中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习.docx
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中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习
2017 年中考数学 一轮复习专题
图形折叠问题 综合复习
一 选择题：
1.如图，E 是矩形 ABCD 中 BC 边的中点 ，将△ABE 沿 AE 折叠到△AFE，F 在矩形 ABCD 内部，延长 AF 交 DC 于 G 点，
若∠AEB=55°，则∠DAF=（）
A．40°B．35°C．20°D．15°
CC
2.如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、 分别落在 D′、 ′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
3.如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′处，若 AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形 ABCD 的面
积是（）
A．12B．24C．12D．16
4.如图，已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′处，BC′交 AD 于 E，AD=8，AB=4，则 DE 长为（）
A．3B．4C．5D．6
5.将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF.若 AB=3，则 BC 的长为（）
A．1B．2C.D.
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6.如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（）
A．12B．10C．8D．6
7.如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A 恰好落在边 BC 的点 F 处．若 AE=5，
BF=3，则 CD 的长是（）
A.7B.8C．9D． 10
8.如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A=60°，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落在 DP（P 为 AB 中点）所在的直线上，得
到经过点 D 的折痕 DE．则∠DEC 的大小为（）
A．78°B．75°C．60°D．45°
9.如图，将边长为 12cm 的正方形 ABCD 折叠，使得点 A 落在 CD 边上的点 E 处，折痕为 MN．若 CE 的长为 7cm，则
MN 的长为（）
A． 10B． 13C． 15D． 12
10.如图，将矩形纸片 ABCD 的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若 EH=12 厘米，EF=16
厘米，则边 AD 的长是 （）
A．12 厘米B．16 厘米C．20 厘米D．28 厘米
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11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BC
交于点 E，则点 D 的坐标是（）
A．（4，8）B．（5，8）C．（，）D．（，）
12.将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕，∠BAE=30°，
，折叠后，点 C 落在 AD
边上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处．则 BC 的长为（）
A.B. 2C. 3D.
13.如图，矩形纸片 ABCD 中，AD=3cm，点 E 在 BC 上，将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 F 处，且∠AEF=
∠CEF，则 AB 的长是（）
A.1 cmB．cmC．2 cmD．cm
14.如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=7，点 E 是 AD 上一个动点，把△BAE 沿 BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应
点 A1 恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA1 的长为（）
A．3 或 4B．4 或 3C．3 或 4D．3或 4
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15.如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB，BC 上，且 AE=AB．将矩形沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD
边上的点 P 处，连接 BP 交 EF 于点 Q．对于下列结论：
①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF 是等边三角形．其
中正确的是（）
A．①②B．②③C．①③D．①④
16.如图，点 M、N 分别在矩形 ABCD 边 AD、BC 上，将矩形 ABCD 沿 MN 翻折后点 C 恰好与点 A 重合，若
此时=
则AMD′ 的面积与△AMN 的面积的比为（）
A．1:
3B．1:
4C．1:
6D．1:
9
17.图，矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，将△ABE 折叠后得到△GBE，延长 B G 交 CD 于点 F，若 CF=1，FD=2，则
BC 的长为（）
A.3B.2C.2D.2
18.如图，矩形 ABCD 边 AD 沿拆痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 上的 F 处，已知 AB=6，△ABF 的面积是 24，则 FC 等
于（）.
A．2B．3C．4D．5
19.如图，在菱形纸片 ABCD 中，∠A=60°，将纸片折叠，点 A、D 分别落在点 A′、D′处，且 A′D′经过点 B，
EF 为折痕，当 D′F⊥CD 时，的值为（）
A．B．C．D．
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20.如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A′处，折痕为 PQ，当点 A′在 BC
边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随之移动。
若限定点 P，Q 分别在 AB，AD 边上移动，则点 A′在 BC 边上可 移动
的最大距离为（）
A.2B.4C.D.
二 填空题:
21.如图，矩形 ABCD 的边长 AB=8，AD=4，若将△DCB 沿 BD 所在直线翻折，点 C 落在点 F 处，DF 与 AB 交于点 E.
则 cos∠ADE =．
22.如图，有一块矩形纸片 ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为
，再将AED 沿
DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，则△CEF 的面积为__________.
23.将矩形 ABCD 沿折线 EF 折叠后点 B 恰好落在 CD 边上的点 H 处，且∠CHE=40°，则∠EFB=．
24.在菱形 ABCD 中，AB=5，AC=8，点 P 是 AC 上的一个动点，过点 P 作 EF 垂直于 AC 交 AD 于点 E，交 AB 于点 F，
将△AEF 沿 EF 折叠，使点 A 落在点
处，当A'CD 是直角三角形时，AP 的长为.
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25.如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点 D 的折痕 DE 将 A 角翻折，使点 A 落在 BC 上的 A1 处，
则∠EA1B＝______°。
26.如图，将矩形纸片 ABC（D）折叠，使点（D）与点 B 重合，点 C 落在点
那么的度数为度。
处，折痕为 EF，若 ，
27.如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC 边上的点，且，将纸片的一角沿过点 B
的直线折叠，使 A 落在 MN 上，落点记为 A′，折痕交 AD 于点 E，若 M 是 AD、BC 边的上距 DC 最近的 n 等分点（n
≥2，且 n 为整数），则 A′N=（用含有 n 的式子表示）．
28.如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8,点 E 是 BC 边上一点，将△ABE 沿 AE 折叠，
使点 B 落在点 B′处.
（1）矩形 ABCD 的面积=；
（2）当△CEB′为直角三角形时，BE=．
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29.如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且
EF=3，则 AB 的长为.
30.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 折叠后得到△AFE，且点 F 在矩形 ABCD 内部．将
AF 延长交边 BC 于点 G．若=，则=用含 k 的代数式表示）．
31.如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=6，点 E 是 AD 上一点，把△BAE 沿 BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应点 A1
恰落在∠ADC 的平分线上时，DA1=．
M
32.小明尝试着将矩形纸片 ABCD（如图①，AD>CD）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕
为 AE（如图②）；再沿过D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处，E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为
DG（如图③）．如果第二 次折叠后， 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．
33.如图，在矩形 ABCD 中，AD=5，AB=8，点 E 为 DC 边上的一个动点，把△ADE 沿 AE 折叠，当点 D 的对应点刚好
D 落在矩形 ABCD 的对称轴上时，则 DE 的长为．
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34.如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，AD=10cm，点 E、F 在矩形 ABCD 的边 AB、AD 上运动，将△AEF 沿 EF 折叠，
使点 A′在 BC 边上，当折痕 EF 移动时，点 A′在 BC 边上也随之移动．则 A′C 的取值范围为．
三 简答题:
35、长为 1，宽为 a 的矩形纸片（ ＜a＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第
一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；
如此反复操作下去，若在第 n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．
（I）第二次操作时，剪下的正方形的边长为；
（Ⅱ）当 n=3 时，a 的值为．（用含 a 的式子表示）
36.问题情境：
如图将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 AD 边的中点 F 处，折痕 EG 分别交
AB、CD 于点 E、G，FN 与 DC 交于点 M，连接 BF 交 EG 于点 P.
独立思考：
（1）AE=_______cm，△FDM 的周长为_____cm
（2）猜想 EG 与 BF 之间的位置关系与数量关系，
并证明你的结论.
拓展延伸：
如图 2，若点 F 不是 AD 的中点，且不与点 A、D 重合：
①△FDM 的周长是否发生变化，并证明你的结论.
②判断
（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）.
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37.长方形 ABCD 中，AD=10，AB=8，将长方形 ABCD 折叠，折痕为 EF
（1）当 A′与 B 重合时（如图 1），EF=；
（2）当直线 EF 过点 D 时（如图 2），点 A 的对应点 A′落在线段 BC 上，求线段 EF 的长；
（3）如图 3，点 A 的对应点 A′落在线段 BC 上，E 点在线段 AB 上，同时 F 点也在线段 AD 上，则 A′在 BC 上的
运动距离是；
38.感知：
如图①，在矩形ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，将△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形 ABCD 内部的点 F
处，延长 AF 交 CD 于点 G，连结 FC，易证∠GCF=∠GFC．
探究：
将图①中的矩形 ABCD 改为平行四边形，其他条件不变，如图②，判断∠GCF=∠GFC 是否仍然相等，并说
明理由．
应用：
如图②，若 AB=5，BC=6，则△ADG 的周长为16．
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39.
（1）观察与发现：
小明将三角形纸片 ABC（AB＞AC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD，
展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平
纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？
请说明理由．
（2）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图③）；
再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 D′处，折痕为 EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤
中∠α的大
小．
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参考答案
1、C2、A3、D4、C5、D6、B7、C8、B9、1310、C11、C12、C；
13、B14、D15、D16、A17、B18、A19、A20、A21、22、2
23、25°．24、2 或25、60°．26、125º27、28、
（1）48
（2） 3，6
29、630、31、：
2．32、33、 或．34、4cm≤A′C≤8cm．
35、1﹣a或 【考点】翻折变换（折叠问题）．
【解答】解：
由题意，可知当 ＜a＜1 时，第一次操作后剩下的矩形的长为 a，宽为 1﹣a，所以第二次操作时正
方形的边长为 1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为 1﹣a，2a﹣1．
故答案为：
1﹣a；此时，分两种情况：
①如果 1﹣a＞2a﹣1，即 a＜ ，那么第三次操作时正方形的边长为 2a﹣1．
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的宽等于 1﹣a，
即 2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得 a= ；
②如果 1﹣a＜2a﹣1，即 a＞ ，那么第三次操作时正方形的边长为 1﹣a．
则 1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得 a= ．故答案为：
或 ．
36、
（1）3，16
（2）EG⊥BF, EG=BF 则∠EGH+∠GEB=90°
由折叠知，点 B、F 关于直线 GE 所在直线对称∴∠FBE=∠EGH
∵ABCD 是正方形∴AB=BC∠C=∠ABC=90°四边形 GHBC 是矩形，∴GH=BC=AB
∴△AFB 全等△HEG∴BF=EG
（3）①△FDM 的周长不发生变化由折叠知∠EFM=∠ABC=90°∴∠DFM+∠AFE=90°
∵四边形 ABCD 为正方形，∠A=∠D=90°∴∠DFM+∠DMF=90°
∴∠AFE=∠DMF∴△AEF∽△DFM∴
设 AF 为 x，FD=8-x∴∴
FMD 的周长=∴△FMD 的周长不变②
（2）中结论成立
37、1）EF=10
（2）5（3）4
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38、【解答】解：
探究：
∠GCF=∠GFC，理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECG=180°，
又∵△AFE 是由△ABE 翻折得到，∴∠AFE=∠B，EF=BE，
又∵∠AFE+∠EFG=180°，∴∠ECG=∠EFG，
又∵点 E 是边 BC 的中点，∴EC=BE，
∵EF=BE，∴EC=EF，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECG﹣∠ECF=∠EFG﹣∠EFC，∴∠GCF=∠GFC；
应用：
∵△AFE 是由△ABE 翻折得到，∴AF=AB=5，
由
（1）知∠GCF=∠GFC，∴GF=GC，
∴△ADG 的周长 AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16，
故答案为：
应用、16．
39、【解答】解：
（1）同意．如图，设 AD 与 EF 交于点 G．由折叠知，AD 平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以 AE=AF，
即△AEF 为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形 ABFE 是正方形，∠AEB=45°，所以∠BED=135 度．
又由折叠知，∠BEG=∠DEG，所以∠DEG=67.5 度．从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．
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