行程综合问题.docx

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行程综合问题

行程问题综合

知识解析：

一、比例解行程

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用

来表示，大体可分为以下两种情况：

1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

二、接送问题

校车问题——行走过程描述

队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。

常见接送问题类型

根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：

（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）

（2）车速不变-班速不变-班数多个

（3）车速不变-班速变-班数2个

（4）车速变-班速不变-班数2个

标准解法：

画图＋列3个式子

1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；

2、班车走的总路程；

3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

三、发车间隔

间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。

在班车里——即柳卡问题

不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

在班车外——联立3个基本公式好使

（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔

（2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔

（3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔

综上总结发车问题可以总结为如下技巧

（1）、一般间隔发车问题。

用3个公式迅速作答；

（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：

画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡

四、猎狗追兔问题

猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。

解题关键：

行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。

通常我们遇到的题给的都是通用单位，如米、公里等等，这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位，关键就在于将这两者统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！

很多看似无关的题目，实质思想是相通的！

问题叙述：

兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。

通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位：

米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差÷速度差=追及时间”求解。

单位的统一：

在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。

例如：

相同路程内，猎狗跑四步（狗步）＝兔子跑七步（兔步），据此可以求出狗步与兔步的比，

相同时间内（可以认为单位时间内）兔子跑3步（兔步），猎狗跑2步（狗步）

进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步（或狗步）

关键：

具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步，反之统一为兔步。

若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。

例题精讲：

一、比例解行程

【例1】甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车才从B城出发，并且甲车的速度是乙车速度的

。

当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出千米，乙车才出发。

【巩固】甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，当甲车驶过A、B距离的

多50千米时,与乙车相遇.A、B两地相距______千米。

【例2】A，B两地相距1800米，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行。

相遇后甲又走了8分到达B地，乙又走了18分到达A地。

甲、乙二人每分钟各走多少米？

【例3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？

【例4】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长.

【例5】甲、乙两列火车的速度比是5∶4。

乙车先从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲车从A站发车开往B站。

如果两列火车相遇的地方离A，B两站距离的比是3∶4，那么A，B两站之间的距离为多少千米？

【例6】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

【例7】甲、乙两人分别从

两地同时出发，相向而行。

出发时他们的速度之比是3：

2，相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高

，这样当甲到达

地时，乙离

地还有41千米，那么

两地相遇__________千米。

【巩固】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5:

4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？

【例8】一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。

求甲、乙两地的距离。

【巩固】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了

，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高

，于是提前1小时40分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

二、接送问题

【例9】某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达．问：

汽车速度是劳模步行速度的几倍？

【巩固】张工程师每天早上

点准时被司机从家接到厂里。

一天，张工程师早上

点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前

分钟。

这天，张工程师还是早上

点出门，但

分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前分钟到厂。

【例10】李经理的司机每天早上7点30分到达李经理家接他去公司。

有一天李经理7点从家里出发去公司，路上遇到从公司按时来接他的车，再乘车去公司，结果比平常早到5分钟。

则李经理乘车的速度是步行速度的倍。

（假设车速、步行速度保持不变，汽车掉头与上下车时间忽略不计）

【例11】甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?

【巩固】甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是

千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时

千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距

千米，那么各个班的步行距离是多少？

【例12】小明和小光同时从解放军营地回校执行任务，小光步行速度是小明的

倍，营地有一辆摩托车，只能搭乘一人，它的速度是小明步行速度的16倍。

为了使小光和小明在最短时间内到达，小明和小光需要步行的距离之比是多少？

三、发车间隔问题

【例13】甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。

有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？

【例14】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？

【例15】某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：

电车的速度是多少？

电车之间的时间间隔是多少？

【例16】某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?

【巩固】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。

每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。

问：

该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？

四、猎狗追兔问题

【例17】猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之.兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：

兔跑多少步后被猎狗抓获?

此时猎狗跑了多少步?

【巩固】猎犬发现在离它9步远的前方有一只奔跑的兔子,立刻追赶,猎犬步子大.它跑5步的路程,兔子跑9步,但兔子动作快,猎犬跑2步的时间,兔子跑3步,猎犬至少跑多少步才能追上兔子?

【例18】野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.问：

猎狗至少跑多少步才能追上野兔?

【巩固】森林里有一对兔子兄弟赛跑，弟弟先跑10步，然后哥哥开始追赶，若弟弟跑4步的时间等于哥哥跑3步的时间，哥哥跑5步的距离等于弟弟跑7步的距离，那么兔子哥哥跑__________步才能追上弟弟。

【例19】狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬．一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑

步．如果狼跑

步的时间狗跑

步，狼跑

步的距离等于狗跑

步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步？

狼跑了多少步？

【巩固】小明家的猫和狗是死对头，见面就要相互打架。

一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离猫要跑260步.如果猫跑9步的时间狗跑5步，猫跑5步的距离等于狗跑3步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，猫跑了多少步?

家庭作业：

【作业1】甲、乙两人步行速度之比是3∶2，甲、乙分别由A，B两地同时出发，若相向而行，则1时后相遇。

若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？

【作业2】A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A，B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？

【作业3】地铁有A，B两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A，B两站同时出发，他们第一次相遇时距A站800米，第二次相遇时距B站500米.问：

两站相距多远？

【作业4】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:

3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？

【作业5】甲乙两车同时从A、B两地相对开出，并在两地往返运动。

已知在距离A地40千米处，两车第一次相遇，在距离A地60千米处，两车第二次相遇。

问A、B两地相距多少千米？

【作业6】一只野兔逃出100步后猎狗才开始追它，野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子能跑9步，猎狗至少要跑步才能追上野兔。

【作业7】甲、乙、丙三人同时从A处出发步行到B处。

当甲步行到B处时，乙离B处还有20米，丙离B处还有40米；当乙步行到B处时，丙离B处还有24米。

请问，

（1）A、B两处相距多少米？

（2）如果丙从A处步行到B处用了24秒，那么甲的速度是多少？

【作业8】A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？

【作业9】某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔．

【作业10】猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔？