最新12充分条件与必要条件.docx
《最新12充分条件与必要条件.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新12充分条件与必要条件.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
最新12充分条件与必要条件
1-2充分条件与必要条件
一、选择题
1．（2011·福建文，3）若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查充要条件．
a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．
2．（文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
[答案] B
[解析] 考查命题与它的逆命题之间的关系．
原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.
（理）命题“若a>0，则a2>0”的否命题是（ ）
A．若a2>0，则a>0B．若a<0，则a2<0
C．若a≤0，则a2≤0D．若a≤0，则a2≥0
[答案] C
[解析] 否命题是将原命题的条件与结论分别否定，作为条件和结论得到的，即“若a≤0，则a2≤0”．
3．（2012·临沂模拟）“sinα＝
”是“cos2α＝
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查充要条件和三角公式．
∵cos2α＝1－2sin2α＝
，∴sinα＝±
，
∴sinα＝
⇒cos2α＝
，但cos2α＝
sinα＝
，
∴“sinα＝
”是“cos2α＝
”的充分而不必要条件．
4．（2012·安庆模拟）对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 考查平面向量平行的条件．
∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.
反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.故选A.
5．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．
其中真命题是（ ）
A．①②B．②③
C．①③D．③④
[答案] C
[解析] 写出相应命题并判定真假．①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；②“不相似三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>－1”为真命题；④“若A⊉B，则A∪B≠B”为假命题．
6．（2012·天津理，2）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查充分必要条件．由x≥2且y≥2，则x2＋y2≥4一定成立，而x2＋y2≥4时，x≥2且y≥2不一定成立，如x≥3且y≥0，故充分不必要条件．
二、填空题
7．已知命题p：
|2x－3|>1，命题q：
lg（x－2）<0，则命题p是命题q的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] p：
x>2或x<1，q：
28．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
[答案] 3
[解析] 原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m2>n2，则m>－n”也是假命题，从而否命题也是假命题．
三、解答题
9．已知p：
－2≤x≤10，q：
1－m≤x≤1＋m（m>0），若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析] 解法一：
（直接法）
∵p：
－2≤x≤10，∴綈p：
A＝{x|x<－2或x>10}．
∵q：
1－m≤x≤1＋m，
∴綈q：
B＝{x|x>1＋m或x<1－m}．
∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
∴BA，∴
（等号不同时成立），解得m≥9.
解法二：
（等价命题转化法）
∵“¬p是¬q必要不充分条件”的等价命题是：
p是q的充分不必要条件．
设p：
A＝{x|－2≤x≤10}，q：
B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
∵p是q的充分不必要条件，∴AB.
∴
（两个等号不能同时取到），∴m≥9.
一、选择题
1．（2011·大纲全国卷理，3）下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a>b＋1B．a>b－1
C．a2>b2D．a3>b3
[答案] A
[解析] 本题主要考查了不等式的性质以及充分不必要条件、充要条件等概念，难度适中．
要求a>b成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a>b，而由a>b推不出选项．在选项A中，a>b＋1能使a>b成立，而a>b时a>b＋1不一定成立，故A正确；在选项B中，a>b－1时a>b不一定成立，故B错误；在选项C中，a2>b2时a>b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3>b3是a>b成立的充要条件，故D也错误．
2．（文）命题甲：
x、21－x、2x2成等比数列；命题乙：
lgx、lg（x＋1）、lg（x＋3）成等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
[答案] B
[解析] 甲：
x·2x2＝（21－x）2，即2x2－x＝22－2x，∴x＝1或－2
乙：
lgx＋lg（x＋3）＝2lg（x＋1），即x（x＋3）＝（x＋1）2，
∴x＝1，
∴甲
乙，而乙⇒甲．
（理）在△ABC中，设命题p：
＝
＝
；命题q：
△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 命题p中，因
＝
＝
，由正弦定理可得
＝
＝
＝k，
所以
消去k，得a＝b＝c.
命题q中，因△ABC是等边三角形，
所以a＝b＝c，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
所以
＝
＝
.
二、填空题
3．有下列判断：
①命题“若q则p”与命题“若綈p则綈q”互为逆否命题；②“am2其中正确命题的序号为________．
[答案] ①④
[解析] ①两个命题的条件与结论互逆且否定，故正确；
②am20，∴可以推出a但反之不能（如m＝0）．故错误；
③命题“平行四边形的对角相等”的否命题是“若一个四边形不是平行四边形，则它的对角不相等”是假命题．
④∅⊆{1,2}是真命题，∅∈{1,2}是假命题，故正确．
4．（文）设集合A＝{x|
<0}，B＝{x|x2－4x<0}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] 若m∈A，则
<0，∴0若m∈B，则m2－4m<0，即0故“m∈A”是“m∈B”的充分条件．
取m＝2，则
＝2，于是
<0不成立，所以m∈A不成立．
故“m∈A”不是“m∈B”的必要条件．
综上所述，“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
（理）对于下列四个结论：
①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；
②“
”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；
④“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．
其中，正确结论的序号是________．
[答案] ①②④
[解析] ∵“A⇐B”，∴“綈A⇒綈B”，故①正确．
“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件是
，故②正确．
∵x≠1
x2≠1，例如x＝－1，故③错误．
∵x＋|x|>0⇒x≠0，但x≠0
x＋|x|>0，
例如x＝－1.故④正确．
三、解答题
5．给出下列命题：
（1）p：
x－2＝0，q：
（x－2）（x－3）＝0.
（2）p：
两个三角形相似；q：
两个三角形全等．
（3）p：
m<－2；q：
方程x2－x－m＝0无实根．
（4）p：
一个四边形是矩形；q：
四边形的对角线相等．
试分别指出p是q的什么条件．
[解析]
（1）∵x－2＝0⇒（x－2）（x－3）＝0；
而（x－2）（x－3）＝0
x－2＝0.
∴p是q的充分不必要条件．
（2）∵两个三角形相似
两个三角形全等；
但两个三角形全等⇒两个三角形相似．
∴p是q的必要不充分条件．
（3）∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；
方程x2－x－m＝0无实根
m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．
（4）∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；
而对角线相等的四边形不一定是矩形．∴q
p.
∴p是q的充分不必要条件．
6．（文）判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
（1）若四边形的对角互补，则该四边形是圆内接四边形；
（2）在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若b2－4ac<0，则该函数图像与x轴有交点．
[解析]
（1）该命题为真命题．
逆命题：
若四边形是圆内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．
否命题：
若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆内接四边形．真命题．
逆否命题：
若四边形不是圆内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．
（2）该命题是假命题.
逆命题：
在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若该函数的图像与x轴有交点，则b2－4ac<0.假命题．
否命题：
在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若b2－4ac≥0，
则该函数图像与x轴没有交点．假命题．
逆否命题：
若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有交点，则b2－4ac≥0.假命题．
（理）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
（1）求证：
“如果直线l过点（3,0），那么
·
＝3”是真命题．
（2）写出
（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解析]
（1）设l：
x＝ty＋3，代入抛物线y2＝2x，
消去x得y2－2ty－6＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6，
·
＝x1x2＋y1y2＝（ty1＋3）（ty2＋3）＋y1y2
＝t2y1y2＋3t（y1＋y2）＋9＋y1y2
＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3.
∴
·
＝3，故为真命题．
（2）
（1）中命题的逆命题是：
“若
·
＝3，则直线l过点（3,0）”它是假命题．
设l：
x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，
消去x得y2－2ty－2b＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b.
∵
·
＝x1x2＋y1y2＝（ty1＋b）（ty2＋b）＋y1y2
＝t2y1y2＋bt（y1＋y2）＋b2＋y1y2＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b，
令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1，
此时直线l过点（3,0）或（－1,0）．故逆命题为假命题．
7．设p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：
实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的范围．
[解析] 由x2－4ax＋3a2<0及a<0，得3a即p：
3a又由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，由x2＋2x－8>0，
得x<－4或x>2，
那么q：
x<－4或x≥－2.
由于綈p是綈q的必要不充分条件，即綈q⇒綈p，
于是，得
或
得－
≤a<0或a≤－4，
故所求a的范围为－
≤a<0或a≤－4.
升级会员 