圆心角和圆周角关系教案设计.docx

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圆心角和圆周角关系教案设计

教师姓名

曾光华

学生姓名

填写时间

2014-1-15

年级

九年级

学科

数学

上课时间

2014-1-16

14：

00-16：

00

阶段

基础（√）提高（√）强化（）

课时计划

第

（1）次课

共（）次课

教学目标

1.了解圆周角和圆心角的概念．

2.理解圆周角定理的证明。

3.学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．

重难点

1.圆周角概念及圆周角定理．

2.理解几个推论的“题设”和“结论”．

课后作业：

教师评语

及建议：

科组长签字：

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？

如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？

Ⅱ．讲授新课

1．圆周角的概念

同学们请观察下面的图

（1）．

这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．

图中的∠ABC，顶点在什么位置？

角的两边有什么特点？

∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．（通过学生观察，类比得到定义）

圆周角（angleinacircularsegment）定义：

顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．

请同学们考虑两个问题：

（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？

（2）圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？

请同学们画图回答上述问题．

通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：

（1）角的顶点在圆上；

（2）两边在圆内的部分是圆的两条弦．

2．补充练习1（出示投影片§3．3．1B）

判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．

答：

由圆周角的两个特征知，只有C是圆周角，而A、B、D、E都不是．

3．研究圆周角和圆心角的关系．

在图

（1）中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？

我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？

请同学们动手画出⊙O中

所对的圆心角和圆周角．观察

所对的圆周角有几个？

它们的大小有什么关系？

你是通过什么方法得到的？

所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？

所对的圆周角有无数个．通过测量的方法得知：

所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．

对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？

说说你的想法，并与同伴交流．

互相讨论、交流，寻找解题途径．

能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角

一边经过圆心．

由下图可知，显然∠ABC＝

∠AOC，结论成立．

（学生口述，教师板书）

如上图，已知：

⊙O中，

所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．

求证：

∠ABC＝

AOC．

证明：

∠AOC是△ABO的外角，

∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．

∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO．

∴∠AOC＝2∠ABO．

即∠ABC＝

∠AOC．

如果∠ABC的两边都不经过圆心（如下图），那么结果怎样？

特殊情况会给我们什么启发吗？

你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？

（学生互相交流、讨论）

如图

（1），点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．

由刚才的结论可知：

∠ABD＝

∠AOD，∠CBD＝

∠COD，

∴∠ABD＋∠CBD＝

（∠AOD＋∠COD），即∠ABC＝

∠AOC．

在图

（2）中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．

由前面的结果，有

∠ABD＝

∠AOD，∠CBD＝

∠COD．

∴∠ABD－∠CBD＝

（∠AOD－∠COD），即∠ABC＝

∠AOC．

还会有其他情况吗？

请思考．

答：

不会有．

经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？

答：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

这一结论称为圆周角定理．在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？

答：

由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，……

好，同学们总结得很好．由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略．今后我们在处理问题时，注意运用．

请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个？

（至少画三个）它们的大小有什么关系？

你是如何得到的？

所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的．

大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC？

（同学们互相交流、讨论）

由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧（

）所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．

通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A＝∠D或∠C＝∠B找到答案了吗？

找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B．

如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？

一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半．这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．

通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论．

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？

请同学们互相议一议．

如下图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的．

注意：

（1）“同弧”指“同一个圆”．

（2）“等弧”指“在同圆或等圆中”．

（3）“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．

接下来我们看下面的问题：

如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角？

你是如何判断的？

（同学们互相交流、讨论）

直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC＝180°，所以∠BAC＝∠90°．

反过来，在下图中，如果圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗？

为什么？

弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC＝90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC＝180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．

通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：

直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

随堂练习：

1．为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？

说一说这种设计的合理性．

2．如下图，哪个角与∠BAC相等？

3．如下图，⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．

4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆形？

为什么？

Ⅳ．下面我们一起来看一个问题：

做一做（出示投影片§3．3．2C）

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．

（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？

为什么？

（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？

为什么？

分析：

这是一个有实际背景的问题．由题意可知：

“危险角”∠ACB实际上就是圆周角．船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．

Ⅳ．课时小结

到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？

它们各有什么特点？

相互之间有什么关系？

和圆有关系的角有圆心角和圆周角．圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

这节课我们学会了什么定理？

是如何进行探索的？

我们学会了圆周角定理．通过分类讨论的思想方法，渗透了由特殊到一般的转化方法．对定理进行了研究和证明．

好，同学们今后在学习中，要注意探索问题方法的应用．

注意：

（1）定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．

（2）不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．

Ⅴ．课后作业

习题3．5

Ⅵ．活动与探究

同学们知道：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角，因为一条弧所对的角圆周角等于它所对的圆心角的一半，而圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．类似地，我们定义：

顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角．如下图中，∠DPB是圆外角，那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧

和

的度数有什么关系？

类似地可定义圆内角及其度量．

（1）你的结论用文字表述为（不准出现字母和数学符号）：

________；

（2）证明你的结论．

[过程]让学生通过思考讨论，想办法把圆外角转化成和已学过的圆周角联系起来，借助圆周角把∠DPB的度数转化成它所夹的两段弧

和

的度数差的一半．

[结果]

（1）圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半．

（2）证明：

连结BC．

∵∠DCB＝∠DPB＋∠ABC，

∴∠DPB＝∠DCB－∠ABC．

而∠DCB＝

的度数．

∠ABC＝

的度数．

∴∠DPB＝

（

的度数－

的度数）．

Ⅶ.课后习题

一、填空题:

1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是

上任一点（不与A、C重合）,则∠ADC的度数是________.毛

（1）

（2）（3）

2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.

3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.

4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.

（4）（5）（6）

5.如图5,AB是⊙O的直径,

∠A=25°,则∠BOD的度数为________.

6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,则点O到CD的距离OE=______.

二、选择题:

7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是（）

A.50°B.100°C.130°D.200°

（7）（8）（9）（10）

8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

9.如图9,D是

的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于（）

A.100°B.80°C.50°D.40°

11.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

12.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°,∠CBD的度数是（）

A.40°B.50°C.70°D.110°

三、解答题:

13.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.

14.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.

15.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值.