勾股定理培优讲义.docx
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勾股定理培优讲义
宜昌市迈克学习能力培训学校业精于勤荒于嬉
勾股定理知识点汇总
一、基础知识点:
1.勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:
如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:
方法一:
4S
S正方形EFGH
S正方形ABCD,4
1
ab(ba)2
c2,化简可证.
2
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
a2b2c2
D
C
H
E
G
F
ba
AcB
四个直角三角形的面积与小正方形面
积的和为S
4
1
ab
c2
2abc2
大正方形面积为S
(a
b)2
a2
2ab
b2
b
a
a
2
c
b
所以a2
b2
c2
c
c
1(a
21ab
方法三:
S梯形
b)(a
b),S梯形
2SADE
SABE
2
2
b
2
c
2
b
c
1c,化简得证a
a
2
2
2
a
b
3.勾股定理的适用范围
A
a
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,
它只适用于直角三角形
,对于锐角三角形
D
和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
b
c
4.勾股定理的应用
c
E
a
①已知直角三角形的任意两边长,
求第三边在
ABC中,C
90,则c
a2
b2
,b
c2
a2,B
bC
ac2
b2
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
5.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a,b,c满足a2
b2
c2,那么这个三角形是直角三角形,其中
c为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过
“数转化为形”来确定三角
形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和
a2
b2与较长边的平方
c2作比较,若它们相等时,
以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;
②若a2
b2
c2,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若
a2
b2
c2,时,以a,b,c为三边
的三角形是锐角三角形;
③定理中a,b,c及a2
b2
c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长
a,b,c满足
a2
c2
b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是
b为斜边
该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:
①已知的条件:
某三角形的三条边的长度.
②满足的条件:
最大边的平方
=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论:
这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角
.
④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
6.勾股数
满足a2+b2=c
2的三个正整数,称为勾股数。
注意:
①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:
(3,4,5
)(5,12,13
)(
6,8,10
)(
7,24,25
)
(8,15,17
)(9,12,15)
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王老师
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③用含字母的代数式表示
n组勾股数:
n2
1,2n,n21
(n
2,n为正整数);
2n1,2n
2
2n,2n
2
2n
1
n
m
2
2
2
2
m
n
(
为正整数)
n,2mn,m
n
,
为正整数)
(mn,
7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行
计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.
8.勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
9.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:
CC
C
30°
ABADBBDA
10、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一
个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
经过证明被确认正确的命题叫做定理
如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理
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考点剖析
考点一:
利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积:
(1)阴影部分是正方形;
(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.
2.如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.
3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,
则它们之间的关系是()
A.S-S=S
3
B.S+S=S
3
C.S+S
1
D.S-S
3
=S
1
2
1
2
2
3
2
1
4、四边形
ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
5、在直线上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。
已知斜放置的三个正方形的面
积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是、
考点二:
在直角三角形中,已知两边求第三边
S3
S1
S2
=_____________。
1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长为.
2.(易错题)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12,求斜边上的高.
4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的
2倍,则斜边扩大到原来的(
)
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
5、在Rt△ABC中,∠C=90°
①若a=5,b=12,则c=___________;
②若a=15,c=25,则b=___________;
③若c=61,b=60,则a=__________;
④若a∶b=3∶4,c=10则Rt△ABC的面积是=________。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为
n2
1,2n(n>1),那么它的斜边长是(
)
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A、2nB、n+1C、n2-1D、n21
7、在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是()
A.a2b2c2B.a2c2b2C.c2b2a2D.以上都有可能
8、已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是()
A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2
9、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角
三角形的斜边为边长的正方形的面积为()
A、5B、25C、7D、15
考点三:
应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高
例、如图1所示,等腰中,,是底边上的高,若.
求①AD的长;②ABC的面积.
考点四:
勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题
1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()
A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17
2、若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为()
A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7
3、下面的三角形中:
①△ABC中,∠C=∠A-∠B;②△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3;③△ABC中,a:
b:
c=3:
4:
5;
④△ABC中,三边长分别为8,15,17.其中是直角三角形的个数有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
4、若三角形的三边之比为
2
1
:
1,则这个三角形一定是(
)
:
2
2
A.等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等腰直角三角形
D.
不等边三角形
5、已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a
2+b2-c2)=0,则它的形状为(
)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.
等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数
得到的三角形是()
A.钝角三角形
B.
锐角三角形
C.
直角三角形
D.
等腰三角形
7、若△ABC的三边长a,b,c
满足
2
2
2
a
b
c
20012a
16b
试判断△ABC的形状。
20c,
8、△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形
为。
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例3:
求
(1)若三角形三条边的长分别是
7,24,25
,则这个三角形的最大内角是
度。
(2)已知三角形三边的比为
1:
3:
2,则其最小角为
。
D
考点五:
应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
B
某楼梯的侧面视图如图3所示,其中
米,
,
,因某种C
A
活动要求铺设红色地毯,则在
AB段楼梯所铺地毯的长度应为
面积为
考点六、利用列方程求线段的长(方程思想)
1、小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现
下端刚好接触地面,你能帮他算出来吗?
A
CB
2、一架长2.5m的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底0.7m(如图),如果梯子的顶端沿墙下滑
0.4m,那么梯子底端将向左滑动米
3、如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如
果梯子的顶端下滑1米,那么,梯子底端的滑动距离1米,(填“大于”,“等于”,
或“小于”)
4、在一棵树10m高的B处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘A处;?
另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离
相等,试问这棵树有多高?
8
6
5编写人:
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5、如图,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位:
mm)计算两圆孔中心
A和B
的距离为
.
60
A
B
0
2
C
1
0
140
6
6、如图:
有两棵树,一棵高
8米,另一棵高
2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树
梢,至少飞了
米.
7、如图所示,某人到一个荒岛上去探宝,在
A处登陆后,往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走
3km,
再折向北方走到
5km处往东一拐,仅1km?
就找到了宝藏,问:
登陆点(
A处)到宝藏埋藏点(
B处)的直线距离
是多少?
8米
2米
8米
第6题图
考点七:
折叠问题
1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC折叠,使点C落
在A边上上的点E,折痕为AD,连接DE,则CD等于()
A.25B.22C.7D.3
434
2、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC?
于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB的长.
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,
求CF和EC。
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4、如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC边上存在一点
E,沿直线AE把△ABC折叠,使点D恰好在BC边上,设
此点为F,若△ABF的面积为30,求折叠的△AED的面积
A
D
E
B
F
C
5、如图,矩形纸片ABCD的长AD=9㎝,宽AB=3㎝,将其折叠,使点D与点F重合,那么折叠后DE的长是多少?
6、如图,在长方形ABCD中,将ABC沿AC对折至AEC位置,CE与AD交于点F。
(1)试说明:
AF=FC;
(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长
7、如图2所示,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D正好落在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分面积为_______.
8、如图,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′的位置上,已知AB=?
3,BC=7,重合部分△EBD的面积为________.
9、如图5,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点,求证:
DE:
DM:
EM=3:
4:
5。
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10、如图2-5,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合,?
则折叠后痕迹EF的长为
()
A.3.74B.3.75C.3.76D.3.77
2-5
11、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.
②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.
12、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
13、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机行驶
时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
考点八:
应用勾股定理解决勾股树问题
1、如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的
正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的和为
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2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以
Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt
△的斜边
为直角边,画第三个等腰Rt△
,⋯,依此类推,第
n
个等腰直角三角形的斜边长是
.
ACD
AD
ADE
考点九、图形问题
1、如图1,求该四边形的面积
2、如图2,已知,在△
中,∠
A
=45°,
AC
=
2,
AB
=3+1,则边BC的
ABC
长为
.
3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=2.3m,BC=2
m,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5m,宽为1.6m,问这辆卡车能否通过公司的大门?
并说明你的理由
.
C
3B
12
D
4
13
A
4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝,高为12㎝的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面
的长为h㎝,则h的取值范围。
5、如图,铁路上A、B两点相距25km,C