当x>x2时,f(x)>g(x),
∴f(2014)>g(2014).
又∵g(2014)>g(6),
∴f(2014)>g(2014)>g(6)>f(6).
[类题通法]
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.
[活学活用]
函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)比较两函数的增长差异[以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较].
解:
(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.
(2)当xf(x);
当x1g(x);
当x>x2时,g(x)>f(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
函数模型的选取
[例3] 某汽车制造商在2017年初公告:
公司计划2017年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
年份/年
2014
2015
2016
产量/万辆
8
18
30
如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:
二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系?
[解] 建立年生产量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).
①构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点坐标代入,可得
解得a=1,b=7,c=0,
则f(x)=x2+7x,
故f(4)=44,与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),
将点坐标代入,可得
解得a=
,b=
,c=-42,
则g(x)=
·
x-42,
故g(4)=
·
4-42=44.4,与计划误差为1.4.
由①②可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系.
[类题通法]
不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
[活学活用]
某学校为了实现100万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:
在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y随生源利润x的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:
y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?
解:
借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).观察图象可知,在区间[5,100]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求.
[典例] 下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A.y=
ex B.y=100lnx
C.y=x100D.y=100·2x
[解析] 指数爆炸式形容指数函数.
又∵e>2,
∴
ex比100·2x增大速度快.
[答案] A
[易错防范]
1.影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数,而并非其系数,本题易发生误认为100>
,所以100·2x比
ex增大速度快的错误结论.
2.函数y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.
[活学活用]
四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A.f1(x)=x2B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x
解析:
选D 显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x,故选D.
[随堂即时演练]
1.下列函数中,随着x的增大,增长速度最快的是( )
A.y=50 B.y=1000x
C.y=2x-1D.y=
lnx
解析:
选C 指数函数模型增长速度最快,故选C.
2.三个变量y1,y2,y3,随着自变量x的变化情况如下表:
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2
解析:
选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,对数函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数函数的增长速度成倍增长,y2随x的变化符合此规律;幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间,y1随x的变化符合此规律,故选C.
3.若a>1,n>0,那么当x足够大时,ax,xn,logax的大小关系是________.
解析:
∵a>1,n>0,
∴函数y1=ax,y2=xn,y3=logax都是增函数.
由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知,当x足够大时,ax>xn>logax.
答案:
ax>xn>logax
4.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(1,+∞)上增长较快的一个是________.
解析:
当x变大时,x比lnx增长要快,
∴x2比xlnx增长要快.
答案:
y=x2
5.某地发生地震,各地纷纷捐款捐物,甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区.甲公司的代表说:
“在10天内,我们公司每天捐款5万元给灾区.”乙公司的代表说:
“在10天内,我们公司第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元.”丙公司的代表说:
“在10天内,我们公司第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.”你觉得哪个公司在10天内捐款最多?
解:
三个公司在10天内捐款情况如下表所示:
甲公司
乙公司
丙公司
第1天
5
1
0.1
第2天
5
2
0.2
第3天
5
3
0.4
第4天
5
4
0.8
第5天
5
5
1.6
第6天
5
6
3.2
第7天
5
7
6.4
第8天
5
8
12.8
第9天
5
9
25.6
第10天
5
10
51.2
总计
50
55
102.3
由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元,即丙公司在10天内捐款最多.
[课时达标检测]
一、选择题
1.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如下图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
解析:
选D 由题图可知,甲到达终点用时短,故选D.
2.已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2D.y2>y3>y1
解析:
选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
3.有一组实验数据如下表所示:
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=logax+b(a>1)
解析:
选C 通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变,故选C.
4.若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
A.2x>x
>lgxB.2x>lgx>x
C.x
>2x>lgxD.lgx>x
>2x
解析:
选A 结合y=2x,y=x
及y=lgx的图象易知,当x∈(0,1)时,2x>x
>lgx.
5.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为( )
解析:
选D 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象,故选D.
二、填空题
6.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中,关于x呈指数函数变化的函数是____________________.
解析:
从表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化,故填y1.
答案:
y1
7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位:
年)的函数关系如图所示.
以下四种说法:
①前三年产量增长的速度越来越快;
②前三年产量增长的速度越来越慢;
③第三年后这种产品停止生产;
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的序号是________.
解析:
由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1),反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可知,总产量C没有变化,即第三年后停产,所以②③正确.
答案:
②③
8.表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.
其中,正确信息的序号是________.
解析:
看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误.
答案:
①②③
三、解答题
9.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x
的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
解:
由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x
,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);
当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);
当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
10.截止到1999年底,我国人口约为13亿,若今后能将人口平均增长率控制在1%,经过x年后,我国人口为y(单位:
亿).
(1)求y与x的函数关系式y=f(x);
(2)求函数y=f(x)的定义域;
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数,并指出函数增减的实际意义.
解:
(1)1999年底人口数:
13亿.
经过1年,2000年底人口数:
13+13×1%=13×(1+1%)亿.
经过2年,2001年底人口数:
13×(1+1%)+13×(1+1%)×1%
=13×(1+1%)2亿.
经过3年,2002年底人口数:
13×(1+1%)2+13×(1+1%)2×1%
=13×(1+1%)3亿.
…
∵经过年数与(1+1%)的指数相同,
∴经过x年后人口数为13×(1+1%)x亿.
∴y=f(x)=13×(1+1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间,
∴x∈N*是此函数的定义域.
(3)y=f(x)=13×(1+1%)x.
∵1+1%>1,13>0,
∴y=f(x)=13×(1+1%)x是增函数,
即只要递增率为正数,随着时间的推移,人口的总数总在增长.
11.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估计以后每个月的产量,以这3个月的产品数量为依据,用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c(a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,试问:
用以上哪个函数作为模拟函数较好?
请说明理由.
解:
设两个函数:
y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0),y2=g(x)=a·bx+c.
依题意,
解得
∴y1=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,
∴f(4)=1.3(万件).
依题意,得
解得
∴y2=g(x)=-0.8×0.5x+1.4.
∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35(万件).
经比较,g(4)=1.35(万件)比f(4)=1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件.
∴选y2=g(x)=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好.