奇数项累加、偶数项累加

再对和作差故在空白框内应填入2

ii故答案为B.

8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每

个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”

如30723

在不超过30的素数中随机选

取两个不同的数其和等于30的概率是

A1

12B114C115D118

解析不超过30的素数有2,3,5,711,13,17,19,23,29共有10个随机选取两个不同的数共有2

1045

C种取法因为7+23=11+19=13+17=30其中和为30的共有3个利用古典概型的概

率计算公式得所求概率为31

4515

故答案为C.

9在长方体1111ABCDABCD

中1ABBC13AA则