西安交大概率论上机实验报告.docx
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西安交大概率论上机实验报告
概率论与数理统计应用
上机实验报告
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问题一:
n个人中至少有两人生日相同的概率是多少?
通过计算机模拟此结果。
分析:
以一年365天计算,n个人生日的组合有p=
,n小于366时n个人中没有生日相同的组合为q=365*364*......*(365-n+1),则n个人中至少有两个人生日相同的概率为1-q/p。
代码:
n=input('请输入总人数n=');
p=365^n;
m=n-1;
q=1;
fori=0:
1:
m
q=q*(365-i);
end
f=1-q/p
结果:
(令n=10)
当人数为10人时,输出结果为0.1169,此即说明10人中至少有两人生日相同的概率为0.1169。
问题二:
设x~N(μ,σ2),
(1)当μ=1.5,σ=0.5时,求p{1.8(2)当μ=1.5,σ=0.5时,若p{X(3)分别绘制μ=1,2,3,σ=0.5时的概率密度函数图形。
分析:
调用相应函数并且绘图
的相关函数。
代码:
x1=[1.8,2.9];
x2=-2.5;
x3=[0.1,3.3];
p1=cdf('Normal',x1,1.5,0.5);
p2=cdf('Normal',x2,1.5,0.5);
p3=cdf('Normal',x3,1.5,0.5);
f1=p1
(2)-p1
(1)
f2=1-p2
f3=1-p3
(2)+p3
(1)%2
(1)
x=icdf('Normal',0.95,0,1)%2
(2)
x=[-4:
0.05:
10];
y1=pdf('Normal',x,1,0.5);
y2=pdf('Normal',x,2,0.5);
y3=pdf('Normal',x,3,0.5);
y4=pdf('Normal',x,4,0.5);
plot(x,y1,'K-',x,y2,'^',x,y3,'*',x,y4,'+')
结果:
f1=0.2717
f2=1.0000
f3=0.0027
x=1.6449
题目三:
已知每百份报纸全部卖出可获利14元,卖不出去将赔8元,设报纸的需求量的分布律为试确定报纸的最佳购进量。
(要求使用计算机模拟)
分析:
设X(k)为购进k百张报纸后赚得的钱,计算E(X(k))的值(k=0,1,2,3,4,5),当E(X(k))最大时此时的k值为最佳进购量
代码:
U=[];
fork=0:
5;
s=0;
forn=1:
3000;
x=rand(1,1);
ifx<=0.05;
y=0;
elseifx<=0.15;
y=1;
elseifx<=0.4;
y=2;
elseifx<=0.75;
y=3;
elseifx<=0.9;
y=4;
elsex<1;
y=5;
end;
ifk>y;
w=22*y-8*k;
else;
w=14*k;
end
s=s+w;
end
u=s/10000;
U=[U,u];
end
U
结果:
从经过一万次模拟得出的数据可以看出当进购量为300时E(X(k))最大利润最大
问题四:
设总体X~[0,1],(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一组样本,通过计算机模拟分别画出当n=2,4,10,20,…时Xi的概率密度曲线,观察当n越来越大时的概率密度曲线是否与某正态分布的概率密度曲线接近,以此验证中心极限定理。
代码:
x=[-5:
0.0001:
5];
y1=TPDF(x,2);
y2=TPDF(x,4);
y3=TPDF(x,10);
y4=TPDF(x,20);
n=input('请输入自由度n=');
y5=TPDF(x,n);
y6=NORMPDF(x,0,1);
plot(x,y1,'b',x,y2,'r',x,y3,'k',x,y4,'y',x,y5,'m',x,y6,‘c++’)
结果
n=100
问题五:
就不同的自由度画出
分布及T、F分布的概率密度曲线,每种情况至少画三条曲线。
代码:
分布
x=[-eps:
-0.02:
-0.5,0:
0.02:
2];x=sort(x');
k1=[1,2,3,4,5];y1=[];
fori=1:
length(k1)
y1=[y1,chi2pdf(x,k1(i))];
end
plot(x,y1)
T分布
x=[-10:
0.05:
10];
y1=tpdf(x,1);%black
y2=tpdf(x,2);%red
y3=tpdf(x,10);%blue
plot(x,y1,'K-',x,y2,'R-',x,y3,'-')
F分布
x=[-eps:
-0.02:
-0.5,0:
0.02:
1];
x=sort(x');
p1=[12334];q1=[11121];
y1=[];
fori=1:
length(p1)
y1=[y1,fpdf(x,p1(i),q1(i))];
end
plot(x,y1)
T分布与正态分布
x=[-4:
0.00005:
4];
y1=pdf('T',x,1);
y2=pdf('T',x,2);
y3=pdf('T',x,5);
y4=pdf('T',x,10);
n=input('自由度n=');
y5=pdf('T',x,n);
plot(x,y1,'K-',x,y2,'Y--',x,y3,'R:
',x,y4,'-.',x,y5,'m')
输入n=20
问题六:
就正态总体的某一个参数,构造置信区间,以检验置信度。
即通过随机产生100组数据,构造100个置信区间,观察是否有100(1-
)%个区间包含此参数。
代码:
a=input('输入正态分布的期望μ=');
b=input('输入正态分布的方差σ^2=');
c=input('输入置信度1-α=');
A=normrnd(a,sqrt(b),[100,100]);
u=norminv(1-(1-c)/2,0,1);
fprintf('100个置信区间为:
\n');
num=0;
fori=1:
100
B=A(i,:
);
aver=sum(B)/100;
fprintf('(%f,%f)\n',aver-sqrt(b)*u/10,aver+sqrt(b)*u/10);
ifa>aver-sqrt(b)*u/10&anum=num+1;
end
end
fprintf('其中包含μ的置信区间有%d个\n',num);
fprintf('计算得1-α=%f\n',num/100);
问题七:
对于正态总体,当均值已知时,至少用两种方法构造方差的置信度为95%的置信区间,比较两种方法的优劣。
解:
编程:
%σμχΣα
a=input('输入正态分布的期望μ=');
b=input('输入正态分布的方差σ^2=');
c=input('输入置信度1-α=');
d=sqrt(b);
fprintf('样本观测值:
');
A=normrnd(a,d,[110])
fprintf('方法一:
\n根据(1/σ^2)Σ(xi-μ)^2服从χ^2(10)分布来计算\n\n');
u1=chi2inv((1-c)/2,10);
u2=chi2inv(1-(1-c)/2,10);
s=sum((A-a).^2);
left=s/u2;
right=s/u1;
length1=abs(right-left);
fprintf('计算得σ^2的置信区间为(%.4f,%.4f),区间长度为%.4f\n',left,right,length1);
fprintf('方法二:
\n根据10(x-μ)^2/σ^2服从χ^2
(1)分布来计算\n\n');
u1=chi2inv((1-c)/2,1);
u2=chi2inv(1-(1-c)/2,1);
aver=sum(A)/10;
left=10*(aver-a)^2/u2;
right=10*(aver-a)^2/u1;
length2=abs(right-left);
fprintf('计算得σ^2的置信区间为(%.4f,%.4f),区间长度为%.4f\n',left,right,length2);
iflength2>length1
fprintf('比较可得方法二更优\n');
else
fprintf('比较可得方法一更优\n');
end
结果:
代码:
结果:
0.2633t=1.9999<2.0687,接受mu1=mu2的假设;
综上,这两种样本来自同一个正态总体(α=0.05)。
0.2633t=1.9999<2.0687,接受mu1=mu2的假设;
综上,这两种样本来自同一个正态总体(α=0.05)。
0.2633t=1.9999<2.0687,接受mu1=mu2的假设;
综上,这两种样本来自同一个正态总体(α=0.05)。