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椭圆科学

椭圆科学

作者：

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摘要：

椭圆这种圆锥曲线有其历史渊源，鸡蛋为何是椭圆的都有其解释。

椭圆当然有其数学定义，并由它的数学本质可证出与之相关的一些结论，如圆柱截面呈椭圆形﹑椭圆面积公式Πab。

椭圆这种封闭的曲线还有其独特的艺术美。

利用数学和天体物理相关知识，能很好地解决地球绕太阳运行的轨道为何是椭圆的以及这个椭圆轨道的方程求法这两大问题。

两互相垂直的简谐振动的合振动对应的图像也可能是椭圆，这也是其数学归属。

椭圆还具有独特的光学性质；有关椭圆的应用技术和研究与椭圆有关的相关书籍也不断涌现。

关键词：

椭圆圆锥曲线历史鸡蛋为何椭圆形数学本质面积公式周长公式曲线美轨道简谐合振动图像光学特性应用技术相关书籍

引言：

一说到椭圆，它的一个几何图形就会立刻浮现在我们的脑海。

椭圆看上去觉得没什么，顶多是有点“椭”的圆形，但这只是我们的感性认识，“只有使感性认识上升到理性认识，才能把握住事物的本质，满足实践的需要。

”［1］其实，椭圆并不像我们想像的那么简单，它具有其独特的科学内涵。

现在就让我用通俗易懂的语言，就几个方面来探讨它的魅力所在吧！

正文：

椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线），让我们先来了解一下关于圆锥曲线的某些历史吧！

圆锥截线的发现和研究起始于古希腊。

Euclid,Archimedes,Apollonius,Pappus等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以Apollonius所著的八册《圆锥截线论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精辟之作。

当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演着重要的角色。

此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。

Kepler三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。

［2］由此可见，圆锥曲线不单单是几何学家所爱好的事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。

如果这些行星速度增大到某种程度，它们就会沿着抛物线或双曲线运行。

人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。

相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。

因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。

其实在生活中椭圆的身影也是很多的，如一些瓜类：

西瓜、东瓜、哈密瓜；一些蛋类：

鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋。

当我们切黄瓜、火腿肠时，只要你斜着刀切，切下来的一片片不都是椭圆形的吗？

就连美式足球中的橄榄球也是椭圆的。

在建筑学中，我们可以看到许多的建筑呈椭圆形，例如运动场，椭圆形赛场能够很好地照顾到观众视线的均衡。

适者生存，不适者淘汰。

既然自然界选中了“椭圆”，就让我们来讨论一个“无聊”的问题：

鸡蛋为何是椭圆而非圆形的？

可以这样抽象地回答：

鸡蛋怎可能是其他形状呢？

如果是方形的，母鸡会生得出来吗？

如果是其他形状的，母鸡肚子有多难受？

你知道吗？

我想，如果是别的形状的话，母鸡五脏六腑不知道会变成什么样子。

可是为什么不是圆呢？

我想，如果是圆的话，母鸡下蛋的时候也不好下，是圆的话，直径不是很宽吗？

下出来的时候，鸡的屁股就要张得很开；如果是椭圆的就不用张得那么开了，蛋在肚子里也不会让母鸡不舒服了，五脏六腑也不会不知道会变成什么样子了。

其次，椭圆形可以防止鸡蛋被压坏。

从前有个人吹他自己力大无穷，有人就拿了一个鸡蛋给那个人，请他用一只手将鸡蛋握碎，那个人把鸡蛋握在手心里，可是，尽管他费了九牛二虎之力也没有将鸡蛋握碎。

母鸡体内的气体和水构成了压力和当鸡蛋排出生殖口的时候都给鸡蛋施加了压力，为了防止鸡蛋被压力所压碎，鸡蛋只能是椭圆的。

所以，鸡蛋是椭圆的是最好的。

看来，自然界还真不能缺少椭圆啊！

但是，还想更深层次地揭示椭圆的内在性质就有点困难了。

伟大的无产阶级革命家、思想家、政治家马克思曾说过，“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步。

”那么，现在就来了解椭圆这种圆锥曲线的数学本质。

对椭圆，现在高中教材上有两种定义：

1：

平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；2：

平面上到定点距离与到定直线距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。

这两个定义是等价的。

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程为：

x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>0，b>0。

a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2（a^2-b^2）^0.5，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c，离心率e=c/a。

［3］我们知道椭圆的图形可根据其对称性画出来，但还不是很方便；不过，可用椭圆近似画法来作图。

常用的椭圆近似画法为四圆弧法，即用四段圆弧连接起来的图形近似代替椭圆。

左下图为四圆弧法画椭圆：

斜切圆柱体（不通过底面），就有一个截面，下面证明它是椭圆形的。

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端相中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2。

由定义1知：

截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点。

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。

这样，我们就明白了为什么斜切出来的每片火腿都是椭圆形的了。

椭圆，顾名思义，就是有些“椭”的圆形。

故而，椭圆与圆有许多相似之处。

椭圆是由圆上每个点的横坐标（或纵坐标）压缩（或伸长）原来的若干倍得到的图形。

如：

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）是由圆x^2+y^2=a^2上每点的纵坐标压缩为原来的b/a而得到的曲线。

因此，圆可以看作是一个特殊的椭圆，椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸。

椭圆的参数方程是：

x=acosθ，y=bsinθ。

它们有很多相似的性质，而圆有一些椭圆没有的性质，故可用圆的某些性质来解决椭圆的有关问题，使解题更快捷、更简便。

圆的面积公式为πr^2，将圆在X轴和Y轴方向所对应的半径分别看作是椭圆的长半轴和短半轴，则可类比得出椭圆的面积公式是πab。

椭圆的面积公式可以这样推导出来：

将一个半径为r的圆形纸片倾斜放置在水平面上，倾角记作θ，用一束光从纸片上方竖直照下，则会在水平面上形成一个椭圆影子，该椭圆面积S椭=S圆cosθ，而影子所对应的椭圆的长半轴a=r，短半轴b=rcosθ，则ab=r^2cosθ，S椭=πr^2cosθ=πab。

这种证法可行，但不能算作严格的证明。

用定积分的相关数学知识就可严格得出椭圆面积公式。

因椭圆曲线是关于X轴和Y轴的中心对称图形，故只需计算出第一象限内所对应的四分之一椭圆面积再乘以4即可，则有

。

求出积分式（详细过程省略），即得S椭=πab。

说到面积就又会想到周长，圆的周长公式为C=2πr，但椭圆却没有这么直接的周长公式，它只有积分式或无限项展开式。

椭圆周长（L）的精确计算要用到积分或无穷级数的求和.如L=4a*sqrt（1-e^sin^t）的（0-pi/2）积分,其中a为椭圆长轴,e为离心率。

对椭圆周长这类问题的讨论引出一门数学分支－－椭圆积分（变分法），现在仍然方兴未艾。

按标准椭圆方程：

长半轴a，短半轴b。

设λ=（a-b）/（a+b），

椭圆周长L：

L=π（a+b）（1+λ^2/4+λ^4/64+λ^6/256+25λ^8/16384+......）

简化：

L≈π[1.5（a+b）-sqrt（ab）]或L≈π（a+b）（64-3λ^4）/（64-16λ^2）

说明：

λ^2表示λ的平方，类推。

取到级数的前两项足够了。

［4］

关于椭圆的数学研究多而繁杂，就椭圆积分而言就有：

第一类不完全椭圆积分、第二类不完全椭圆积分、第三类不完全椭圆积分、第一类完全椭圆积分、第二类完全椭圆积分、[编辑]特殊值[编辑]特殊值第三类完全椭圆积分。

在求椭圆环电流中心的磁感强度时就要用上椭圆积分相关知识了。

当然，关于椭圆的研究不会止步，如宏程序在椭圆面加工中的应用研究、关于拟线性椭圆型方程的Dirichlet边值问题、硕士论文——基于椭圆曲线密码支付系统研究、基于椭圆曲线密码体制的门限签密研究、用于网络安全的椭圆曲线加密算法研究——用椭圆曲线算法实现数字签名……

从离心率这一角度分析可知，圆、椭圆、抛物线、双曲线的离心率分别为e=0,01。

看来，椭圆是圆的过渡，但又不像抛物线、双曲线那样开放。

椭圆是封闭的曲线，但又不同于圆的全方位对称（显得俗而呆板），它圆润典雅，有独特的曲线美感，它可作为某些物具的外型，如椭圆吊顶、椭圆桌、椭圆商标、椭圆行李箱。

离心率为黄金比，也就是等于½（√5-1）（即0.168）的椭圆称为“黄金椭圆”。

这可能就是椭圆的数学与艺术的完美结合吧！

关于黄金椭圆，有些数学特殊性质:

①从椭圆中向过焦点和相应定点的圆作切线，椭圆是黄金椭圆的充要条件是切线长等于短半轴长。

②椭圆是黄金椭圆的充要条件是椭圆菱形（连接椭圆四个顶点的四边形是菱形，我们称为椭圆菱形）的内切圆半径等于半焦距。

③点P是黄金椭圆上除顶点外的任意一点，过点P作椭圆的切线PM，则

④椭圆为黄金椭圆的充要条件是c,b,a成等比数列。

⑤设A（a,o）,B（0,b）,F（-c,o）,则椭圆为黄金椭圆的充要条件是

数学的发明和创造，不仅为了反映客观世界的数量关系和空间形式，还来源于对美的追求。

衡量一个理论是否成功，不仅要有实践标准和逻辑标准，还要有美的标准。

当一种理论尚未达到美的境界时，就必须继续改进发展，“按照美的规律来制造”。

圆锥曲线是中学数学的重要内容之一，圆锥曲线的标准方程形式简洁、优美而匀称，给人以一种美的享受。

它是利用坐标和代数方法研究几何问题的具体运用，是人类智慧的体现，也是大自然深层结构的美的折射。

在生活中看到的椭圆形的事物，例如极具观赏价值的芫花、樟树的叶子就是椭圆形的；传统观点认为卧室中衣柜的镜子以及餐厅中的餐桌最好是椭圆形的；天津的奥林匹克中心体育馆的水滴造型就是一个不规则椭圆形，临水而起，犹如一颗由东南风吹来的水滴，这些都让人体会到一种诗意美景。

提到圆锥曲线的美学价值，就一定要提到一个概念，那就是黄金椭圆，其中离心率ｅ＝　

=0.618。

黄金椭圆在珠宝首饰中的应用比较广泛。

轴对称图形和中心对称图形给人以对称、均衡的形象之美。

你知道最大的椭圆有多大吗？

让我们把视野投向宇宙吧！

哈勃根据星系的形态把它们分成三大类：

椭圆星系、旋涡星系和不规则星系。

椭圆星系是河外星系的一种，呈圆球型或椭球型。

中心区最亮，亮度向边缘递减。

［5］没想到星系都有椭圆类型的，这椭圆够大的！

既然谈到宇宙，我们就把视线转向太阳与人类的诞生地――地球上去。

开普勒第一定律：

所有太阳系中的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

我们不禁有个疑问：

为何那些行星的轨道都是椭圆形的呢？

轨道是圆形的不更稳定、更好吗？

其实，自宇宙大爆炸以后的数亿年里各种星系陆续形成，其中就有太阳系。

大爆炸后所形成的各星体由于万有引力作用，相互约束各自的运动，质量大的星体（如太阳）就捕获一些质量相对小的星体（如地球），地球绕太阳以椭圆轨道运动关键在于捕获速度。

即小星球靠近的速度小于特定的捕获速度，它会屈服于大星球引力而撞上去；靠近速度过大则会摆脱引力而飞走。

而捕获速度是有一区间的，在最小值时，小星球沿圆形轨道运行，否则走椭圆轨道。

实际上，小星球被捕获时的速度很少有机会刚好是最小捕获速度，所以多数是沿椭圆轨道运行了。

以地球为例，捕获速度就是介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间。

小于第一宇宙速度，会被地球吞噬；大于第一宇宙速度，则会飞出地球的势力范围。

现知道了地球的运行轨道是椭圆形的，那么这个椭圆的方程就应该能被求出来，如何求呢？

估计这个问题一般人答不上来，可能学了高等物理的人用微积分的相关数学知识才能给出精确答案。

在这儿我只描述一下求法。

先要忽略掉一些其他次要因素，利用机械能守恒和角动量守恒定律，还要用牛顿力学中万有引力提供向心力列方程，去证明加速度a的方向始终指向太阳。

再证地球运动是平面运动，然后再去证明轨迹是椭圆。

为方便计算，可以太阳为中心引入极坐标和直角坐标系，设地球在点P，并引入两个矢量去简化计算。

当然，还要用到微积分的知识。

初始条件也要定好，可设近日点为初始条件。

（这个附带把开普勒第二定律证明出来了）经过复杂运算过程，可列出一个方程，即极坐标中椭圆的方程。

再查阅出太阳与地球的相关参数，就可顺利求出地球的椭圆轨道方程了。

椭圆，可不仅仅是巧合！

相互垂直频率相同的两个简谐振动的合成的图像就可能是椭圆形的。

设两个简谐振动分别为x=A1COS（wt+∮1）x=A2COS（wt+∮2）

∮2—∮1=π/4+2nπ（n=0,1,2,…）cos（∮2—∮1）=+√2/2∮2—∮1=π/4+（2n+1）π（n=0,1,2,…）sin^2（∮2—∮1）=½

若A1=A2=A，则有x^2+y^2+√2xy=½A^2合振动为椭圆振动。

当∮2=π/4，∮1=0时为顺时针的椭圆振动；当∮2=5π/4∮1=0时为逆时针椭圆振动。

［6］

椭圆还有其独特的光学性质：

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

假如有一个餐厅是椭圆形的，你的位置恰好位于椭圆的一个焦点上。

这时你突然听到不知哪里传出的一男一女谈情说爱的声音，其肉麻程度不堪入耳，并且声音格外清晰。

不用怕，这是因为那对男女正好坐在另一个焦点上，他们谈话的声音再小你也听得见，因为这些声音经过房间墙壁的反射后全汇聚到你这里来了。

看上图，我们在两个焦点间连接一条长度为2a的绳子，绳子上挂一个重物。

注意到重物是挂在绳子上的，绳结处P是可以活动的。

显然，P点的轨迹形成了一个椭圆。

重物有不断下落的趋势，此时重力势能转化为动能；当整个力学系统静止时，重力势能达到最小，因此最终绳结P应该位于椭圆的最低点，该点处的切线正好是一条水平线。

此时绳结P受到了三个力：

重物M所产生的垂直向下的力，以及左右两边的绳子的拉力。

由于物体保持平衡，两个拉力的合力必须竖直向上才行。

但绳子内部的张力处处相等，两个方向上的拉力大小应该一样；如果它们的合力竖直向上，那么这两个力的方向与竖直方向的夹角必然相同。

于是我们得到了和上面的讨论相同的结论：

椭圆上的点与两焦点的连线到法线的夹角相等。

LED路灯选择椭圆LED也有其特色：

角度是100/50的LED照度是划一流明数的120角度的LED的2倍统制,而且椭圆形角度的LED发出来的光形是长方型,更相宜在路灯上运用,况且照度的出息能够更好的应用于高杆LED路灯以及射灯上。

[7]在红宝石激光器中,其聚光器也一般为椭圆柱形。

以上可能多是些理论方面的东西，现在就来看一看一些与椭圆有关的应用技术吧！

①椭圆齿轮流量计，容积式流量计的一种，用于精密的连续或间断的测量管道中液体的流量或瞬时流量．它特别适合于重油、聚乙烯醇、树脂等粘度较高介质的流量测量。

②椭圆偏振技术，一种多功能和强大的光学技术，可用以取得薄膜的介电性质（复数折射率或介电常数）。

它已被应用在许多不同的领域，从基础研究到工业应用，如半导体物理研究、微电子学和生物学。

椭圆偏振是一个很敏感的薄膜性质测量技术，且具有非破坏性和非接触之优点。

③双轴变椭圆振动筛，主要特点是筛面抛掷指数从泥浆入料端到出料端由大到小递减,在泥浆入料端具有较大的抛掷指数,能有效地提高固液分离速度,减少钻井液沿筛面的流程分布。

④椭圆矩形翅片管，在防止锅炉低温腐蚀上的应用。

⑤椭圆运动驱动技术，在电火花加工中的应用。

⑥椭圆偏振光谱技术。

⑦随着信息技术的发展,人们对信息安全的要求也越来越高,信息加密、数字签名、数字证书等专业术语成为与人们生活息息相关的内容。

椭圆曲线密码体制作为一种新兴的加密及身份认证技术,以其自身的多项特……椭圆的内涵非常丰富，关于它的研究和应用还有很多，许多与椭圆这一话题相关的书籍也是层出不穷，如《椭圆曲线及其在密码学中的应用》（现代译丛，作者：

＜德＞恩格）、《椭圆与抛物线型方程引论》（科学出版社03年版）《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》（作者：

陈亚浙、吴兰成科学出版社）、《椭圆与超椭圆曲线公钥密码的理论与实现》（科学出版社06年版）[8]结论：

椭圆包含有丰富的科学内涵，它在数学、天体物理的研究以及生活乃至信息技术界都有其不可磨灭的价值；由椭圆所延伸出的各种应用技术也不断涌现，关于椭圆的研究还在继续，还要更深入、更全面地剖析它，使之为人类创造出更多的价值。

参考文献：

［1］《马克思主义基本原理概论》（09年修订版）高等教育出版社第71页

［2］［3］［4］［5］［6］《物理学导论》（下册）科学出版社08年版第67页[7]

［8］.搜索相关词条