CFD考试题答案参考.doc
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1.采用时间前差，空间中差
t＝0.005
t
U0
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
0
0
0
0
0
0
0.1
0
0
0
0
0
0.005
1
0
0
0
0.05
0
0.05
0
0
0
1
0.01
1
0.5
0
0.025
0
0.05
0
0.025
0
0.5
1
0.015
1
0.5
0.2625
0
0.0375
0
0.0375
0
0.2625
0.5
1
0.02
1
0.6312
0.25
0.15
0
0.0375
0
0.15
0.25
0.6312
1
0.025
1
0.625
0.3906
0.125
0.0938
0
0.0938
0.125
0.3906
0.625
1
0.03
1
0.6953
0.375
0.2422
0.0625
0.0938
0.0625
0.2422
0.375
0.6953
1
0.0035
1
0.6875
0.4688
0.2188
0.168
0.0625
0.168
0.2188
0.4688
0.6875
1
0.04
1
0.7344
0.4531
0.3184
0.1406
0.168
0.1406
0.3184
0.4531
0.7344
1
0.045
1
0.7266
0.5264
0.2969
0.2432
0.1406
0.2432
0.2969
0.5264
0.7266
1
0.05
1
0.7632
0.5117
0.3848
0.2188
0.2432
0.2188
0.3848
0.5117
0.7632
1
t=0.01
t
U0
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
0
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
1.00
0.00
0.00
0.00
0.10
-0.10
0.10
0.00
0.00
0.00
1.00
0.02
1.00
1.00
0.00
0.10
-0.20
0.30
-0.20
0.10
0.00
1.00
1.00
0.03
1.00
0.00
1.10
-0.30
0.60
-0.70
0.60
-0.30
1.10
0.00
1.00
0.04
1.00
2.10
-1.40
2.00
-1.60
1.90
-1.60
2.00
-1.40
2.10
1.00
0.05
1.00
-2.50
5.50
-5.00
5.50
-5.10
5.50
-5.00
5.50
-2.50
1.00
0.06
1.00
9.00
-13.00
16.00
-15.60
16.10
-15.60
16.00
-13.00
9.00
1.00
0.07
1.00
-21.00
38.00
-44.60
47.70
-47.30
47.70
-44.60
38.00
-21.00
1.00
0.08
1.00
60.00
-103.60
130.30
-139.60
142.70
-139.60
130.30
-103.60
60.00
1.00
0.09
1.00
-162.60
293.90
-373.50
412.60
-421.90
412.60
-373.50
293.90
-162.60
1.00
0.10
1.00
457.50
-830.00
1080.00
-1208.00
1247.10
-1208.00
1080.00
-830.00
457.50
1.00
从时间步长为t=0.005情况看，速度逐步衰减，是收敛的；时间步长为t=0.01情况下，速度存在突变，是发散的。
由此可以看出选择时间步长对计算结果收敛情况起决定作用。
分析：
采用VonNeumann方法，分别计算T=0.005s和T=0.01s时的扩散因子d，可发现T=0.005s时，计算结果稳定，而T=0.01s时，计算结果不稳定。
1.FDM
不采用虚拟节点时：
节点2：
节点3：
代入
解得：
采用在节点1给出的二阶精度公式
可解得：
FVM
节点1：
节电2：
节点3：
代入
解得：
精确解
对比可得FVM得出的解等于精确解，即Neumann边界条件在FVM中精确实现。
而FDM的解有一定误差，因为在FDM中难以实现Neumann边界条件，但可采用虚拟节点法，二阶精度法等来改进FDM以得到精确解。
2.前向差分
令
列方程解得：
后向差分
令
解得：
中心差分
令
解得：
4.…………
（1）
假定任一个时间步n的数值解
代入得……………………
（2）
将分解为傅立叶级数
……………………………………………..（3）
将（3）式代入
（2）式得
令
…………………………..（4）
令误差放大因子代入（4）得
……………………………..（5）
………………………………..（6）
这里采用反证法，假设其有条件稳定
则由（5）（6）可推出再由（5）—（6）得
而该方程与假设（）矛盾
固假设不成立，即
（1）式无条件不稳定。
5.节点5的差分方程为
同理
代入节点5的方程
解得
节点8的差分方程为
代入节点8的差分方程
解得
.
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