九年级数学难题精选.docx
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九年级数学难题精选
一、
如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
解：
（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，解得
，
故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，解得
故直线AC为y=x+1；
（2）作N点关于直线x=3的对称点N'，则N'（6，3），
由
（1）得D（1，4），
故直线DN'的函数关系式为y=﹣
x+
，
当M（3，m）在直线DN'上时，
MN+MD的值最小，则m=﹣
×
=
；
（3）由
（1）、
（2）得D（1，4），B（1，2）
∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=﹣x2+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，
点F在点E下方，
则F（x，x﹣1）
由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=
或x=
∴E（
，
）或（
，
）
综上，满足条件的点E为E（0，1）、（
，
）或（
，
）；
（4）方法一：
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；
过点C作CG⊥x轴于点G，如图1设Q（x，x+1），
则P（x，-x2+2x+3）
∴PQ=（-x2+2x+3）-（x﹣1）=-x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=
PQ·AG=
（-x2+x+2）×3=-
（x﹣
）2+
∴面积的最大值为
．
二、
已知：
直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M
交OC于D、E，连结AD、BD、BE。
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。
_____________________,______________________
（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），
若抛物线y=ax2-2ax-3a（a<0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点。
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。
②求抛物线的解析式。
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：
过点P做PN⊥x轴于N，
使得⊿PAN与⊿OAD相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
图1 图2
1）△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB
（2）①（1，-4a）
②∵△OAD∽△CDB
∴
∵ax2-2ax-3a=0，可得A（3，0）
又OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=1,
∴
∴
∵
∴
故抛物线的解析式为：
③存在，
设P（x,-x2+2x+3）
∵△PAN与△OAD相似,且△OAD为等腰三角形 ∴PN=AN
当x<0（x<-1）时，-x+3=-（-x2+2x+3）,x1=-2,x2=3（舍去），∴P（-2，-5）
当x>0（x>3）时，x-3=-（-x2+2x+3）,x1=0,x2=3（都不合题意舍去）
符合条件的点P为（-2，-5）
三、
如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，∠OCD=∠D=90°，AO=OC=10cm，CD=6cm．
（1）请求出点A的坐标．
（2）如图2，动点P、Q以每秒1cm的速度分别从点O和点C同时出发，点P沿OA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿CO运动到点O停止．设P、Q同时出发t秒．
①是否存在某个时间t（秒），使得△OPQ为直角三角形若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
②若记△POQ的面积为y（cm2），求y（cm2）关于t（秒）的函数关系式．
解：
（1）如图1，作AE⊥OC于E．
∴AE∥CD,
∵∠OCD=∠D=90°，
∴AD∥OC，
∵CD=6cm，
∴AE=DC=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OE=8cm，
∴A（8，6）；
（2）作AN⊥OA，设与OC的延长线交于N点，延长DA，与y轴交于点M．
①如图2，
∵AD∥OC，
∴AM⊥OM，
∴DM∥OC，
∵A（8，6），
∴AM=8cm，OM=CD=6cm，
∴∠AON=∠MAO，
∵∠AMO=∠OAN=90°，
∴△OMA∽△NAO，
∴
OM
AN
=
MA
AO
=
OA
ON
，
∵OM=6cm，AM=8cm，OA=10cm，
∴AN=
15
2
cm，ON=
25
2
cm，
如图，若∠OPQ=90°，则△OPQ为直角三角形，
∴PQ∥AN，
∴
OP
OA
=
OQ
ON
，
∵P，Q两点的运动时间为t秒，OC=OA=10cm，
∴
t
10
=
10-t
25
2
∴t=
40
9
，
如图，若∠OQP=90°，则△OPQ为直角三角形，
∵∠AON=∠QOP，
∴∠AON∽△QOP，
∴
OP
ON
=
OQ
OA
，
∴
t
25
2
=
10-t
10
，
∴t=
50
9
cm，
∴当t=
40
9
cm或者t=
50
9
cm时，△OPQ为直角三角形；
②如图3，作QH⊥OA于H．
∵AN⊥OA，
∴QH∥AN，
∴
QH
AN
=
OQ
ON
，
∵OQ=10-t，AN=
15
2
，ON=
25
2
，
∴QH=
30-3t
5
cm，
∵OP=t，
∴S△OPQ=
QH•OP
2
=
30t-3t2
10
，
∴S=-
3
10
t2+3t（0＜t＜10）．
四、
如图，在矩形OABC中
，OA＝8，OC＝4，OA、OC分别在x轴与y轴上，D为OA上一点，且CD＝AD．
（1）求点D的坐标；
（2）若经过B、C、D三点的抛物线与x轴的另一个交点为E，请直接写出点E的坐标；
（3）在
（2）中的抛物线上位于x轴上方的部分，是否存在一点P，使△PBC的面积等于梯形DCBE的面积若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（1）设OD＝x，则AD＝CD＝8－x
Rt△OCD中，（8－x）2＝x2＋42 得x＝3
∴OD＝3
∴D（3，0）
（2） 由题意知，抛物线的对称轴为直线x＝4
（3） ∵D（3，0），∴另一交点E（5，0）
（3）若存在这样的P，则由S梯形＝20， 得S△PBC＝
·BC·h＝20．
∴h＝5
∵B（8，－4）， C（0，－4）， D（3，0）
∴该抛物线函数关系式为：
y＝－
x2＋
x－4．
顶点坐标为（4，
）
∴顶点到
BC的距离为4＋
＝
＜5
∴不存在这样的点P，使得△PBC的面积等于梯形DCBE的面积．
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