用MATLAB优化工具箱解线性规划.docx
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用MATLAB优化工具箱解线性规划
用MATLAB优化工具箱解线性规划
命令：
x=linprog（c，A，b）
2、模型：
命令：
x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）
注意：
若没有不等式：
存在，则令A=[]，b=[].若没有等式约束,则令Aeq=[],beq=[].
3、模型：
命令：
[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）
[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）
注意：
[1]若没有等式约束,则令Aeq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始点
4、命令：
[x,fval]=linprog（…）
返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.
例1max
解编写M文件小xxgh1.m如下：
c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];
A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];
b=[850;700;100;900];
Aeq=[];beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];
[x,fval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub）
例2
解:
编写M文件xxgh2.m如下：
c=[634];
A=[010];
b=[50];
Aeq=[111];
beq=[120];
vlb=[30,0,20];
vub=[];
[x,fval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub
例3（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、
600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工
费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使
加工费用最低？
解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上
加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。
可建立以下线性规划模型：
编写M文件xxgh3.m如下:
f=[1391011128];
A=[0.41.11000
0000.51.21.3];
b=[800;900];
Aeq=[100100
010010
001001];
beq=[400600500];
vlb=zeros（6,1）;
vub=[];
[x,fval]=linprog（f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub）
例4．某厂每日8小时的产量不低于1800件。
为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。
一级检验员的标准为：
速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：
速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。
检验员每错检一次，工厂要损失2元。
为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？
解设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,
则应付检验员的工资为：
因检验员错检而造成的损失为：
故目标函数为：
约束条件为：
线性规划模型：
编写M文件xxgh4.m如下：
c=[40;36];
A=[-5-3];
b=[-45];
Aeq=[];
beq=[];
vlb=zeros（2,1）;
vub=[9;15];
%调用linprog函数：
[x,fval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub）
结果为：
x=
9.0000
0.0000
fval=360
即只需聘用9个一级检验员。
Matlab优化工具箱简介
1.MATLAB求解优化问题的主要函数
2.优化函数的输入变量
使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时,输入变量见下表:
3.优化函数的输出变量下表:
4．控制参数options的设置
Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:
（1）Display:
显示水平.取值为’off’时,不显示输出;取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’时,显示最终结果.默认值为’final’.
（2）MaxFunEvals:
允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.
（3）MaxIter:
允许进行迭代的最大次数,取值为正整数
控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。
命令的格式如下：
（1）options=optimset（‘optimfun’）
创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.
（2）options=optimset（‘param1’,value1,’param2’,value2,...）
创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.
（3）options=optimset（oldops,‘param1’,value1,’param2’,
value2,...）
创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.
例：
opts=optimset（‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8）
该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为’iter’,TolFun参数设为1e-8.
用Matlab解无约束优化问题
一元函数无约束优化问题
常用格式如下：
（1）x=fminbnd（fun,x1,x2）
（2）x=fminbnd（fun,x1,x2，options）
（3）[x，fval]=fminbnd（...）
（4）[x，fval，exitflag]=fminbnd（...）
（5）[x，fval，exitflag，output]=fminbnd（...）
其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用
（1）或
（2）的等式右边。
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。
例1求
在0主程序为wliti1.m:
f='2*exp（-x）.*sin（x）';
fplot（f,[0,8]）;%作图语句
[xmin,ymin]=fminbnd（f,0,8）
f1='-2*exp（-x）.*sin（x）';
[xmax,ymax]=fminbnd（f1,0,8）
运行结果：
xmin=3.9270ymin=-0.0279
xmax=0.7854ymax=0.6448
例2对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
先编写M文件fun0.m如下:
functionf=fun0（x）
f=-（3-2*x）.^2*x;
主程序为wliti2.m:
[x,fval]=fminbnd（'fun0',0,1.5）;
xmax=x
fmax=-fval
运算结果为:
xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.
2、多元函数无约束优化问题
标准型为：
minF（X）
命令格式为:
（1）x=fminunc（fun,X0）；或x=fminsearch（fun,X0）
（2）x=fminunc（fun,X0，options）；
或x=fminsearch（fun,X0，options）
（3）[x，fval]=fminunc（...）；
或[x，fval]=fminsearch（...）
（4）[x，fval，exitflag]=fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]=fminsearch
（5）[x，fval，exitflag，output]=fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag，output]=fminsearch（...）
说明:
•fminsearch是用单纯形法寻优.fminunc的算法见以下几点说明：
[1]fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。
由options中的参数LargeScale控制：
LargeScale=’on’（默认值）,使用大型算法
LargeScale=’off’（默认值）,使用中型算法
[2]fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由
options中的参数HessUpdate控制：
HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；
HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式；
HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法
[3]fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，
由options中参数LineSearchType控制：
LineSearchType=’quadcubic’（缺省值），混合的二次和三
次多项式插值；
LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插
•使用fminunc和fminsearch可能会得到局部最优解.
例3minf（x）=（4x12+2x22+4x1x2+2x2+1）*exp（x1）
1、编写M-文件fun1.m:
functionf=fun1（x）
f=exp（x
（1））*（4*x
（1）^2+2*x
（2）^2+4*x
（1）*x
（2）+2*x
（2）+1）;
2、输入M文件wliti3.m如下:
x0=[-1,1];
x=fminunc（‘fun1’,x0）;
y=fun1（x）
3、运行结果:
x=0.5000-1.0000
y=1.3029e-10
例4Rosenbrock函数f（x1，x2）=100（x2-x12）2+（1-x1）2
的最优解（极小）为x*=（1，1），极小值为f*=0.试用
不同算法（搜索方向和步长搜索）求数值最优解.
初值选为x0=（-1.2,2）.
1.为获得直观认识，先画出Rosenbrock函数的三维图形,
输入以下命令：
[x,y]=meshgrid（-2:
0.1:
2,-1:
0.1:
3）;
z=100*（y-x.^2）.^2+（1-x）.^2;
mesh（x,y,z）
2.画出Rosenbrock函数的等高线图,输入命令：
contour（x,y,z,20）
holdon
plot（-1.2,2,'o'）;
text（-1.2,2,'startpoint'）
plot（1,1,'o'）
text（1,1,'solution'）
3.用fminsearch函数求解
输入命令:
f='100*（x
（2）-x
（1）^2）^2+（1-x
（1））^2';
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch（f,[-1.22]）
运行结果:
x=1.00001.0000
fval=1.9151e-010
exitflag=1
output=
iterations:
108
funcCount:
202
algorithm:
'Nelder-Meadsimplexdirectsearch'
4.用fminunc函数
（1）建立M-文件fun2.m
functionf=fun2（x）
f=100*（x
（2）-x
（1）^2）^2+（1-x
（1））^2
（2）主程序wliti44.m
Rosenbrock函数不同算法的计算结果
可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.
例5产销量的最佳安排
某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大.所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.
符号说明
z（x1,x2）表示总利润；
p1，q1，x1分别表示甲的价格、成本、销量；
p2，q2，x2分别表示乙的价格、成本、销量；
aij，bi，λi,ci（i，j=1，2）是待定系数.
基本假设
1．价格与销量成线性关系
利润既取决于销量和价格，也依赖于产量和成本。
按照市场规律，
甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低，同时乙的销量x2的增长也
会使甲的价格有稍微的下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，
即：
p1=b1-a11x1-a12x2，b1，a11，a12>0，且a11>a12；
同理，p2=b2-a21x1-a22x2，b2，a21，a22>0
2．成本与产量成负指数关系
甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为
负指数关系,即:
同理，
模型建立
总利润为：
z（x1,x2）=（p1-q1）x1+（p2-q2）x2
若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,
a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20,r2=100,λ2=0.02,c2=30,则
问题转化为无约束优化问题：
求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使
总利润z最大.
为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:
z1=（b1-a11x1）x1+（b2-a22x2）x2
的极值.显然其解为x1=b1/2a11=50,x2=b2/2a22=70,
我们把它作为原问题的初始值.
模型求解
1.建立M-文件fun.m:
functionf=fun（x）
y1=（（100-x
（1）-0.1*x
（2））-（30*exp（-0.015*x
（1））+20））*x
（1）;
y2=（（280-0.2*x
（1）-2*x
（2））-（100*exp（-0.02*x
（2））+30））*x
（2）;
f=-y1-y2;
2.输入命令:
x0=[50,70];
x=fminunc（‘fun’,x0）,
z=fun（x）
3.计算结果:
x=23.9025,62.4977,z=6.4135e+003
即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.
非线性规划
1、二次规划
用MATLAB软件求解,其输入格式如下:
1.x=quadprog（H,C,A,b）;
2.x=quadprog（H,C,A,b,Aeq,beq）;
3.x=quadprog（H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB）;
4.x=quadprog（H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0）;
5.x=quadprog（H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options）;
6.[x,fval]=quaprog（...）;
7.[x,fval,exitflag]=quaprog（...）;
8.[x,fval,exitflag,output]=quaprog（...）;
例1minf（x1,x2）=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22
s.t.x1+x2≤2
-x1+2x2≤2
x1≥0,x2≥0
1、写成标准形式：
2、输入命令：
H=[1-1;-12];
c=[-2;-6];A=[11;-12];b=[2;2];
Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];
[x,z]=quadprog（H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB）
3、运算结果为：
x=0.66671.3333z=-8.2222
一般非线性规划
标准型为：
minF（X）
s.tAX<=b
G（X）
Ceq（X）=0VLB
X
VUB
其中X为n维变元向量，G（X）与Ceq（X）均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：
1.首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）:
functionf=fun（X）;
f=F（X）;
2.若约束条件中有非线性约束:
G（X）
或Ceq（X）=0,则建立M文件nonlcon.m定义函数G（X）与Ceq（X）:
function[G,Ceq]=nonlcon（X）
G=...
Ceq=...
3.建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下：
（1）x=fmincon（‘fun’,X0,A,b）
（2）x=fmincon（‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq）
（3）x=fmincon（‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB）
（4）x=fmincon（‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’）
（5）x=fmincon（‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options）
（6）[x,fval]=fmincon（...）
（7）[x,fval,exitflag]=fmincon（...）
（8）[x,fval,exitflag,output]=fmincon（...）
注意：
[1]fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。
默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。
当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。
[2]fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。
在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。
[3]fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。
例2
s.t.
2、先建立M-文件fun3.m:
functionf=fun3（x）;
f=-x
（1）-2*x
（2）+（1/2）*x
（1）^2+（1/2）*x
（2）^2
3、再建立主程序youh2.m：
x0=[1;1];
A=[23;14];b=[6;5];
Aeq=[];beq=[];
VLB=[0;0];VUB=[];
[x,fval]=fmincon（'fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB）
4、运算结果为：
x=0.76471.0588
fval=-2.0294
例3
1．先建立M文件fun4.m,定义目标函数:
functionf=fun4（x）;
f=exp（x
（1））
*（4*x
（1）^2+2*x
（2）^2+4*x
（1）*x
（2）+2*x
（2）+1）;
2．再建立M文件mycon.m定义非线性约束：
function[g,ceq]=mycon（x）
g=[x
（1）+x
（2）;1.5+x
（1）*x
（2）-x
（1）-x
（2）;-x
（1）*x
（2）-10];
3．主程序youh3.m为:
x0=[-1;1];
A=[];b=[];
Aeq=[11];beq=[0];
vlb=[];vub=[];
[x,fval]=fmincon（'fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon'）
3.运算结果为：
x=-1.22501.2250
fval=1.8951
例4．资金使用问题
设有400万元资金,要求4年内使用完,若在一年内使用资金x万元,则可得效益
万元（效益不能再使用）,当年不用的资金可存入银行,年利率为10%.试制定出资金的使用计划,以使4年效益之和为最大.
设变量
表示第i年所使用的资金数,则有
1．先建立M文件fun44.m,定义目标函数:
functionf=fun44（x）
f=-（sqrt（x
（1））+sqrt（x
（2））+sqrt（x（3））+sqrt（x（4）））;
2．再建立M文件mycon1.m定义非线性约束：
function[g,ceq]=mycon1（x）
g
（1）=x
（1）-400;
g
（2）=1.1*x
（1）+x
（2）-440;
g（3）=1.21*x
（1）+1.1*x
（2）+x（3）-484;
g（4）=1.331*x
（1）+1.21*x
（2）+1.1*x（3）+x（4）-532.4;
ceq=0
3．主程序youh4.m为:
x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];
[x,fval]=fmincon（'fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1'）
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